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【典型例题 1】已知二次函数 $y=x^2+bx+c$.
(1)当点 $P(-3,c)$在二次函数 $y=x^2+bx+c$ 的图象上时,求此函数图象的对称轴.
(2)在(1)的基础上,若 $c=2$,当 $-5≤ x≤1$ 时,求此函数的最大值和最小值.
(3)若当 $1≤ x≤3$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大;当 $-3≤ x≤-2$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,则 $b$ 的取值范围是
【解】(1)∵点 $P(-3,c)$在二次函数 $y=x^2+bx+c$ 的图象上,
∴$c=9-3b+c$.解得 $b=3$.
∴二次函数的解析式为 $y=x^2+3x+c$.
∴此函数图象的对称轴为直线 $x=-\frac{3}{2}$.
(2)∵$c=2$,
∴二次函数的解析式为 $y=x^2+3x+2=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}$.
∵1＞0,
∴当 $x=-\frac{3}{2}$ 时,$y$ 取得最小值,最小值为 $-\frac{1}{4}$.
∵$-5≤ x≤1$,$\left|-5+\frac{3}{2}\right|＞\left|1+\frac{3}{2}\right|$,
∴当 $x=-5$ 时,$y$ 取得最大值,最大值为12.
综上所述,此函数的最大值为12,此函数的最小值为 $-\frac{1}{4}$.
(3)$-2≤ b≤4$
(1)当点 $P(-3,c)$在二次函数 $y=x^2+bx+c$ 的图象上时,求此函数图象的对称轴.
(2)在(1)的基础上,若 $c=2$,当 $-5≤ x≤1$ 时,求此函数的最大值和最小值.
(3)若当 $1≤ x≤3$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大;当 $-3≤ x≤-2$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,则 $b$ 的取值范围是
-2≤ b≤4
.【解】(1)∵点 $P(-3,c)$在二次函数 $y=x^2+bx+c$ 的图象上,
∴$c=9-3b+c$.解得 $b=3$.
∴二次函数的解析式为 $y=x^2+3x+c$.
∴此函数图象的对称轴为直线 $x=-\frac{3}{2}$.
(2)∵$c=2$,
∴二次函数的解析式为 $y=x^2+3x+2=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}$.
∵1＞0,
∴当 $x=-\frac{3}{2}$ 时,$y$ 取得最小值,最小值为 $-\frac{1}{4}$.
∵$-5≤ x≤1$,$\left|-5+\frac{3}{2}\right|＞\left|1+\frac{3}{2}\right|$,
∴当 $x=-5$ 时,$y$ 取得最大值,最大值为12.
综上所述,此函数的最大值为12,此函数的最小值为 $-\frac{1}{4}$.
(3)$-2≤ b≤4$
答案
1.
∵点 $P(-3,c)$在二次函数 $y=x^2+bx+c$ 的图象上,
∴$c=9-3b+c$.解得 $b=3$.
∴二次函数的解析式为 $y=x^2+3x+c$.
∴此函数图象的对称轴为直线 $x=-\frac{3}{2}$.
2.
∵$c=2$,
∴二次函数的解析式为 $y=x^2+3x+2=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}$.
∵1＞0,
∴当 $x=-\frac{3}{2}$ 时,$y$ 取得最小值,最小值为 $-\frac{1}{4}$.
∵$-5≤ x≤1$,$\left|-5+\frac{3}{2}\right|＞\left|1+\frac{3}{2}\right|$,
∴当 $x=-5$ 时,$y$ 取得最大值,最大值为12.
综上所述,此函数的最大值为12,此函数的最小值为 $-\frac{1}{4}$.
3. $-2≤ b≤4$
∵点 $P(-3,c)$在二次函数 $y=x^2+bx+c$ 的图象上,
∴$c=9-3b+c$.解得 $b=3$.
∴二次函数的解析式为 $y=x^2+3x+c$.
∴此函数图象的对称轴为直线 $x=-\frac{3}{2}$.
2.
∵$c=2$,
∴二次函数的解析式为 $y=x^2+3x+2=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}$.
∵1＞0,
∴当 $x=-\frac{3}{2}$ 时,$y$ 取得最小值,最小值为 $-\frac{1}{4}$.
∵$-5≤ x≤1$,$\left|-5+\frac{3}{2}\right|＞\left|1+\frac{3}{2}\right|$,
∴当 $x=-5$ 时,$y$ 取得最大值,最大值为12.
综上所述,此函数的最大值为12,此函数的最小值为 $-\frac{1}{4}$.
3. $-2≤ b≤4$
解析
【分析】
(1) 点在函数图象上则坐标满足函数解析式，将点$P(-3,c)$代入二次函数解析式，消去$c$即可求出$b$的值，再根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$（本题中$a=1$）计算对称轴即可。
(2) 代入$c=2$得到完整函数解析式，配方为顶点式，由于二次项系数大于0，抛物线开口向上，顶点处取得最小值；再比较区间$-5≤x≤1$的两个端点到对称轴的距离，距离对称轴更远的端点处取得最大值。
(3) 二次函数开口向上，在对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大。根据题意可知，递增区间$[1,3]$在对称轴右侧，递减区间$[-3,-2]$在对称轴左侧，据此列出关于对称轴的不等式，解不等式即可求出$b$的取值范围。
【解析】
(1)
∵点$P(-3,c)$在二次函数$y=x^2+bx+c$的图象上，
∴$c=9-3b+c$，解得$b=3$，
∴二次函数的解析式为$y=x^2+3x+c$，
∴此函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{3}{2}$。
(2)
∵$c=2$，
∴二次函数的解析式为$y=x^2+3x+2=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}$，
∵$1＞0$，抛物线开口向上，
∴当$x=-\frac{3}{2}$时，$y$取得最小值，最小值为$-\frac{1}{4}$，
∵$-5≤ x≤1$，$\left|-5+\frac{3}{2}\right|＞\left|1+\frac{3}{2}\right|$，即$x=-5$距离对称轴更远，
∴当$x=-5$时，$y$取得最大值，最大值为$(-5)^2+3×(-5)+2=12$，
综上所述，此函数的最大值为12，最小值为$-\frac{1}{4}$。
(3) 二次函数$y=x^2+bx+c$开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2}$，
∵$1≤x≤3$时$y$随$x$增大而增大，说明该区间在对称轴右侧，即$-\frac{b}{2}≤1$，解得$b≥-2$，
∵$-3≤x≤-2$时$y$随$x$增大而减小，说明该区间在对称轴左侧，即$-\frac{b}{2}≥-2$，解得$b≤4$，
联立得$b$的取值范围是$-2≤b≤4$。
【答案】
(1) 直线$x=-\frac{3}{2}$；
(2) 最大值为12，最小值为$-\frac{1}{4}$；
(3) $-2≤b≤4$
【知识点】
二次函数图象与性质，二次函数增减性，区间最值计算
【点评】
本题是二次函数基础综合题，围绕对称轴、最值、增减性三个核心考点命题，解题关键是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与增减性、最值的对应关系，是二次函数模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 点在函数图象上则坐标满足函数解析式，将点$P(-3,c)$代入二次函数解析式，消去$c$即可求出$b$的值，再根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$（本题中$a=1$）计算对称轴即可。
(2) 代入$c=2$得到完整函数解析式，配方为顶点式，由于二次项系数大于0，抛物线开口向上，顶点处取得最小值；再比较区间$-5≤x≤1$的两个端点到对称轴的距离，距离对称轴更远的端点处取得最大值。
(3) 二次函数开口向上，在对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大。根据题意可知，递增区间$[1,3]$在对称轴右侧，递减区间$[-3,-2]$在对称轴左侧，据此列出关于对称轴的不等式，解不等式即可求出$b$的取值范围。
【解析】
(1)
∵点$P(-3,c)$在二次函数$y=x^2+bx+c$的图象上，
∴$c=9-3b+c$，解得$b=3$，
∴二次函数的解析式为$y=x^2+3x+c$，
∴此函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{3}{2}$。
(2)
∵$c=2$，
∴二次函数的解析式为$y=x^2+3x+2=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}$，
∵$1＞0$，抛物线开口向上，
∴当$x=-\frac{3}{2}$时，$y$取得最小值，最小值为$-\frac{1}{4}$，
∵$-5≤ x≤1$，$\left|-5+\frac{3}{2}\right|＞\left|1+\frac{3}{2}\right|$，即$x=-5$距离对称轴更远，
∴当$x=-5$时，$y$取得最大值，最大值为$(-5)^2+3×(-5)+2=12$，
综上所述，此函数的最大值为12，最小值为$-\frac{1}{4}$。
(3) 二次函数$y=x^2+bx+c$开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2}$，
∵$1≤x≤3$时$y$随$x$增大而增大，说明该区间在对称轴右侧，即$-\frac{b}{2}≤1$，解得$b≥-2$，
∵$-3≤x≤-2$时$y$随$x$增大而减小，说明该区间在对称轴左侧，即$-\frac{b}{2}≥-2$，解得$b≤4$，
联立得$b$的取值范围是$-2≤b≤4$。
【答案】
(1) 直线$x=-\frac{3}{2}$；
(2) 最大值为12，最小值为$-\frac{1}{4}$；
(3) $-2≤b≤4$
【知识点】
二次函数图象与性质，二次函数增减性，区间最值计算
【点评】
本题是二次函数基础综合题，围绕对称轴、最值、增减性三个核心考点命题，解题关键是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与增减性、最值的对应关系，是二次函数模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
