8 [2026金华义乌段测]如图,矩形ABCD∽矩形FAHG,连结BD,延长GH分别交BD,BC于点I,J,延长CD,FG交于点E,一定能求出△BIJ面积的条件是 ()

A.矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B.矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C.矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D.矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差

8. B 解析:设$AH=x$,$GH=y$,$EG=a$,$DC=b$,则易得$BJ=FG=x$,$AB=b$,$JC=a$. 因为易知$JI// CD$,所以$\frac{JI}{CD}=\frac{BJ}{BC}$. 所以$JI=\frac{xb}{x+a}$. 因为矩形ABCD∽矩形FAHG,所以$\frac{AD}{FG}=\frac{DC}{GH}$,即$\frac{x+a}{x}=\frac{b}{y}$. 所以$xb=y(x+a)$. 因为$S_{△ BIJ}=\frac{1}{2}BJ· JI=\frac{1}{2}x·\frac{xb}{x+a}=\frac{1}{2}xy$.$S_{\mathrm{矩形}ABJH}-S_{\mathrm{矩形}HDEG}=AB· BJ-EG· GH=xb-ay=y(x+a)-ay=xy$. 所以$S_{△ BIJ}=\frac{1}{2}(S_{\mathrm{矩形}ABJH}-S_{\mathrm{矩形}HDEG})$. 所以一定能求出△BIJ面积的条件是矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差.

9 如图, 菱形 ABCD 的周长为 12, ∠DAB = 60°, 对角线 AC 上有 E, F 两点(点 E 在点 F 的左侧). 若四边形 DEBF 与菱形 ABCD 相似, 则 AE 的长为.

9. $\sqrt{3}$

10 [2026宁波慈溪段测]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,$CD ⊥ AB$于点$D$,矩形$MNHD$、矩形$GDEF$的顶点分别在$△ BCD$,$△ ACD$的三边上,且矩形$MNHD ∽$矩形$GDEF$.设矩形$MNHD$与矩形$GDEF$的相似比为$k$,求证:$\frac{BD}{CD}=k$.

10. 连结FD,DN. 因为矩形MNHD∽矩形GDEF,所以易得∠BDN=∠FDE. 因为∠ACB=90°,CD⊥AB,所以∠ACD+∠BCD = ∠B + ∠BCD = 90°. 所以∠B = ∠FCD. 所以△BND∽△CFD. 所以$\frac{BD}{CD}=\frac{DN}{DF}$. 因为矩形MNHD与矩形GDEF的相似比为$k$,所以$\frac{DN}{DF}=k$. 所以$\frac{BD}{CD}=k$

11 如图，$A_n$ 系列矩形纸张的规格特征如下：
① 各矩形纸张都相似；② 一张 A1 纸对裁后可以得到两张 A2 纸，一张 A2 纸对裁后可以得到两张 A3 纸……一张 An 纸对裁后可以得到两张 $A(n+1)$ 纸.
（1）A1 纸张的面积是 A2 纸张面积的倍，A2 纸张的周长是 A4 纸张周长的倍；
（2）根据 An 系列矩形纸张的规格特征，求出该系列矩形纸张的长与宽之比；
（3）设 A1 纸张的质量为 d 克，试求出 A8 纸张的质量（用含 d 的代数式表示）.

11. （1）2 2 （2）设A1纸张的长和宽分别是$m,n(m＞n＞0)$,则A2纸张的长和宽分别为$n,\frac{1}{2}m$. 由题意,得$\frac{m}{n}=\frac{n}{\frac{1}{2}m}$,所以$\frac{m}{n}=\sqrt{2}$. 所以该系列矩形纸张的长与宽之比为$\sqrt{2}:1$ （3）因为A1纸张的质量为d克,A2纸张的面积是A1纸张面积的一半,所以A2纸张的质量为$\frac{1}{2}d$克. 同理,可得A3纸张的质量为$(\frac{1}{2})^2 d$克. 依次类推,可得A8纸张的质量为$(\frac{1}{2})^7 d$克.