1. (2025 信阳一模节选)如图 1,将边长为 a 的正方形纸片 ABCD 折叠,使边 AB,AD 都落在对角线 AC 上,展开得折痕 AE,AF,连接 EF.
(1)∠EAF = °,点 A 到 EF 的距离是(用含 a 的代数式表示).
(2)如图 2,将图 1 中的∠EAF 绕点 A 旋转,使它的两边分别交边 BC,CD 于点 P,Q,连接 PQ,点 A 到 PQ 的距离是否发生变化? 并说明理由.

(1)45；a (2)不变，理由见解析

(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，∠BAC=∠DAC=45°。折叠AB、AD到AC，折痕AE、AF分别平分∠BAC、∠DAC，∴∠BAE=∠EAC=22.5°，∠DAF=∠FAC=22.5°，∴∠EAF=∠EAC+∠FAC=45°。
设正方形边长为a，由折叠知BE=EG，DF=FG，∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°（G、H为折叠后B、D在AC上的落点，重合于一点）。在Rt△ABE中，BE=AB·tan22.5°=a(√2-1)，则EC=BC-BE=a - a(√2-1)=a(2-√2)，同理FC=EC，EF=√2·EC=2a(√2-1)。S△AEF=S正方形 - 2S△ABE - S△ECF=a² - 2×(1/2)a·a(√2-1) - (1/2)[a(2-√2)]²=a²(√2-1)。由S△AEF=1/2·EF·h，得1/2·2a(√2-1)·h=a²(√2-1)，解得h=a。
(2)不变。在CB延长线上取BM=DQ，连AM。∵AB=AD，∠ABM=∠ADQ=90°，BM=DQ，∴△ABM≌△ADQ(SAS)，∴AM=AQ，∠BAM=∠DAQ。∵∠PAQ=45°，∴∠BAP+∠DAQ=45°，∴∠BAP+∠BAM=∠MAP=45°=∠PAQ。又AP=AP，AM=AQ，∴△AMP≌△AQP(SAS)，∴点A到PM、PQ距离相等，即点A到PQ距离=AB=a，不变。

2. (2025 开封三模)在复习阶段,教学兴趣小组对等腰三角形展开了一场特别的探究,具体如下:
(1)如图 1,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = AC,点 D,E 在边 BC 上,且 BD = 4,CE = 2,连接 AD,AE.若∠DAE = 45°,则 DE 的长为.
(2)如图 2,在等边三角形 ABC 中,点 D,E 在边 BC 上,且 BD = 4,CE = 2,连接 AD,AE.若∠DAE = 30°,求 DE 的长.
(3)如图 3,在△ABC 中,∠BAC = 120°,AB = AC = 3√{3},点 D 在边 BC 上,且 BD = 5,点 E 在直线 BC 上.若∠DAE = 60°,请直接写出 DE 的长.

(1)2√5；(2)2√7；(3)7/2或7

(1) 将△ABD绕点A顺时针旋转90°得△ACF，连EF。则△ADE≌△AFE，DE=EF。∠ECF=90°，CE=2,CF=BD=4，EF²=2²+4²=20，DE=2√5。
(2) 将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACF，连EF。则△ADE≌△AFE，DE=EF。∠ECF=120°，CE=2,CF=BD=4，EF²=2²+4²-2×2×4×cos120°=28，DE=2√7。
(3) 分两种情况：①E在BC上，由余弦定理得DE=7/2；②E在BC延长线上，得DE=7。