1. ★★★ 如图,已知△ABC中,∠A=60°,D为AB上一点,且AC=2AD+BD,∠B=4∠ACD,求∠BCD的度数.

延长AB到点E,使BE=AD,连结CE,
∴ AE=AD+DB+BE= 2AD + BD.
∵ AC = 2AD + BD,
∴ AE = AC.
∵ ∠A = 60°,
∴ △AEC是等边三角形,
∴ ∠E= ∠ACE = 60°.
∵ ∠ABC = 4∠ACD,
∴ 设∠ACD = x,则∠ABC = 4x. 在△ADC 与△EBC 中,
$\begin{cases} AD=BE, \\ ∠A=∠E, \\ AC=EC, \end{cases}$
∴ △ADC ≌ △EBC ( SAS ) ,
∴ ∠ACD = ∠ECB = x.
∵ ∠ABC = ∠E + ∠BCE,
∴ 4x = 60°+x,
∴ x = 20°,
∴ ∠BCD = 60°-20°-20° = 20°.

2. 在$△ ABC$中，$∠ B=60°$，$D$是$BC$上一点，且$AD=AC$.
(1)如图①，在$AB$边上取一点$F$，使$DF=DB$，求证：$AF=BC$；
(2)如图②，在(1)的条件下，$P$为$BC$延长线上一点，连结$PA$，$PF$，若$PA=PF$，猜想$PC$与$BD$的数量关系并证明.

(1)如图①,延长BC至点E,使CE=BD,连结AE.
∵ AC=AD,
∴ ∠ADC=∠ACD,
∴ 180°-∠ADC = 180°-∠ACD,即∠ADB = ∠ACE. 在△ADB 和 △ACE 中, $\begin{cases} AD=AC, \\ ∠ADB=∠ACE, \\ DB=CE, \end{cases}$
∴ △ADB ≌ △ACE(SAS),
∴ AB=AE.
∵ ∠B=60°,
∴ △ABE 是等边三角形,
∴ AB = BE.
∵ DF = DB, ∠B = 60°,
∴ △BDF 是等边三角形,
∴ BF=BD,
∴ BF=CE,
∴ AB-BF=BE-CE,即 AF=BC.

(2)PC=2BD,证明如下:如图②,在 PC 上截取 CE=BD,连结 AE,由(1)可知△EAB,△BDF 均为等边三角形,
∴ ∠AEB = ∠EAB = ∠B = ∠BDF = 60°,
∴ ∠AEP = ∠PDF.
∵ PA=PF,
∴ ∠PAF = ∠PFA,
∴ ∠PAE + ∠EAF = ∠FPD + ∠B,
∴ ∠PAE = ∠FPD. 在 △PAE 和△FPD 中, $\begin{cases} ∠PEA=∠FDP, \\ ∠PAE=∠FPD, \\ PA=FP, \end{cases}$
∴ △PAE ≌ △FPD(AAS),
∴ PE=FD.
又
∵ △BDF 为等边三角形,
∴ FD=BD,
∴ PE=BD.
∵ PC=PE+EC,
∴ PC=BD+BD=2BD.

3. 如图,已知:$CA=CB$,$∠ CAB=∠ CBA=80°$,$∠ CAF=20°$,$∠ CBE=30°$.求$∠ EFA$的度数.

在△ABC 的内部作∠BAG = ∠CAF = 20°,交 BC 于点 G,连结 EG,如图所示.
∵ ∠CAB = ∠CBA = 80°,∠CBE = 30°,
∴ ∠ABE = 50°,
∴ ∠AEB = 180°-80°-50° = 50°,
∴ ∠ABE = ∠AEB,
∴ AE = AB.
∵ ∠AGB = 180°-80°-20° = 80°,
∴ ∠AGB = ∠CBA,
∴ AG = AB,
∴ AG = AE.
∵ ∠EAG = ∠CAB - ∠BAG = 80° - 20° = 60°,
∴ △AEG 是等边三角形,
∴ ∠AGE = 60°,AG = GE,
∴ ∠EGF = 180°-60°-80° = 40°.
∵ ∠FAG = 60°-20° = 40°,
∴ ∠AFG = ∠AGB - ∠FAG = 80°-40° = 40°,
∴ ∠FAG = ∠AFG,
∴ FG = AG,
∴ FG = GE.
∵ ∠EGF = 40°,
∴ ∠EFG = ∠FEG = $\frac{1}{2}$×(180°-40°) = 70°,
∴ ∠EFA = 70° - 40° = 30°.

4. ★★★|一题多解 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=60°$,$∠ ACB=40°$,$P$为$∠ ABC$的平分线与$∠ ACB$的平分线的交点,求证:$AB=PC$.

方法一：连结 AP 并延长,交 BC 于点 D,作∠CAD 的平分线 AE,交 BC 于点 E,
∴ ∠PAE = ∠EAC.
∵ P 为∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线的交点,
∴ ∠BAD = ∠DAC.
∵ ∠ABC = 60°, ∠ACB = 40°,
∴ ∠BAC = 180°-∠ABC - ∠ACB = 180°-60°-40° = 80°, ∠DCP = 20°,
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$×80° = 40°, ∠EAD = 20°,
∴ ∠BAE = 60°,
∴ △ABE为等边三角形,
∴ AE = AB.
∵ ∠DAC = ∠DCA = 40°,
∴ AD=DC.在△ADE 和△CDP 中, $\begin{cases} ∠DAE=∠DCP, \\ AD=CD, \\ ∠ADE=∠CDP, \end{cases}$
∴ △ADE ≌ △CDP(ASA).
∴ AE=PC,
∴ AB=PC.

方法二：连结 AP,在 AP 的延长线上截取 PF = PC,交 BC 于点 E,连结 CF.
∵ P 为∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线的交点,
∴ ∠BAP = ∠PAC = 40°.
∵ ∠ABC=60°,
∴ ∠AEB = ∠CEF = 80°.
∵ CP 平分∠ACB,
∴ ∠PCB = 20°,
∴ ∠CPF = ∠CEF - ∠PCB = 60°.
∵ PC = PF,
∴ △PCF 为等边三角形,
∴ ∠PCF = 60°,
∴ ∠ECF = 60°-20° = 40°.
∵ ∠PAC = ∠ACE = 40°,
∴ AE = CE. 又
∵ ∠BAE = ∠ECF = 40°, ∠AEB = ∠CEF,
∴ △ABE ≌ △CFE,
∴ AB = FC = PC.

技法点拨：此题既可以围绕∠ABC = 60°,通过计算角度的方式来构造等边三角形,又可以根据 80°与 20°之差为 60°来构造等边三角形.