10. (2025·鼓楼区期中) 观察如图所示的图形，与 $a^{2}+3ab + 2b^{2}$ 相等的是()


A.$(a + b)^{2}$
B.$(a + 2b)^{2}$
C.$(a + b)(a + 2b)$
D.$(2a + b)(a + 2b)$

10. C

解：$(a + b)(a + 2b) = a^2 + 2ab + ab + 2b^2 = a^2 + 3ab + 2b^2$，故选C。

11. (2025·梁溪区期中) 已知 $4^{x}=10$，$25^{y}=10$，则 $(x - 2)(y - 2)+3(xy - 1)$ 的值为。

11. 1

由$4^{x}=10$，得$x=\log_{4}10=\frac{1}{\log_{10}4}=\frac{1}{2\lg 2}$；由$25^{y}=10$，得$y=\log_{25}10=\frac{1}{\log_{10}25}=\frac{1}{2\lg 5}$。
$\begin{aligned}&(x - 2)(y - 2)+3(xy - 1)\\=&xy-2x-2y+4+3xy-3\\=&4xy-2x-2y+1\end{aligned}$
$xy=\frac{1}{4\lg 2\lg 5}$，$x + y=\frac{1}{2\lg 2}+\frac{1}{2\lg 5}=\frac{\lg 5+\lg 2}{2\lg 2\lg 5}=\frac{1}{2\lg 2\lg 5}$。
$4xy=4×\frac{1}{4\lg 2\lg 5}=\frac{1}{\lg 2\lg 5}$，$2(x + y)=2×\frac{1}{2\lg 2\lg 5}=\frac{1}{\lg 2\lg 5}$。
所以$4xy-2x-2y+1=\frac{1}{\lg 2\lg 5}-\frac{1}{\lg 2\lg 5}+1=1$。
1

12. 甲、乙两人共同计算 $2(x + a)(x + b)$，甲由于抄错了第一个多项式中 $a$ 的符号，得到结果为 $2x^{2}+4x - 30$；乙由于抄漏了 $2$，得到的结果为 $x^{2}+8x + 15$。
(1) 求 $a$，$b$ 的值；
(2) 求出正确的结果。

12. 解: (1) 依题意, 得2(x - a)(x + b) = 2x² + 2(-a + b)x - 2ab = 2x² + 4x - 30,
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab = x² + 8x + 15,
所以2(-a + b) = 4, a + b = 8,
所以a = 3, b = 5.
(2) 2(x + 3)(x + 5) = 2x² + 16x + 30.

13. (2025·高新区月考) 甲、乙两个长方形，其边长如图所示 ($m ＞ 0$)，其面积分别为 $S_{1}$，$S_{2}$。
(1) 用含 $m$ 的代数式表示：$S_{1}=$，$S_{2}=$；(结果化为最简形式)
(2) 用“$＜$”“$＞$”或“$=$”填空：$S_{1}\_\_\_\_\_\_S_{2}$；
(3) 若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为 $S_{3}$，试探究：$S_{3}$ 与 $2(S_{1}+S_{2})$ 的差是否为定值？若为定值，请求出该值；若不是，请说明理由。

13. (1) m² + 6m + 5 m² + 6m + 8
(2) ＜
(3) 解: S₃与2(S₁ + S₂)的差是定值.
正方形的周长为C = 2×(m + 5 + m + 1 + m + 4 + m + 2) = 8m + 24,
所以正方形的边长为C ÷ 4 = (8m + 24) ÷ 4 = 2m + 6,
所以S₃ = (2m + 6)·(2m + 6) = 4m² + 24m + 36,
所以S₃ - 2(S₁ + S₂) = 4m² + 24m + 36 - 2×(m² + 6m + 5 + m² + 6m + 8) = 4m² + 24m + 36 - 2×(2m² + 12m + 13) = 10,
故S₃与2(S₁ + S₂)的差是定值, 定值为10.