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1. 若$\frac{a}{b}=\frac{2}{9}$，则$\frac{a+b}{b}=$
$\frac{11}{9}$
.答案
1. $\frac{11}{9}$
解析
【分析】
解题可从多个常见思路切入：一是对所求分式拆分变形，将$\frac{a+b}{b}$拆分为$\frac{a}{b}+\frac{b}{b}$，也就是$\frac{a}{b}+1$，已知$\frac{a}{b}$的数值，直接代入即可计算；二是利用比例的合比性质，若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$，直接代入比例值求解；也可采用设参数法，设$a=2k$、$b=9k$（$k≠0$），代入所求式约分得到结果。
【解析】
方法一（拆分法）：
对所求分式拆分可得：
$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1$
将$\frac{a}{b}=\frac{2}{9}$代入上式：
原式$=\frac{2}{9}+1=\frac{2}{9}+\frac{9}{9}=\frac{11}{9}$
方法二（合比性质法）：
根据比例的合比性质：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
将$\frac{a}{b}=\frac{2}{9}$代入性质公式：
$\frac{a+b}{b}=\frac{2+9}{9}=\frac{11}{9}$
【答案】
$\frac{11}{9}$
【知识点】
比例的性质、分式的运算
【点评】
本题属于基础题型，考查比例相关的基础应用，解题方法灵活多样，重点考查对基础性质和分式运算规则的掌握程度，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
解题可从多个常见思路切入：一是对所求分式拆分变形，将$\frac{a+b}{b}$拆分为$\frac{a}{b}+\frac{b}{b}$，也就是$\frac{a}{b}+1$，已知$\frac{a}{b}$的数值，直接代入即可计算；二是利用比例的合比性质，若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$，直接代入比例值求解；也可采用设参数法，设$a=2k$、$b=9k$（$k≠0$），代入所求式约分得到结果。
【解析】
方法一（拆分法）：
对所求分式拆分可得：
$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1$
将$\frac{a}{b}=\frac{2}{9}$代入上式：
原式$=\frac{2}{9}+1=\frac{2}{9}+\frac{9}{9}=\frac{11}{9}$
方法二（合比性质法）：
根据比例的合比性质：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
将$\frac{a}{b}=\frac{2}{9}$代入性质公式：
$\frac{a+b}{b}=\frac{2+9}{9}=\frac{11}{9}$
【答案】
$\frac{11}{9}$
【知识点】
比例的性质、分式的运算
【点评】
本题属于基础题型，考查比例相关的基础应用，解题方法灵活多样，重点考查对基础性质和分式运算规则的掌握程度，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
2. 已知线段$AB=6$，点$C$是它的黄金分割点$(AC＞CB)$，则$CB=$
$9-3\sqrt{5}$
答案
2. $9-3\sqrt{5}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆黄金分割的定义：若点将线段分为两段，较长线段与原线段的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点为线段的黄金分割点。本题明确$AC＞CB$，说明$AC$是较长段，因此先根据黄金比求出$AC$的长度，再用线段$AB$的总长度减去$AC$的长度，即可得到$CB$的长度。
【解析】
解：
∵点$C$是线段$AB$的黄金分割点，且$AC＞CB$
∴较长段$AC$与$AB$的比值为黄金比，即$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
已知$AB=6$，代入计算得：
$AC=6×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=3\sqrt{5}-3$
根据线段和差关系$CB=AB-AC$，代入数值：
$CB=6-(3\sqrt{5}-3)=9-3\sqrt{5}$
【答案】
$9-3\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割的概念、线段的和差计算、二次根式化简
【点评】
本题属于黄金分割相关的基础题，解题核心是牢记黄金比的对应关系，同时注意题干给出的长短段限制条件，避免混淆长短线段对应的比例出现计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆黄金分割的定义：若点将线段分为两段，较长线段与原线段的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点为线段的黄金分割点。本题明确$AC＞CB$，说明$AC$是较长段，因此先根据黄金比求出$AC$的长度，再用线段$AB$的总长度减去$AC$的长度，即可得到$CB$的长度。
【解析】
解：
∵点$C$是线段$AB$的黄金分割点，且$AC＞CB$
∴较长段$AC$与$AB$的比值为黄金比，即$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
已知$AB=6$，代入计算得：
$AC=6×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=3\sqrt{5}-3$
根据线段和差关系$CB=AB-AC$，代入数值：
$CB=6-(3\sqrt{5}-3)=9-3\sqrt{5}$
【答案】
$9-3\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割的概念、线段的和差计算、二次根式化简
【点评】
本题属于黄金分割相关的基础题，解题核心是牢记黄金比的对应关系，同时注意题干给出的长短段限制条件，避免混淆长短线段对应的比例出现计算错误。
【难度系数】
0.7
3.如图，D，E分别是$△ ABC$的AB，AC边上的点，$DE// BC$，则下列各式错误的是 （
A.$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$
B.$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$
C.$\frac{AD}{DB}=\frac{DE}{BC}$
D.$\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$
C
）A.$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$
B.$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$
C.$\frac{AD}{DB}=\frac{DE}{BC}$
D.$\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$
答案
3. C
解析
【分析】
已知DE//BC，首先可联想到平行线分线段成比例定理，同时可判定△ADE与△ABC相似，结合相似三角形对应边成比例的性质，我们逐一验证每个选项的比例关系是否成立，即可找出错误的选项。
【解析】
解：
∵DE//BC，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，故A选项正确，不符合题意；
根据比例的合比性质，可得$\frac{AD+DB}{DB}=\frac{AE+EC}{EC}$，即$\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$，故D选项正确，不符合题意；
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，
对上述比例变形可得$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，故B选项正确，不符合题意；
由$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}$，可知$\frac{AD}{DB}≠\frac{DE}{BC}$，故C选项错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；比例的基本性质
【点评】
本题是几何基础题，重点考查平行线条件下的线段比例关系，解题时要注意区分“线段对应关系”，避免混淆相似三角形对应边和分线段的比例，熟练掌握定理即可快速作答。
【难度系数】
0.7
已知DE//BC，首先可联想到平行线分线段成比例定理，同时可判定△ADE与△ABC相似，结合相似三角形对应边成比例的性质，我们逐一验证每个选项的比例关系是否成立，即可找出错误的选项。
【解析】
解：
∵DE//BC，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，故A选项正确，不符合题意；
根据比例的合比性质，可得$\frac{AD+DB}{DB}=\frac{AE+EC}{EC}$，即$\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$，故D选项正确，不符合题意；
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，
对上述比例变形可得$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，故B选项正确，不符合题意；
由$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}$，可知$\frac{AD}{DB}≠\frac{DE}{BC}$，故C选项错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；比例的基本性质
【点评】
本题是几何基础题，重点考查平行线条件下的线段比例关系，解题时要注意区分“线段对应关系”，避免混淆相似三角形对应边和分线段的比例，熟练掌握定理即可快速作答。
【难度系数】
0.7
4. 如图，$△ ABC$中，$AE$交$BC$于点$D$，$∠ C=∠ E$，$AD: DE=3:5$，$AE=8$，$BD=4$，则$DC$的长等于（
A.$\frac{15}{4}$
B.$\frac{12}{5}$
C.$\frac{20}{3}$
D.$\frac{17}{4}$
A
）A.$\frac{15}{4}$
B.$\frac{12}{5}$
C.$\frac{20}{3}$
D.$\frac{17}{4}$
答案
4. A
解析
【分析】
解题时先找角的等量关系：已知∠C=∠E，∠ADC与∠BDE是对顶角也相等，根据两角对应相等可判定△ADC∽△BDE；再根据AD:DE=3:5和AE=8先算出AD、DE的长度，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出DC的长度。
【解析】
解：
∵AD:DE=3:5，AE=AD+DE=8，
∴$AD=8×\frac{3}{3+5}=3$，$DE=8-3=5$。
∵∠ADC和∠BDE是对顶角，
∴∠ADC=∠BDE，
又
∵∠C=∠E，
∴△ADC∽△BDE（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AD}{BD}=\frac{DC}{DE}$
将AD=3，BD=4，DE=5代入上式：
$\frac{3}{4}=\frac{DC}{5}$
解得$DC=\frac{15}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定与性质；对顶角的性质；比例计算
【点评】
本题是典型的相似三角形应用类题目，解题核心是准确识别相似三角形，利用角的相等关系完成相似判定，再结合比例关系求解线段长度，侧重对基础几何知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
解题时先找角的等量关系：已知∠C=∠E，∠ADC与∠BDE是对顶角也相等，根据两角对应相等可判定△ADC∽△BDE；再根据AD:DE=3:5和AE=8先算出AD、DE的长度，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出DC的长度。
【解析】
解：
∵AD:DE=3:5，AE=AD+DE=8，
∴$AD=8×\frac{3}{3+5}=3$，$DE=8-3=5$。
∵∠ADC和∠BDE是对顶角，
∴∠ADC=∠BDE，
又
∵∠C=∠E，
∴△ADC∽△BDE（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AD}{BD}=\frac{DC}{DE}$
将AD=3，BD=4，DE=5代入上式：
$\frac{3}{4}=\frac{DC}{5}$
解得$DC=\frac{15}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定与性质；对顶角的性质；比例计算
【点评】
本题是典型的相似三角形应用类题目，解题核心是准确识别相似三角形，利用角的相等关系完成相似判定，再结合比例关系求解线段长度，侧重对基础几何知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
5.如图,已知∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b,当BD与a,b之间满足怎样的关系式时,△ABC与△CDB相似?
答案
5. $BD=\frac{b^2}{a}$或$BD=\frac{b \sqrt{a^2 - b^2}}{a}$
解析
【分析】
已知△ABC和△CDB均为直角三角形，且直角∠ABC=∠CDB=90°，由于题目未明确两个相似三角形的对应顶点，因此需要分两种情况讨论锐角的对应关系，再结合相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长求解BD与a、b的关系式。
【解析】
∵ ∠ABC=∠CDB=90°，两个直角三角形相似存在两种对应情况：
1. 当$△ ABC ∽ △ CDB$时，对应边成比例：
$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{BD}$
将$AC=a$，$BC=b$代入得：
$\frac{a}{b}=\frac{b}{BD}$
解得$BD=\frac{b^2}{a}$。
2. 当$△ ABC ∽ △ BDC$时，对应边成比例：
$\frac{AC}{BC}=\frac{AB}{BD}$
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{a^2-b^2}$，代入比例式：
$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{BD}$
解得$BD=\frac{b\sqrt{a^2-b^2}}{a}$。
【答案】
$BD=\frac{b^2}{a}$或$BD=\frac{b\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是明确无明确对应顶点的相似问题需要分类讨论，避免因漏考虑对应关系导致漏解。
【难度系数】
0.6
已知△ABC和△CDB均为直角三角形，且直角∠ABC=∠CDB=90°，由于题目未明确两个相似三角形的对应顶点，因此需要分两种情况讨论锐角的对应关系，再结合相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长求解BD与a、b的关系式。
【解析】
∵ ∠ABC=∠CDB=90°，两个直角三角形相似存在两种对应情况：
1. 当$△ ABC ∽ △ CDB$时，对应边成比例：
$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{BD}$
将$AC=a$，$BC=b$代入得：
$\frac{a}{b}=\frac{b}{BD}$
解得$BD=\frac{b^2}{a}$。
2. 当$△ ABC ∽ △ BDC$时，对应边成比例：
$\frac{AC}{BC}=\frac{AB}{BD}$
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{a^2-b^2}$，代入比例式：
$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{BD}$
解得$BD=\frac{b\sqrt{a^2-b^2}}{a}$。
【答案】
$BD=\frac{b^2}{a}$或$BD=\frac{b\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是明确无明确对应顶点的相似问题需要分类讨论，避免因漏考虑对应关系导致漏解。
【难度系数】
0.6
6. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是内角平分线，点$E$在$AC$边上，且$∠ AED = ∠ ADB$. 求证:(1)$△ ABD ∽ △ ADE$. (2)$AD^2 = AB · AE$. 
(第6题)
(第6题)答案
证明：
(1) ∵ AD是△ABC的内角平分线，
∴ ∠BAD = ∠DAE。
又∵ ∠AED = ∠ADB，
∴ △ABD ∽ △ADE（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) ∵ △ABD ∽ △ADE，
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{AD}{AE}$，
整理得 $AD^2 = AB · AE$。
(1) ∵ AD是△ABC的内角平分线，
∴ ∠BAD = ∠DAE。
又∵ ∠AED = ∠ADB，
∴ △ABD ∽ △ADE（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) ∵ △ABD ∽ △ADE，
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{AD}{AE}$，
整理得 $AD^2 = AB · AE$。
解析
【分析】
(1) 要证明两个三角形相似，优先考虑判定定理中条件较易匹配的“两角分别相等的两个三角形相似”。首先根据AD是角平分线可得一组对应角相等，结合题目已知的另一组角相等，即可凑齐两组对应等角，完成相似证明。(2) 要证等积式$AD^2 = AB · AE$，可先将其转化为比例式$\frac{AB}{AD}=\frac{AD}{AE}$，借助第一问得到的相似三角形结论，利用相似三角形对应边成比例的性质即可推导得到该比例式，交叉变形后即为待证结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD是△ABC的内角平分线，
∴ ∠BAD = ∠DAE。
又
∵ ∠AED = ∠ADB，
∴ △ABD ∽ △ADE（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 证明：
∵ △ABD ∽ △ADE，
∴ 两个三角形的对应边成比例，即$\frac{AB}{AD}=\frac{AD}{AE}$，
将比例式交叉整理可得 $AD^2 = AB · AE$。
【答案】
(1) 已证△ABD ∽ △ADE；(2) 已证$AD^2 = AB · AE$，证明过程见解析。
【知识点】
角平分线的定义、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，核心考察相似三角形的判定与性质，解题时注意等积式和比例式的灵活转化，熟练掌握相似的相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明两个三角形相似，优先考虑判定定理中条件较易匹配的“两角分别相等的两个三角形相似”。首先根据AD是角平分线可得一组对应角相等，结合题目已知的另一组角相等，即可凑齐两组对应等角，完成相似证明。(2) 要证等积式$AD^2 = AB · AE$，可先将其转化为比例式$\frac{AB}{AD}=\frac{AD}{AE}$，借助第一问得到的相似三角形结论，利用相似三角形对应边成比例的性质即可推导得到该比例式，交叉变形后即为待证结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD是△ABC的内角平分线，
∴ ∠BAD = ∠DAE。
又
∵ ∠AED = ∠ADB，
∴ △ABD ∽ △ADE（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 证明：
∵ △ABD ∽ △ADE，
∴ 两个三角形的对应边成比例，即$\frac{AB}{AD}=\frac{AD}{AE}$，
将比例式交叉整理可得 $AD^2 = AB · AE$。
【答案】
(1) 已证△ABD ∽ △ADE；(2) 已证$AD^2 = AB · AE$，证明过程见解析。
【知识点】
角平分线的定义、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，核心考察相似三角形的判定与性质，解题时注意等积式和比例式的灵活转化，熟练掌握相似的相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
