4. 线段的垂直平分线
(1)定义：经过线段㊿并且㊱于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.(如图，点 C 是线段 AB 的中点，过点 C 作直线 l⊥AB，则直线 l 就是线段 AB 的垂直平分线.)
(2)性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离㊲.(如图，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 在直线 l 上，则 PA㊳PB.)
(3)逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的㊴上.(如图，已知点 M，N 在直线 l 上.若 MA = MB，且 NA = NB，则直线 l 是线段 AB 的垂直平分线.)

(1)中点；垂直
(2)相等；=
(3)垂直平分线

对点训练 11. 如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交 AB，BC 于点 D，E，连接 AE.
(1)若 BC = 8，EC = 3，则 AE 的长是；
(2)若 AD = 3，△ACE 的周长为 13，则△ABC 的周长为.

(1)
∵DE 是 AB 的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，
∴$AE = BE$，
∵$BC = BE + EC=AE + EC = 8$，$EC = 3$，
∴$AE=8 - 3=5$。
(2)
∵DE 是 AB 的垂直平分线，$AD = 3$，
根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，垂直平分线垂直且平分这条线段，
∴$AB = 2AD = 6$，$AE = BE$，
∵$\triangle ACE$的周长为$13$，即$AE+EC+AC = 13$，
把$AE = BE$代入得$BE+EC+AC=BC + AC = 13$，
$\triangle ABC$的周长为$AB + BC + AC$，
把$AB = 6$，$BC + AC = 13$代入得$6 + 13=19$。
故答案依次为：(1)$5$；(2)$19$。

四、平行线
1. 平行线的判定与性质

55. 不相交
56. 一条
57. 平行
58. $//$
59. $l_{1}// l_{2}$
60. $\angle 2 = \angle 3$

对点训练 12. 如图，街道 AB 与 CD 平行，拐角∠ABC = 137°，则拐角∠BCD = ()

A.43°
B.53°
C.107°
D.137°

D

13. 如图，EF//AD，∠BAC = 70°，若∠1 = ∠2，求∠AGD 的度数.请补全下面的解答过程.(在横线上填写数学式，在括号内填写理由)
解：∵EF//AD，∴∠2 = ∠3.()
∵∠1 = ∠2，∴∠1 = .(角的等量代换)
∴AB//DG.()
∴ + ∠BAC = 180°.(两直线平行，同旁内角互补)
∵∠BAC = 70°，∴∠AGD = .(等式的性质)

∵EF//AD，∴∠2 = ∠3.（两直线平行，同位角相等）
∵∠1 = ∠2，∴∠1 = ∠3.（角的等量代换）
∴AB//DG.（内错角相等，两直线平行）
∴∠AGD + ∠BAC = 180°.（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠BAC = 70°，∴∠AGD = 110°.（等式的性质）