登录
1. 代数式 $ ab, 2m - n, \frac{8}{t}, -4, \frac{x}{π} $ 中，整式共有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先要明确整式的定义：单项式和多项式统称为整式，判定整式的核心规则是分母中不能含有字母，另外注意π是常数，不是字母。接下来逐个分析给出的代数式，统计符合整式要求的个数即可得到答案。
【解析】
我们先明确整式的判定规则：单项式和多项式统称整式，整式的分母不含字母。逐个分析代数式：
1. $ab$是数字与字母的乘积，属于单项式，是整式；
2. $2m-n$是两个单项式的和，属于多项式，是整式；
3. $\frac{8}{t}$的分母含有字母$t$，属于分式，不是整式；
4. $-4$是单独的常数，属于单项式，是整式；
5. $\frac{x}{π}$中$π$是固定的常数，该式属于单项式，是整式。
综上，整式共有4个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 整式的判定
2. 单项式的定义
3. 多项式的定义
【点评】
本题是整式概念的基础考查题，易错点在于容易误将常数$π$当作字母，判定$\frac{x}{π}$不是整式，或是忽略单独的常数属于单项式，也属于整式，同时要牢记分母含字母的式子不属于整式。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确整式的定义：单项式和多项式统称为整式，判定整式的核心规则是分母中不能含有字母，另外注意π是常数，不是字母。接下来逐个分析给出的代数式，统计符合整式要求的个数即可得到答案。
【解析】
我们先明确整式的判定规则：单项式和多项式统称整式，整式的分母不含字母。逐个分析代数式：
1. $ab$是数字与字母的乘积，属于单项式，是整式；
2. $2m-n$是两个单项式的和，属于多项式，是整式；
3. $\frac{8}{t}$的分母含有字母$t$，属于分式，不是整式；
4. $-4$是单独的常数，属于单项式，是整式；
5. $\frac{x}{π}$中$π$是固定的常数，该式属于单项式，是整式。
综上，整式共有4个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 整式的判定
2. 单项式的定义
3. 多项式的定义
【点评】
本题是整式概念的基础考查题，易错点在于容易误将常数$π$当作字母，判定$\frac{x}{π}$不是整式，或是忽略单独的常数属于单项式，也属于整式，同时要牢记分母含字母的式子不属于整式。
【难度系数】
0.7
2. 下列说法正确的是 （
A.$x$ 不是单项式
B.$-15ab$ 的系数是 15
C.单项式 $4a^2b^2$ 的次数是 2
D.多项式 $a^4 - 2a^2b^2 + b^4$ 是四次三项式
D
）A.$x$ 不是单项式
B.$-15ab$ 的系数是 15
C.单项式 $4a^2b^2$ 的次数是 2
D.多项式 $a^4 - 2a^2b^2 + b^4$ 是四次三项式
答案
2.D
解析
【分析】
这道题考查单项式、多项式的相关基础概念，解题时先回忆单项式的定义、系数、次数，以及多项式的次数、项数的判定规则，再逐一分析每个选项是否符合概念，最终选出正确选项。
【解析】
先明确核心概念：
1. 单项式：由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式的系数是单项式中的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数和。
2. 多项式：几个单项式的和叫做多项式，多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，所含单项式的个数就是多项式的项数。
逐一分析选项：
A选项：x是单独的字母，符合单项式的定义，属于单项式，故A错误；
B选项：$-15ab$的数字因数是$-15$，因此它的系数是$-15$，不是15，故B错误；
C选项：单项式$4a^2b^2$中，a的指数为2，b的指数为2，总次数为$2+2=4$，不是2，故C错误；
D选项：多项式$a^4 - 2a^2b^2 + b^4$共有3个单项式项，最高次项的次数为4，因此它是四次三项式，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式的概念；单项式的系数与次数；多项式的相关概念
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于容易忽略单项式系数的符号、计算单项式次数时漏加字母指数，只要准确牢记相关定义即可快速做出正确判断。
【难度系数】
0.8
这道题考查单项式、多项式的相关基础概念，解题时先回忆单项式的定义、系数、次数，以及多项式的次数、项数的判定规则，再逐一分析每个选项是否符合概念，最终选出正确选项。
【解析】
先明确核心概念：
1. 单项式：由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式的系数是单项式中的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数和。
2. 多项式：几个单项式的和叫做多项式，多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，所含单项式的个数就是多项式的项数。
逐一分析选项：
A选项：x是单独的字母，符合单项式的定义，属于单项式，故A错误；
B选项：$-15ab$的数字因数是$-15$，因此它的系数是$-15$，不是15，故B错误；
C选项：单项式$4a^2b^2$中，a的指数为2，b的指数为2，总次数为$2+2=4$，不是2，故C错误；
D选项：多项式$a^4 - 2a^2b^2 + b^4$共有3个单项式项，最高次项的次数为4，因此它是四次三项式，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式的概念；单项式的系数与次数；多项式的相关概念
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于容易忽略单项式系数的符号、计算单项式次数时漏加字母指数，只要准确牢记相关定义即可快速做出正确判断。
【难度系数】
0.8
3.(合肥蜀山区期末)若$3m^4n^{|a|}$与$-\frac{1}{2}m^{|b-1|}n^2$是同类项，且$a＜b$，则（
A.$a=2,b=5$
B.$a=-2,b=-5$
C.$a=\pm2,b=5$
D.$a=\pm2,b=-5$
C
）A.$a=2,b=5$
B.$a=-2,b=-5$
C.$a=\pm2,b=5$
D.$a=\pm2,b=-5$
答案
3.C
解析
【分析】
解决本题首先要明确同类项的判定条件：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等。我们先根据这个条件列出关于a、b的绝对值方程，求出a、b的所有可能取值，再结合题干给出的a＜b的限制条件，排除不符合要求的取值，最终匹配正确选项即可。
【解析】
解：
∵$3m^4n^{|a|}$与$-\frac{1}{2}m^{|b-1|}n^2$是同类项
∴根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}|b - 1| = 4 \\|a| = 2\end{cases}$
解$|a|=2$，得$a=2$或$a=-2$；
解$|b - 1|=4$，得$b-1=4$或$b-1=-4$，即$b=5$或$b=-3$。
又
∵$a ＜ b$，
当$b=-3$时，a的取值2、-2均大于-3，不符合$a ＜ b$的要求，故舍去$b=-3$，即$b=5$；
当$b=5$时，$a=2$和$a=-2$都满足$a ＜ 5$，故$a=\pm2$，$b=5$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
同类项的定义，绝对值的性质
【点评】
本题解题关键是牢记同类项的判定规则，同时注意绝对值方程求解时的多解性，最后要结合题干给出的限制条件筛选符合要求的解，避免因漏看限制条件选错答案。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确同类项的判定条件：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等。我们先根据这个条件列出关于a、b的绝对值方程，求出a、b的所有可能取值，再结合题干给出的a＜b的限制条件，排除不符合要求的取值，最终匹配正确选项即可。
【解析】
解：
∵$3m^4n^{|a|}$与$-\frac{1}{2}m^{|b-1|}n^2$是同类项
∴根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}|b - 1| = 4 \\|a| = 2\end{cases}$
解$|a|=2$，得$a=2$或$a=-2$；
解$|b - 1|=4$，得$b-1=4$或$b-1=-4$，即$b=5$或$b=-3$。
又
∵$a ＜ b$，
当$b=-3$时，a的取值2、-2均大于-3，不符合$a ＜ b$的要求，故舍去$b=-3$，即$b=5$；
当$b=5$时，$a=2$和$a=-2$都满足$a ＜ 5$，故$a=\pm2$，$b=5$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
同类项的定义，绝对值的性质
【点评】
本题解题关键是牢记同类项的判定规则，同时注意绝对值方程求解时的多解性，最后要结合题干给出的限制条件筛选符合要求的解，避免因漏看限制条件选错答案。
【难度系数】
0.7
4.把多项式$3xy^2 - 2x^2y + 4y^3 - x^3$按$x$的降幂排列为
$-x^3 -2x^2y +3xy^2 +4y^3$
。答案
4.$-x^3 -2x^2y +3xy^2 +4y^3$
解析
【分析】
解题首先要明确按x的降幂排列的含义：即将多项式的所有项按照x的指数从大到小的顺序排列。第一步先拆分原多项式的所有项，注意要保留每一项前面的正负号；第二步分别确定每一项中x的次数，不含x的项x的次数视为0；最后按照x的次数从高到低重新排列各项即可。
【解析】
原多项式的各项及对应x的次数如下：
1. 项$-x^3$：x的次数为3
2. 项$-2x^2y$：x的次数为2
3. 项$3xy^2$：x的次数为1
4. 项$4y^3$：不含x，x的次数为0
按照x的次数从大到小排列各项，保留每项原有符号，得到：$-x^3 -2x^2y +3xy^2 +4y^3$
【答案】
$-x^3 -2x^2y +3xy^2 +4y^3$
【知识点】
1. 多项式降幂排列
2. 单项式的次数
【点评】
本题是多项式排列的基础题型，解题核心是牢记排列规则，移动各项时要连同其前面的符号一起移动，避免符号错误，同时注意不要漏写任何一项。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确按x的降幂排列的含义：即将多项式的所有项按照x的指数从大到小的顺序排列。第一步先拆分原多项式的所有项，注意要保留每一项前面的正负号；第二步分别确定每一项中x的次数，不含x的项x的次数视为0；最后按照x的次数从高到低重新排列各项即可。
【解析】
原多项式的各项及对应x的次数如下：
1. 项$-x^3$：x的次数为3
2. 项$-2x^2y$：x的次数为2
3. 项$3xy^2$：x的次数为1
4. 项$4y^3$：不含x，x的次数为0
按照x的次数从大到小排列各项，保留每项原有符号，得到：$-x^3 -2x^2y +3xy^2 +4y^3$
【答案】
$-x^3 -2x^2y +3xy^2 +4y^3$
【知识点】
1. 多项式降幂排列
2. 单项式的次数
【点评】
本题是多项式排列的基础题型，解题核心是牢记排列规则，移动各项时要连同其前面的符号一起移动，避免符号错误，同时注意不要漏写任何一项。
【难度系数】
0.8
5.某种商品每件的进价为$ m $元，标价为$ n $元，后来由于该商品积压，于是将此商品按标价的$ 70\% $销售，则该商品每件的利润为
$(70\%n -m)$
元.答案
5.$(70\%n -m)$
解析
【分析】
解决本题首先要明确销售问题中利润的计算关系：利润=售价-进价。解题时先根据题目给出的折扣条件算出商品的实际售价，再用售价减去进价即可得到每件商品的利润。已知标价为n元，按标价的70%销售，可先表示出售价，再代入利润公式计算。
【解析】
第一步：计算商品的实际售价
已知商品标价为n元，按标价的70%销售，因此实际售价为：$70\% × n = 70\%n$（元）
第二步：计算每件商品的利润
根据利润计算公式：利润=售价-进价，已知进价为m元，代入得：
利润 = $70\%n - m = (70\%n - m)$（元）
【答案】
$(70\%n - m)$
【知识点】
列代数式、利润计算公式、打折销售问题
【点评】
本题是基础的实际应用类题型，核心考查销售场景下的数量关系应用，难度较低，只要准确掌握利润、售价、进价三者的关系，结合折扣信息正确表示出售价即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确销售问题中利润的计算关系：利润=售价-进价。解题时先根据题目给出的折扣条件算出商品的实际售价，再用售价减去进价即可得到每件商品的利润。已知标价为n元，按标价的70%销售，可先表示出售价，再代入利润公式计算。
【解析】
第一步：计算商品的实际售价
已知商品标价为n元，按标价的70%销售，因此实际售价为：$70\% × n = 70\%n$（元）
第二步：计算每件商品的利润
根据利润计算公式：利润=售价-进价，已知进价为m元，代入得：
利润 = $70\%n - m = (70\%n - m)$（元）
【答案】
$(70\%n - m)$
【知识点】
列代数式、利润计算公式、打折销售问题
【点评】
本题是基础的实际应用类题型，核心考查销售场景下的数量关系应用，难度较低，只要准确掌握利润、售价、进价三者的关系，结合折扣信息正确表示出售价即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
6. 下列计算正确的是 （
A.$-x^2y + yx^2 = 0$
B.$a^2 + 3a^2 = 4a^4$
C.$3a + 4b = 7ab$
D.$2(x + y) = 2x + y$
A
）A.$-x^2y + yx^2 = 0$
B.$a^2 + 3a^2 = 4a^4$
C.$3a + 4b = 7ab$
D.$2(x + y) = 2x + y$
答案
6.A
解析
【分析】
本题考查整式加减相关的基础运算，解题思路是逐一验证每个选项：首先判断选项中的项是否为同类项，非同类项不能合并；若是同类项则按照合并同类项法则计算结果，涉及去括号的按照去括号法则计算，最后判断运算是否正确。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$-x^2y$与$yx^2$是同类项（所含字母相同，相同字母的指数也相同），合并同类项时系数相加，字母和字母的指数不变，即$-x^2y + yx^2 = (-1+1)x^2y=0$，该运算正确；
B选项：$a^2 + 3a^2$合并同类项后应为$(1+3)a^2=4a^2$，选项结果写成$4a^4$，错误改变了字母的指数，运算错误；
C选项：$3a$和$4b$所含字母不同，不是同类项，不能直接合并，运算错误；
D选项：根据去括号法则，用括号外的因数乘括号内的每一项，$2(x+y)=2· x + 2· y=2x+2y$，选项漏乘了$y$的系数，运算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
同类项识别、合并同类项、去括号法则
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察基础运算规则的掌握情况，需要注意：合并同类项时仅系数相加减，字母和字母的指数保持不变；去括号时括号外的因数要乘括号内的每一项，避免漏乘。
【难度系数】
0.9
本题考查整式加减相关的基础运算，解题思路是逐一验证每个选项：首先判断选项中的项是否为同类项，非同类项不能合并；若是同类项则按照合并同类项法则计算结果，涉及去括号的按照去括号法则计算，最后判断运算是否正确。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$-x^2y$与$yx^2$是同类项（所含字母相同，相同字母的指数也相同），合并同类项时系数相加，字母和字母的指数不变，即$-x^2y + yx^2 = (-1+1)x^2y=0$，该运算正确；
B选项：$a^2 + 3a^2$合并同类项后应为$(1+3)a^2=4a^2$，选项结果写成$4a^4$，错误改变了字母的指数，运算错误；
C选项：$3a$和$4b$所含字母不同，不是同类项，不能直接合并，运算错误；
D选项：根据去括号法则，用括号外的因数乘括号内的每一项，$2(x+y)=2· x + 2· y=2x+2y$，选项漏乘了$y$的系数，运算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
同类项识别、合并同类项、去括号法则
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察基础运算规则的掌握情况，需要注意：合并同类项时仅系数相加减，字母和字母的指数保持不变；去括号时括号外的因数要乘括号内的每一项，避免漏乘。
【难度系数】
0.9
7.已知$x^2 + 2x$的值是$-1$，则$4x^2 + 8x -5$的值为
$-9$
。答案
7.$-9$
解析
【分析】
首先观察已知条件和所求代数式的结构，发现所求代数式中的$4x^2+8x$可以提取公因式4，变形为$4(x^2+2x)$，而已知$x^2+2x=-1$，因此不需要求出$x$的具体值，直接把$x^2+2x$作为整体代入变形后的式子计算即可。
【解析】
解：已知$x^2 + 2x = -1$，
对$4x^2 + 8x -5$变形提取公因式可得：
$4x^2 + 8x -5 = 4(x^2 + 2x) -5$
将$x^2 + 2x = -1$代入上式：
原式$= 4×(-1) -5 = -4 -5 = -9$
【答案】
$-9$
【知识点】
代数式求值，整体代入法
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题关键是观察代数式的结构特征，灵活运用整体代入思想简化计算，避免不必要的解方程运算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件和所求代数式的结构，发现所求代数式中的$4x^2+8x$可以提取公因式4，变形为$4(x^2+2x)$，而已知$x^2+2x=-1$，因此不需要求出$x$的具体值，直接把$x^2+2x$作为整体代入变形后的式子计算即可。
【解析】
解：已知$x^2 + 2x = -1$，
对$4x^2 + 8x -5$变形提取公因式可得：
$4x^2 + 8x -5 = 4(x^2 + 2x) -5$
将$x^2 + 2x = -1$代入上式：
原式$= 4×(-1) -5 = -4 -5 = -9$
【答案】
$-9$
【知识点】
代数式求值，整体代入法
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题关键是观察代数式的结构特征，灵活运用整体代入思想简化计算，避免不必要的解方程运算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
8.若多项式$(2x^2 + ax - y + 4) + (-2bx^2 + 3x -5y +1)$的值与字母$x$的取值无关，则$b - 2a$的值是
7
。答案
8.7
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确“多项式的值与字母x的取值无关”的含义：即所有含x的项的系数都为0。解题思路为：第一步先对给出的多项式去括号、合并同类项，分别整理出x²项、x项的系数；第二步令含x的项的系数等于0，列方程求出a、b的值；第三步将a、b的值代入b-2a计算即可得到结果。
【解析】
先对多项式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}&(2x^2 + ax - y + 4) + (-2bx^2 + 3x -5y +1)\\=&2x^2 + ax - y + 4 -2bx^2 + 3x -5y +1\\=&(2-2b)x^2 + (a+3)x + (-y-5y) + (4+1)\\=&(2-2b)x^2 + (a+3)x -6y +5\end{aligned}$
因为多项式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即：
$\begin{cases}2-2b=0\\a+3=0\end{cases}$
解得：$b=1$，$a=-3$
将$b=1$，$a=-3$代入$b-2a$得：
$b-2a=1 - 2×(-3)=1+6=7$
【答案】
7
【知识点】
合并同类项；多项式无关条件；代数式求值
【点评】
本题是整式加减部分的典型题型，解题的核心是理解“多项式的值与某字母取值无关”等价于该字母的所有同次项的系数均为0，熟练掌握合并同类项的法则是正确解题的基础。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确“多项式的值与字母x的取值无关”的含义：即所有含x的项的系数都为0。解题思路为：第一步先对给出的多项式去括号、合并同类项，分别整理出x²项、x项的系数；第二步令含x的项的系数等于0，列方程求出a、b的值；第三步将a、b的值代入b-2a计算即可得到结果。
【解析】
先对多项式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}&(2x^2 + ax - y + 4) + (-2bx^2 + 3x -5y +1)\\=&2x^2 + ax - y + 4 -2bx^2 + 3x -5y +1\\=&(2-2b)x^2 + (a+3)x + (-y-5y) + (4+1)\\=&(2-2b)x^2 + (a+3)x -6y +5\end{aligned}$
因为多项式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即：
$\begin{cases}2-2b=0\\a+3=0\end{cases}$
解得：$b=1$，$a=-3$
将$b=1$，$a=-3$代入$b-2a$得：
$b-2a=1 - 2×(-3)=1+6=7$
【答案】
7
【知识点】
合并同类项；多项式无关条件；代数式求值
【点评】
本题是整式加减部分的典型题型，解题的核心是理解“多项式的值与某字母取值无关”等价于该字母的所有同次项的系数均为0，熟练掌握合并同类项的法则是正确解题的基础。
【难度系数】
0.7
9. 计算：
(1)$x-(3x-2)+(2x-3)$;
(2)$\frac{1}{2}x^2 - [7x-(4x-3)-3x^2]$.
(1)$x-(3x-2)+(2x-3)$;
(2)$\frac{1}{2}x^2 - [7x-(4x-3)-3x^2]$.
答案
9.解:(1)原式$=x-3x+2+2x-3=(x-3x+2x)+(2-3)=-1$;(2)原式$=\frac{1}{2}x^2 -7x+4x-3+3x^2=(\frac{1}{2}x^2 +3x^2)+(-7x+4x)-3=\frac{7}{2}x^2 -3x -3.$
解析
【分析】
整式加减运算的核心是先去括号，再合并同类项。解题时先按去括号法则处理括号：括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去括号后括号内各项符号都要改变。有多层括号时先去小括号，再去中括号，之后将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变即可得到结果。
【解析】
(1) 先根据去括号法则去掉括号：
原式$=x - 3x + 2 + 2x - 3$
再将同类项分组合并：
$=(x - 3x + 2x) + (2 - 3)$
$=0 - 1$
$=-1$
(2) 先去小括号，再去中括号，注意括号前为负号时各项变号：
原式$=\frac{1}{2}x^2 - [7x - 4x + 3 - 3x^2]$
$=\frac{1}{2}x^2 - 7x + 4x - 3 + 3x^2$
再将同类项分组合并：
$=(\frac{1}{2}x^2 + 3x^2) + (-7x + 4x) - 3$
$=\frac{7}{2}x^2 - 3x - 3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{\frac{7}{2}x^2 - 3x - 3}$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础运算题，易错点是去括号时符号处理错误，尤其是括号前为负号时，要注意括号内所有项都要变号，熟练掌握运算规则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.75
整式加减运算的核心是先去括号，再合并同类项。解题时先按去括号法则处理括号：括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去括号后括号内各项符号都要改变。有多层括号时先去小括号，再去中括号，之后将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变即可得到结果。
【解析】
(1) 先根据去括号法则去掉括号：
原式$=x - 3x + 2 + 2x - 3$
再将同类项分组合并：
$=(x - 3x + 2x) + (2 - 3)$
$=0 - 1$
$=-1$
(2) 先去小括号，再去中括号，注意括号前为负号时各项变号：
原式$=\frac{1}{2}x^2 - [7x - 4x + 3 - 3x^2]$
$=\frac{1}{2}x^2 - 7x + 4x - 3 + 3x^2$
再将同类项分组合并：
$=(\frac{1}{2}x^2 + 3x^2) + (-7x + 4x) - 3$
$=\frac{7}{2}x^2 - 3x - 3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{\frac{7}{2}x^2 - 3x - 3}$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础运算题，易错点是去括号时符号处理错误，尤其是括号前为负号时，要注意括号内所有项都要变号，熟练掌握运算规则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.75
10.已知三角形的周长是$3x^2 -2$，第一条边的长度是$5x - x^2$，第二条边比第一条边长$3x^2 -10x +6$，则第三条边的长度是（
A.$2x^2 -8$
B.$x^2 +6$
C.$x^2 -5x +6$
D.$x^2 +1$
A
）A.$2x^2 -8$
B.$x^2 +6$
C.$x^2 -5x +6$
D.$x^2 +1$
答案
10.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确核心关系：三角形周长等于三条边长度之和，因此第三条边长度=周长-第一条边长度-第二条边长度。解题时分三步：第一步先根据“第二条边比第一条边长$3x^2 -10x +6$”求出第二条边的长度；第二步计算前两条边的长度之和；第三步用周长减去前两条边的和，通过整式的加减运算化简即可得到结果，计算时注意去括号的符号规则和同类项合并的方法。
【解析】
1. 计算第二条边的长度：
已知第一条边长为$5x - x^2$，第二条边比第一条边长$3x^2 -10x +6$，因此：
$\begin{aligned}\mathrm{第二条边长}&=(5x - x^2)+(3x^2 -10x +6)\\&=-x^2 + 3x^2 + 5x -10x +6\\&=2x^2 -5x +6\end{aligned}$
2. 计算前两条边的长度之和：
$\begin{aligned}\mathrm{前两条边和}&=(5x - x^2)+(2x^2 -5x +6)\\&=-x^2 + 2x^2 + 5x -5x +6\\&=x^2 +6\end{aligned}$
3. 计算第三条边的长度，已知周长为$3x^2 -2$：
$\begin{aligned}\mathrm{第三条边长}&=(3x^2 -2)-(x^2 +6)\\&=3x^2 -2 -x^2 -6\\&=2x^2 -8\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
三角形周长公式，整式的加减，合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础实际应用题，解题关键是先根据题意正确表示出第二条边的长度，再结合周长公式列式计算，计算时要特别注意去括号时的符号变化，避免因符号问题出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确核心关系：三角形周长等于三条边长度之和，因此第三条边长度=周长-第一条边长度-第二条边长度。解题时分三步：第一步先根据“第二条边比第一条边长$3x^2 -10x +6$”求出第二条边的长度；第二步计算前两条边的长度之和；第三步用周长减去前两条边的和，通过整式的加减运算化简即可得到结果，计算时注意去括号的符号规则和同类项合并的方法。
【解析】
1. 计算第二条边的长度：
已知第一条边长为$5x - x^2$，第二条边比第一条边长$3x^2 -10x +6$，因此：
$\begin{aligned}\mathrm{第二条边长}&=(5x - x^2)+(3x^2 -10x +6)\\&=-x^2 + 3x^2 + 5x -10x +6\\&=2x^2 -5x +6\end{aligned}$
2. 计算前两条边的长度之和：
$\begin{aligned}\mathrm{前两条边和}&=(5x - x^2)+(2x^2 -5x +6)\\&=-x^2 + 2x^2 + 5x -5x +6\\&=x^2 +6\end{aligned}$
3. 计算第三条边的长度，已知周长为$3x^2 -2$：
$\begin{aligned}\mathrm{第三条边长}&=(3x^2 -2)-(x^2 +6)\\&=3x^2 -2 -x^2 -6\\&=2x^2 -8\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
三角形周长公式，整式的加减，合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础实际应用题，解题关键是先根据题意正确表示出第二条边的长度，再结合周长公式列式计算，计算时要特别注意去括号时的符号变化，避免因符号问题出错。
【难度系数】
0.8
11.某市为吸引人才，为优秀青年学者优惠提供一套住房，其平面图如图
所示，其中厨房和卫生间的占地面积之和是
所示，其中厨房和卫生间的占地面积之和是$3x+2y$
.(用含x,y的代数式表示)答案
11.$3x+2y$
解析
【分析】
要计算厨房和卫生间的占地面积之和，需先分别求出两个区域的面积再相加。首先回忆长方形面积公式为长×宽，接下来分别确定两个区域的边长：卫生间的水平长度为y，竖直高度为2；厨房的竖直高度为x，水平长度可通过整体水平长度6减去卧室的水平长度3得到，最后分别计算面积求和即可。
【解析】
1. 计算卫生间面积：
卫生间是长为y、宽为2的长方形，根据长方形面积公式，面积为$2× y=2y$。
2. 计算厨房面积：
厨房的水平长度为$6-3=3$，竖直高度为x，是长为3、宽为x的长方形，面积为$3× x=3x$。
3. 计算面积之和：
将两个区域的面积相加，得到总面积为$3x+2y$。
【答案】
$3x+2y$
【知识点】
长方形面积计算、列代数式、整式加法
【点评】
本题结合实际平面图考查代数式的应用，解题核心是准确识别各部分长方形的边长，结合面积公式列式计算即可。
【难度系数】
0.8
要计算厨房和卫生间的占地面积之和，需先分别求出两个区域的面积再相加。首先回忆长方形面积公式为长×宽，接下来分别确定两个区域的边长：卫生间的水平长度为y，竖直高度为2；厨房的竖直高度为x，水平长度可通过整体水平长度6减去卧室的水平长度3得到，最后分别计算面积求和即可。
【解析】
1. 计算卫生间面积：
卫生间是长为y、宽为2的长方形，根据长方形面积公式，面积为$2× y=2y$。
2. 计算厨房面积：
厨房的水平长度为$6-3=3$，竖直高度为x，是长为3、宽为x的长方形，面积为$3× x=3x$。
3. 计算面积之和：
将两个区域的面积相加，得到总面积为$3x+2y$。
【答案】
$3x+2y$
【知识点】
长方形面积计算、列代数式、整式加法
【点评】
本题结合实际平面图考查代数式的应用，解题核心是准确识别各部分长方形的边长，结合面积公式列式计算即可。
【难度系数】
0.8
12. 观察下列等式：
$1^2 = \frac{1}{6} × 1 × 2 × (2+1)$；
$1^2 + 2^2 = \frac{1}{6} × 2 × 3 × (4+1)$；
$1^2 + 2^2 + 3^2 = \frac{1}{6} × 3 × 4 × (6+1)$；
$1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = \frac{1}{6} × 4 × 5 × (8+1)$；
$\dots$
可以推测 $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \_\_\_\_\_\_$。
（$n$为正整数）
$1^2 = \frac{1}{6} × 1 × 2 × (2+1)$；
$1^2 + 2^2 = \frac{1}{6} × 2 × 3 × (4+1)$；
$1^2 + 2^2 + 3^2 = \frac{1}{6} × 3 × 4 × (6+1)$；
$1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = \frac{1}{6} × 4 × 5 × (8+1)$；
$\dots$
可以推测 $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \_\_\_\_\_\_$。
（$n$为正整数）
答案
12.$\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
解析
【分析】
我们需要通过观察给出的特殊等式，归纳出左边从1开始的连续正整数平方和，与右边代数式的对应规律，进而得到关于n的通用表达式。解题时先固定左边最后一项的底数为n，对比n取1、2、3、4时右边各乘数和n的对应关系：首先找所有等式右侧的共同部分，再逐一分析每个乘数随n变化的规律，最后组合得到通用式子，还可代入数值验证规律是否成立。
【解析】
观察已知等式：
当n=1时，左边=$1^2$，右边=$\frac{1}{6}×1×2×3=\frac{1}{6}×1×(1+1)×(2×1+1)$；
当n=2时，左边=$1^2+2^2$，右边=$\frac{1}{6}×2×3×5=\frac{1}{6}×2×(2+1)×(2×2+1)$；
当n=3时，左边=$1^2+2^2+3^2$，右边=$\frac{1}{6}×3×4×7=\frac{1}{6}×3×(3+1)×(2×3+1)$；
当n=4时，左边=$1^2+2^2+3^2+4^2$，右边=$\frac{1}{6}×4×5×9=\frac{1}{6}×4×(4+1)×(2×4+1)$；
以此类推，可归纳得到通用规律：
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
（代入任意正整数n验证，等式左右两边结果相等，规律成立）
【答案】
$\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
【知识点】
数字规律探究，代数式表示规律
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是观察已知等式中各项和项数的对应关系，通过从特殊到一般的归纳方法推导通用公式，掌握这类题的分析方法对后续整式规律、数列类题目的求解有很大帮助。
【难度系数】
0.7
我们需要通过观察给出的特殊等式，归纳出左边从1开始的连续正整数平方和，与右边代数式的对应规律，进而得到关于n的通用表达式。解题时先固定左边最后一项的底数为n，对比n取1、2、3、4时右边各乘数和n的对应关系：首先找所有等式右侧的共同部分，再逐一分析每个乘数随n变化的规律，最后组合得到通用式子，还可代入数值验证规律是否成立。
【解析】
观察已知等式：
当n=1时，左边=$1^2$，右边=$\frac{1}{6}×1×2×3=\frac{1}{6}×1×(1+1)×(2×1+1)$；
当n=2时，左边=$1^2+2^2$，右边=$\frac{1}{6}×2×3×5=\frac{1}{6}×2×(2+1)×(2×2+1)$；
当n=3时，左边=$1^2+2^2+3^2$，右边=$\frac{1}{6}×3×4×7=\frac{1}{6}×3×(3+1)×(2×3+1)$；
当n=4时，左边=$1^2+2^2+3^2+4^2$，右边=$\frac{1}{6}×4×5×9=\frac{1}{6}×4×(4+1)×(2×4+1)$；
以此类推，可归纳得到通用规律：
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
（代入任意正整数n验证，等式左右两边结果相等，规律成立）
【答案】
$\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
【知识点】
数字规律探究，代数式表示规律
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是观察已知等式中各项和项数的对应关系，通过从特殊到一般的归纳方法推导通用公式，掌握这类题的分析方法对后续整式规律、数列类题目的求解有很大帮助。
【难度系数】
0.7
