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10. 如图，点A在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，且$OA=4$，过A作$AC⊥x$轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，则△ABC的周长为（
A.6
B.7
C.$2\sqrt{7}$
D.$5\sqrt{2}$
（第10题）
C
）A.6
B.7
C.$2\sqrt{7}$
D.$5\sqrt{2}$
（第10题）答案
10.C
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：首先利用线段垂直平分线的性质，得到AB=OB，可将△ABC的周长转化为OC+AC的和，简化计算目标。接下来设点A坐标为(x,y)，结合点A在反比例函数图象上可得xy=6，再由OA=4结合勾股定理可得x²+y²=16，最后利用完全平方公式计算x+y的数值，即可得到△ABC的周长。
【解析】
∵ B在OA的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴ AB = OB。
△ABC的周长 = AB + BC + AC，将AB替换为OB，可得：
周长 = OB + BC + AC = OC + AC。
设点A的坐标为(x, y)（x＞0，y＞0），
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ $xy=6$。
又
∵ OA=4，AC⊥x轴，在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$x^2 + y^2 = OA^2 = 4^2 =16$。
对$(x+y)^2$展开得：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，
代入$x^2+y^2=16$，$xy=6$得：
$(x+y)^2 =16 + 2×6 = 28$，
∵ x＞0，y＞0，
∴ $x+y=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$，即△ABC的周长为$2\sqrt{7}$。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；反比例函数的性质；勾股定理
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量替换，将三角形周长转化为点A横、纵坐标的和，再结合反比例函数特征和勾股定理，通过完全平方公式变形完成计算，避免了单独求解x、y的复杂运算。
【难度系数】
0.6
解题时先观察图形特征：首先利用线段垂直平分线的性质，得到AB=OB，可将△ABC的周长转化为OC+AC的和，简化计算目标。接下来设点A坐标为(x,y)，结合点A在反比例函数图象上可得xy=6，再由OA=4结合勾股定理可得x²+y²=16，最后利用完全平方公式计算x+y的数值，即可得到△ABC的周长。
【解析】
∵ B在OA的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴ AB = OB。
△ABC的周长 = AB + BC + AC，将AB替换为OB，可得：
周长 = OB + BC + AC = OC + AC。
设点A的坐标为(x, y)（x＞0，y＞0），
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ $xy=6$。
又
∵ OA=4，AC⊥x轴，在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$x^2 + y^2 = OA^2 = 4^2 =16$。
对$(x+y)^2$展开得：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，
代入$x^2+y^2=16$，$xy=6$得：
$(x+y)^2 =16 + 2×6 = 28$，
∵ x＞0，y＞0，
∴ $x+y=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$，即△ABC的周长为$2\sqrt{7}$。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；反比例函数的性质；勾股定理
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量替换，将三角形周长转化为点A横、纵坐标的和，再结合反比例函数特征和勾股定理，通过完全平方公式变形完成计算，避免了单独求解x、y的复杂运算。
【难度系数】
0.6
11. 如图,已知一次函数$y=ax+b$和反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限内交于点$C(4,2)$,则当$x＞0$时,不等式$ax+b-\frac{k}{x}＞0$的解集为
$x＞4$
.答案
11.$x＞4$
解析
【分析】
首先对不等式变形，$ax+b-\frac{k}{x}＞0$等价于$ax+b＞\frac{k}{x}$，该不等式的几何意义是：x取何值时，一次函数$y=ax+b$的函数值大于反比例函数$y=\frac{k}{x}$的函数值，对应到图象上就是一次函数图象位于反比例函数图象上方时的x的取值范围。题目限定$x＞0$，只需观察第一象限内两个函数的图象位置即可：已知两函数第一象限交点为$C(4,2)$，交点处两个函数值相等，交点左侧反比例函数图象在一次函数上方，交点右侧一次函数图象在反比例函数上方，由此可得解集。
【解析】
将不等式$ax+b-\frac{k}{x}＞0$变形为$ax+b＞\frac{k}{x}$，即求$x＞0$时一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围。
观察图象可得：两个函数在第一象限的交点C的横坐标为4，当$x＞4$时，一次函数$y=ax+b$的图象在反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象的上方，满足$ax+b＞\frac{k}{x}$，因此不等式的解集为$x＞4$。
【答案】
$x＞4$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合；利用函数图象解不等式
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，无需复杂计算，只需理解函数值大小关系和图象上下位置的对应关系，结合交点坐标即可快速求解，解题关键是准确将不等式转化为图象的位置关系问题。
【难度系数】
0.7
首先对不等式变形，$ax+b-\frac{k}{x}＞0$等价于$ax+b＞\frac{k}{x}$，该不等式的几何意义是：x取何值时，一次函数$y=ax+b$的函数值大于反比例函数$y=\frac{k}{x}$的函数值，对应到图象上就是一次函数图象位于反比例函数图象上方时的x的取值范围。题目限定$x＞0$，只需观察第一象限内两个函数的图象位置即可：已知两函数第一象限交点为$C(4,2)$，交点处两个函数值相等，交点左侧反比例函数图象在一次函数上方，交点右侧一次函数图象在反比例函数上方，由此可得解集。
【解析】
将不等式$ax+b-\frac{k}{x}＞0$变形为$ax+b＞\frac{k}{x}$，即求$x＞0$时一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围。
观察图象可得：两个函数在第一象限的交点C的横坐标为4，当$x＞4$时，一次函数$y=ax+b$的图象在反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象的上方，满足$ax+b＞\frac{k}{x}$，因此不等式的解集为$x＞4$。
【答案】
$x＞4$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合；利用函数图象解不等式
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，无需复杂计算，只需理解函数值大小关系和图象上下位置的对应关系，结合交点坐标即可快速求解，解题关键是准确将不等式转化为图象的位置关系问题。
【难度系数】
0.7
12. 如图，D是$□ OABC$内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，$BD=\sqrt{3}$，$∠ ADB=135°$，$S_{△ ABD}=3$.若反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象经过A，D两点，则k的值是
$9$
.答案
12.9
解析
【分析】
解题时先从已知的三角形面积和BD长度入手，求出BD边上的高；再结合135°角构造等腰直角三角形，得到A、D两点的坐标差关系；接着利用平行四边形的坐标性质求出A点的纵坐标；最后结合反比例函数$k=xy$的性质，联立方程即可求出$k$的值。
【解析】
1. 过点$A$作$AE⊥ BD$，交$BD$的延长线于点$E$。
由$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD× AE=3$，已知$BD=\sqrt{3}$，代入得：
$\frac{1}{2}×\sqrt{3}× AE=3$，解得$AE=2\sqrt{3}$。
2. 因为$∠ ADB=135°$，所以$∠ ADE=180°-135°=45°$，则$△ ADE$为等腰直角三角形，故$DE=AE=2\sqrt{3}$。
3. 设$D(a,b)$，因为$BD// y$轴且$BD=\sqrt{3}$，所以$B(a, b+\sqrt{3})$；又$CD// x$轴，所以点$C$的纵坐标为$b$。
4. 设$A(x,y)$，因为四边形$OABC$是平行四边形，向量$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}$，所以$C$的坐标为$(a-x, b+\sqrt{3}-y)$。结合$C$的纵坐标为$b$，得：
$b+\sqrt{3}-y=b$，解得$y=\sqrt{3}$，即$A$点纵坐标为$\sqrt{3}$。
5. 由$BD// y$轴，得$AE// x$轴、$DE// y$轴，因此：
水平差：$x-a=AE=2\sqrt{3}$，即$x=a+2\sqrt{3}$；
竖直差：$b-y=DE=2\sqrt{3}$，代入$y=\sqrt{3}$得$b=3\sqrt{3}$。
6. 因为反比例函数$y=\frac{k}{x}$过$A$、$D$两点，所以$k=ab=x· y$，代入得：
$a×3\sqrt{3}=(a+2\sqrt{3})×\sqrt{3}$
化简得$3\sqrt{3}a=\sqrt{3}a+6$，解得$a=\sqrt{3}$。
7. 因此$k=ab=\sqrt{3}×3\sqrt{3}=9$。
【答案】
$9$
【知识点】
反比例函数的性质，平行四边形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数、平行四边形与三角形的相关知识，解题的关键是通过作辅助线构造等腰直角三角形，将几何条件转化为坐标关系，再结合反比例函数的性质求解，对坐标转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
解题时先从已知的三角形面积和BD长度入手，求出BD边上的高；再结合135°角构造等腰直角三角形，得到A、D两点的坐标差关系；接着利用平行四边形的坐标性质求出A点的纵坐标；最后结合反比例函数$k=xy$的性质，联立方程即可求出$k$的值。
【解析】
1. 过点$A$作$AE⊥ BD$，交$BD$的延长线于点$E$。
由$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD× AE=3$，已知$BD=\sqrt{3}$，代入得：
$\frac{1}{2}×\sqrt{3}× AE=3$，解得$AE=2\sqrt{3}$。
2. 因为$∠ ADB=135°$，所以$∠ ADE=180°-135°=45°$，则$△ ADE$为等腰直角三角形，故$DE=AE=2\sqrt{3}$。
3. 设$D(a,b)$，因为$BD// y$轴且$BD=\sqrt{3}$，所以$B(a, b+\sqrt{3})$；又$CD// x$轴，所以点$C$的纵坐标为$b$。
4. 设$A(x,y)$，因为四边形$OABC$是平行四边形，向量$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}$，所以$C$的坐标为$(a-x, b+\sqrt{3}-y)$。结合$C$的纵坐标为$b$，得：
$b+\sqrt{3}-y=b$，解得$y=\sqrt{3}$，即$A$点纵坐标为$\sqrt{3}$。
5. 由$BD// y$轴，得$AE// x$轴、$DE// y$轴，因此：
水平差：$x-a=AE=2\sqrt{3}$，即$x=a+2\sqrt{3}$；
竖直差：$b-y=DE=2\sqrt{3}$，代入$y=\sqrt{3}$得$b=3\sqrt{3}$。
6. 因为反比例函数$y=\frac{k}{x}$过$A$、$D$两点，所以$k=ab=x· y$，代入得：
$a×3\sqrt{3}=(a+2\sqrt{3})×\sqrt{3}$
化简得$3\sqrt{3}a=\sqrt{3}a+6$，解得$a=\sqrt{3}$。
7. 因此$k=ab=\sqrt{3}×3\sqrt{3}=9$。
【答案】
$9$
【知识点】
反比例函数的性质，平行四边形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数、平行四边形与三角形的相关知识，解题的关键是通过作辅助线构造等腰直角三角形，将几何条件转化为坐标关系，再结合反比例函数的性质求解，对坐标转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
13. 如图，一次函数 $y=x+b$ 与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 的图象相交于 $A(m,4)$，$B(-4,-2)$ 两点，分别连接 $OA$，$OB$。
(1) 求 $m,k,b$ 的值。
(2) 求 $△ AOB$ 的面积。
(3) 在平面内是否存在一点 $P$，使以点 $O,B,A,P$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由。
(1) 求 $m,k,b$ 的值。
(2) 求 $△ AOB$ 的面积。
(3) 在平面内是否存在一点 $P$，使以点 $O,B,A,P$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
13.(1) $m=2,k=8,b=2$ (2) $6$ (3) 存在，点$P$的坐标为$(-2,2),(-6,-6),(6,6)$
解析
【分析】
(1) 先将已知点B的坐标代入一次函数求出b的值，得到一次函数解析式，再将点A的纵坐标代入一次函数求出m，最后将点A坐标代入反比例函数即可求出k的值；
(2) 求△AOB的面积时，先找到一次函数与y轴的交点C，将△AOB拆分为△AOC和△BOC两个三角形，分别计算面积后相加，简化计算过程；
(3) 平行四边形存在性问题需分类讨论：分别以AB、OB、OA为平行四边形的对角线，利用平行四边形对角线互相平分（即两条对角线的中点坐标相同），即可求出对应P点的坐标。
【解析】
(1) 将点$B(-4,-2)$代入一次函数$y=x+b$，得：
$-2=-4+b$，解得$b=2$，
∴一次函数解析式为$y=x+2$，
∵点$A(m,4)$在一次函数$y=x+2$的图象上，
∴$4=m+2$，解得$m=2$，即$A(2,4)$，
将$A(2,4)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$4=\dfrac{k}{2}$，解得$k=8$。
(2) 设一次函数$y=x+2$与y轴的交点为C，
当$x=0$时，$y=0+2=2$，
∴$C(0,2)$，$OC=2$，
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$
$=\dfrac{1}{2}× OC× |x_A|+\dfrac{1}{2}× OC× |x_B|$
$=\dfrac{1}{2}×2×2+\dfrac{1}{2}×2×4$
$=2+4=6$。
(3) 存在，分三种情况讨论：
① 以AB为对角线时，AB中点与OP中点重合，
AB中点坐标为$(\dfrac{2-4}{2},\dfrac{4-2}{2})=(-1,1)$，解得$P(-2,2)$；
② 以OB为对角线时，OB中点与AP中点重合，
OB中点坐标为$(\dfrac{-4+0}{2},\dfrac{-2+0}{2})=(-2,-1)$，解得$P(-6,-6)$；
③ 以OA为对角线时，OA中点与BP中点重合，
OA中点坐标为$(\dfrac{2+0}{2},\dfrac{4+0}{2})=(1,2)$，解得$P(6,6)$。
【答案】
(1) $m=2,k=8,b=2$
(2) $6$
(3) 存在，点$P$的坐标为$(-2,2),(-6,-6),(6,6)$
【知识点】
待定系数法求解析式，割补法求面积，平行四边形存在性
【点评】
本题为一次函数与反比例函数的综合常考题，考查了函数解析式的求解、坐标系中图形面积计算和平行四边形性质的应用，解题时注意运用分类讨论思想，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 先将已知点B的坐标代入一次函数求出b的值，得到一次函数解析式，再将点A的纵坐标代入一次函数求出m，最后将点A坐标代入反比例函数即可求出k的值；
(2) 求△AOB的面积时，先找到一次函数与y轴的交点C，将△AOB拆分为△AOC和△BOC两个三角形，分别计算面积后相加，简化计算过程；
(3) 平行四边形存在性问题需分类讨论：分别以AB、OB、OA为平行四边形的对角线，利用平行四边形对角线互相平分（即两条对角线的中点坐标相同），即可求出对应P点的坐标。
【解析】
(1) 将点$B(-4,-2)$代入一次函数$y=x+b$，得：
$-2=-4+b$，解得$b=2$，
∴一次函数解析式为$y=x+2$，
∵点$A(m,4)$在一次函数$y=x+2$的图象上，
∴$4=m+2$，解得$m=2$，即$A(2,4)$，
将$A(2,4)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$4=\dfrac{k}{2}$，解得$k=8$。
(2) 设一次函数$y=x+2$与y轴的交点为C，
当$x=0$时，$y=0+2=2$，
∴$C(0,2)$，$OC=2$，
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$
$=\dfrac{1}{2}× OC× |x_A|+\dfrac{1}{2}× OC× |x_B|$
$=\dfrac{1}{2}×2×2+\dfrac{1}{2}×2×4$
$=2+4=6$。
(3) 存在，分三种情况讨论：
① 以AB为对角线时，AB中点与OP中点重合，
AB中点坐标为$(\dfrac{2-4}{2},\dfrac{4-2}{2})=(-1,1)$，解得$P(-2,2)$；
② 以OB为对角线时，OB中点与AP中点重合，
OB中点坐标为$(\dfrac{-4+0}{2},\dfrac{-2+0}{2})=(-2,-1)$，解得$P(-6,-6)$；
③ 以OA为对角线时，OA中点与BP中点重合，
OA中点坐标为$(\dfrac{2+0}{2},\dfrac{4+0}{2})=(1,2)$，解得$P(6,6)$。
【答案】
(1) $m=2,k=8,b=2$
(2) $6$
(3) 存在，点$P$的坐标为$(-2,2),(-6,-6),(6,6)$
【知识点】
待定系数法求解析式，割补法求面积，平行四边形存在性
【点评】
本题为一次函数与反比例函数的综合常考题，考查了函数解析式的求解、坐标系中图形面积计算和平行四边形性质的应用，解题时注意运用分类讨论思想，避免漏解。
【难度系数】
0.6
