8. (2025 郑州三模节选) 如图，在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中，点 $ D $ 是斜边 $ AB $ 上的动点(点 $ D $ 与点 $ A $ 不重合)，连接 $ CD $，以 $ CD $ 为直角边在 $ CD $ 的右侧构造 $ \mathrm{Rt} \triangle CDE $，$ \angle DCE = 90° $，连接 $ BE $，$ \frac{CE}{CD} = \frac{CB}{CA} = m $。
- 特例感知
- (1) 如图1，当 $ m = 1 $ 时，$ BE $ 与 $ AD $ 之间的位置关系是 ，数量关系是 。
- 类比迁移
- (2) 如图2，当 $ m \neq 1 $ 时，猜想 $ BE $ 与 $ AD $ 之间的位置关系和数量关系，并证明。
- 拓展应用
- (3) 如图3，在 (1) 的条件下，点 $ F $ 与点 $ C $ 关于 $ DE $ 对称，连接 $ DF $，$ EF $。已知 $ AC = 4 $，设 $ AD = x $，四边形 $ CDFE $ 的面积为 $ y $。求 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式，并求出 $ y $ 的最小值。

(1) 垂直，相等
(2) $BE⊥ AD$，$BE=m· AD$
(3) $y=x^{2}-4\sqrt{2}x+16$，最小值$8$

(1) 当$m=1$时，$\frac{CE}{CD}=1$，$\frac{CB}{CA}=1$，故$CE=CD$，$CB=CA$。$\triangle ABC$为等腰直角三角形，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\angle DCE=90^{\circ}$，则$\angle ACD=\angle BCE$。由$SAS$证$\triangle ACD\cong\triangle BCE$，得$AD=BE$，$\angle CAD=\angle CBE$。因为$\angle CAD+\angle CBA=90^{\circ}$，所以$\angle CBE+\angle CBA=90^{\circ}$，即$BE⊥ AD$。
(2) 当$m\neq1$时，$\frac{CE}{CD}=\frac{CB}{CA}=m$，$\angle ACD=\angle BCE$（同角的余角相等），故$\triangle ACD\sim\triangle BCE$，相似比为$\frac{1}{m}$。则$\frac{BE}{AD}=m$，即$BE=m· AD$。$\angle CAD=\angle CBE$，又$\angle CAD+\angle CBA=90^{\circ}$，故$\angle CBE+\angle CBA=90^{\circ}$，即$BE⊥ AD$。
(3) 在(1)条件下，$\triangle ABC$为等腰直角三角形，$AC=BC=4$，$AB=4\sqrt{2}$。点$F$与$C$关于$DE$对称，四边形$CDFE$面积$y=2S_{\triangle CDE}$。$\triangle CDE$为等腰直角三角形，$S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}CD^{2}$，故$y=CD^{2}$。在$\triangle ACD$中，由余弦定理得$CD^{2}=AC^{2}+AD^{2}-2AC· AD\cos45^{\circ}=16+x^{2}-4\sqrt{2}x$，即$y=x^{2}-4\sqrt{2}x+16$。对称轴$x=2\sqrt{2}$，$y_{\mathrm{min}}=(2\sqrt{2})^{2}-4\sqrt{2}·2\sqrt{2}+16=8$。