例3 如图，已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$，$Q$ 为边 $BC$ 的中点，点 $P$ 在正方形的外部，且满足 $\angle APD = 135^{\circ}$，则线段 $PQ$ 的最大值为(
A.$\sqrt{3} + \dfrac{3}{2}$
B.$\sqrt{2} + \dfrac{3}{2}$
C.$\sqrt{3} + 1$
D.$\sqrt{2} + 1$
D
)A.$\sqrt{3} + \dfrac{3}{2}$
B.$\sqrt{2} + \dfrac{3}{2}$
C.$\sqrt{3} + 1$
D.$\sqrt{2} + 1$
答案
D
解析
训练 8. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$\angle ABD = \angle ACD$，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $E$，$E$ 为 $AC$ 的中点。若 $BD = 6$，$BE = 4$，则 $AC=$
4√2
。答案
4√2
解析
连接辅助线，由∠ABD=∠ACD，可证A、B、C、D四点共圆（圆周角定理逆定理）。
∵AC、BD交于点E，由相交弦定理得：AE·CE=BE·DE。
∵E为AC中点，设AE=CE=x，则AC=2x。
∵BD=6，BE=4，
∴DE=BD-BE=2。
∴x·x=BE·DE=4×2=8，解得x=2√2（负值舍去）。
∴AC=2x=4√2。
∵AC、BD交于点E，由相交弦定理得：AE·CE=BE·DE。
∵E为AC中点，设AE=CE=x，则AC=2x。
∵BD=6，BE=4，
∴DE=BD-BE=2。
∴x·x=BE·DE=4×2=8，解得x=2√2（负值舍去）。
∴AC=2x=4√2。
9. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$，$B$ 的坐标分别为 $(3,0)$，$(0,4)$，点 $C$ 是 $x$ 轴正半轴上点 $A$ 右侧一点，连接 $BC$。过点 $A$ 且垂直于 $AB$ 的直线与过点 $C$ 且垂直于 $BC$ 的直线交于点 $D$，连接 $BD$，则 $\sin\angle BDC$ 的值为
$\frac{4}{5}$
。答案
$\frac{4}{5}$
解析
