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基础知识·预习
问题1 解决数字问题时，你能根据两个数的和与积求出这两个数吗？
问题2 说一说三角形、矩形、菱形等几何图形的面积公式。
问题1 解决数字问题时，你能根据两个数的和与积求出这两个数吗？
问题2 说一说三角形、矩形、菱形等几何图形的面积公式。
答案
1. 设两个数的和为m，积为n，可构造一元二次方程$x^2 - mx + n = 0$，当判别式$\Delta = m^2 - 4n ≥ 0$时，可求出这两个数，分别为$\frac{m+\sqrt{m^2-4n}}{2}$和$\frac{m-\sqrt{m^2-4n}}{2}$；若$\Delta ＜ 0$，则不存在满足和与积条件的两个实数。
2. 三角形面积公式：$S=\frac{1}{2} × 底 × 底边上的高$；矩形面积公式：$S=长 × 宽$；菱形面积公式：$S=底 × 底边上的高$，也等于两条对角线长度乘积的二分之一，即$S=\frac{1}{2} × 第一条对角线长度 × 第二条对角线长度$。
2. 三角形面积公式：$S=\frac{1}{2} × 底 × 底边上的高$；矩形面积公式：$S=长 × 宽$；菱形面积公式：$S=底 × 底边上的高$，也等于两条对角线长度乘积的二分之一，即$S=\frac{1}{2} × 第一条对角线长度 × 第二条对角线长度$。
解析
【分析】
对于问题1，可结合一元二次方程根与系数的关系思考：若两个数是某一元二次方程的两个实数根，则两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项。因此已知两数的和与积时，可先构造对应的一元二次方程，再通过判别式判断是否存在实根，若存在则用求根公式求出这两个数。对于问题2，只需回忆学过的三类几何图形的面积计算公式，分类别梳理表述即可，注意菱形有两种常用面积计算方法。
【解析】
1. 设两个数的和为m，积为n，根据一元二次方程根与系数的关系，可构造一元二次方程$x^2 - mx + n = 0$：
① 当判别式$\Delta = m^2 - 4n ≥ 0$时，方程有两个实数根，即存在满足条件的两个实数，由求根公式可得这两个数分别为$\frac{m+\sqrt{m^2-4n}}{2}$和$\frac{m-\sqrt{m^2-4n}}{2}$；
② 若$\Delta ＜ 0$，方程无实数根，即不存在满足和与积条件的两个实数。
2. 三类几何图形的面积公式如下：
① 三角形面积公式：$S=\frac{1}{2} × 底 × 底边上的高$；
② 矩形面积公式：$S=长 × 宽$；
③ 菱形面积公式：第一种为$S=底 × 底边上的高$，第二种为两条对角线长度乘积的二分之一，即$S=\frac{1}{2} × 第一条对角线长度 × 第二条对角线长度$。
【答案】
1. 设两个数的和为m，积为n，可构造一元二次方程$x^2 - mx + n = 0$，当判别式$\Delta = m^2 - 4n ≥ 0$时，可求出这两个数，分别为$\frac{m+\sqrt{m^2-4n}}{2}$和$\frac{m-\sqrt{m^2-4n}}{2}$；若$\Delta ＜ 0$，则不存在满足和与积条件的两个实数。
2. 三角形面积公式：$S=\frac{1}{2} × 底 × 底边上的高$；矩形面积公式：$S=长 × 宽$；菱形面积公式：$S=底 × 底边上的高$，也等于两条对角线长度乘积的二分之一，即$S=\frac{1}{2} × 第一条对角线长度 × 第二条对角线长度$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程求根公式
3. 几何图形面积计算
【点评】
本题属于基础预习类题目，既考查一元二次方程相关知识在数字问题中的应用理解，也考查常见几何图形面积公式的掌握情况，是后续学习列一元二次方程解决实际应用问题的重要基础。
【难度系数】
0.75
对于问题1，可结合一元二次方程根与系数的关系思考：若两个数是某一元二次方程的两个实数根，则两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项。因此已知两数的和与积时，可先构造对应的一元二次方程，再通过判别式判断是否存在实根，若存在则用求根公式求出这两个数。对于问题2，只需回忆学过的三类几何图形的面积计算公式，分类别梳理表述即可，注意菱形有两种常用面积计算方法。
【解析】
1. 设两个数的和为m，积为n，根据一元二次方程根与系数的关系，可构造一元二次方程$x^2 - mx + n = 0$：
① 当判别式$\Delta = m^2 - 4n ≥ 0$时，方程有两个实数根，即存在满足条件的两个实数，由求根公式可得这两个数分别为$\frac{m+\sqrt{m^2-4n}}{2}$和$\frac{m-\sqrt{m^2-4n}}{2}$；
② 若$\Delta ＜ 0$，方程无实数根，即不存在满足和与积条件的两个实数。
2. 三类几何图形的面积公式如下：
① 三角形面积公式：$S=\frac{1}{2} × 底 × 底边上的高$；
② 矩形面积公式：$S=长 × 宽$；
③ 菱形面积公式：第一种为$S=底 × 底边上的高$，第二种为两条对角线长度乘积的二分之一，即$S=\frac{1}{2} × 第一条对角线长度 × 第二条对角线长度$。
【答案】
1. 设两个数的和为m，积为n，可构造一元二次方程$x^2 - mx + n = 0$，当判别式$\Delta = m^2 - 4n ≥ 0$时，可求出这两个数，分别为$\frac{m+\sqrt{m^2-4n}}{2}$和$\frac{m-\sqrt{m^2-4n}}{2}$；若$\Delta ＜ 0$，则不存在满足和与积条件的两个实数。
2. 三角形面积公式：$S=\frac{1}{2} × 底 × 底边上的高$；矩形面积公式：$S=长 × 宽$；菱形面积公式：$S=底 × 底边上的高$，也等于两条对角线长度乘积的二分之一，即$S=\frac{1}{2} × 第一条对角线长度 × 第二条对角线长度$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程求根公式
3. 几何图形面积计算
【点评】
本题属于基础预习类题目，既考查一元二次方程相关知识在数字问题中的应用理解，也考查常见几何图形面积公式的掌握情况，是后续学习列一元二次方程解决实际应用问题的重要基础。
【难度系数】
0.75
【典型例题1】两个数的和是12，积是32，求这两个数.
【解】设这两个数中的一个数是$x$，则另一个数是$12-x$.
根据题意，得$x(12-x)=32$.
解得$x_1=4$，$x_2=8$.
所以这两个数是4，8.
【解】设这两个数中的一个数是$x$，则另一个数是$12-x$.
根据题意，得$x(12-x)=32$.
解得$x_1=4$，$x_2=8$.
所以这两个数是4，8.
答案
解：设这两个数中的一个数是$x$，则另一个数是$12-x$。
根据题意，得$x(12-x)=32$，
整理，得$x^2-12x+32=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=8$。
当$x=4$时，$12-x=8$；当$x=8$时，$12-x=4$。
所以这两个数是4和8。
根据题意，得$x(12-x)=32$，
整理，得$x^2-12x+32=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=8$。
当$x=4$时，$12-x=8$；当$x=8$时，$12-x=4$。
所以这两个数是4和8。
解析
【分析】
本题给出了两个数的和与积，属于典型的列方程求解类问题。解题思路如下：首先设其中一个数为未知数x，根据两数之和为12，可将另一个数用含x的代数式表示为12-x；再根据两数之积为32的等量关系列出一元二次方程；最后求解方程，代入验证即可得到所求的两个数。
【解析】
设这两个数中的一个数是$x$，则另一个数是$12-x$。
根据题意，得$x(12-x)=32$，
整理，得$x^2-12x+32=0$，
因式分解得$(x-4)(x-8)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=8$。
当$x=4$时，$12-x=8$；当$x=8$时，$12-x=4$。
所以这两个数是4和8。
【答案】
4和8
【知识点】
列一元二次方程解应用题，一元二次方程的解法，因式分解法解方程
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题，解题核心是利用两数之和的条件将两个未知量用同一个未知数表示，再结合乘积条件建立方程求解，考察学生列方程、解方程的基础能力，属于应知应会的常规题型。
【难度系数】
0.85
本题给出了两个数的和与积，属于典型的列方程求解类问题。解题思路如下：首先设其中一个数为未知数x，根据两数之和为12，可将另一个数用含x的代数式表示为12-x；再根据两数之积为32的等量关系列出一元二次方程；最后求解方程，代入验证即可得到所求的两个数。
【解析】
设这两个数中的一个数是$x$，则另一个数是$12-x$。
根据题意，得$x(12-x)=32$，
整理，得$x^2-12x+32=0$，
因式分解得$(x-4)(x-8)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=8$。
当$x=4$时，$12-x=8$；当$x=8$时，$12-x=4$。
所以这两个数是4和8。
【答案】
4和8
【知识点】
列一元二次方程解应用题，一元二次方程的解法，因式分解法解方程
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题，解题核心是利用两数之和的条件将两个未知量用同一个未知数表示，再结合乘积条件建立方程求解，考察学生列方程、解方程的基础能力，属于应知应会的常规题型。
【难度系数】
0.85
1. 两个数的差是4，积是45，求这两个数。
答案
1. 设这两个数中较小的数是x，则另一个数是x+4.
根据题意，得x(x+4)=45.
解得x₁=5,x₂=-9.
当x=5时,x+4=5+4=9.
当x=-9时,x+4=-9+4=-5.
所以这两个数是5,9或-9,-5.
根据题意，得x(x+4)=45.
解得x₁=5,x₂=-9.
当x=5时,x+4=5+4=9.
当x=-9时,x+4=-9+4=-5.
所以这两个数是5,9或-9,-5.
解析
【分析】
本题已知两个数的差与积，可通过列一元二次方程求解。首先设较小的数为x，根据两数差为4即可用x表示出较大的数，再结合两数积为45的等量关系列出方程，求解方程后分别计算对应的另一个数，注意不要忽略负数解的合理性。
【解析】
设这两个数中较小的数是x，则另一个数是x+4。
根据题意，得$x(x+4)=45$。
整理得$x^2+4x-45=0$，因式分解得$(x-5)(x+9)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-9$。
当$x=5$时，$x+4=5+4=9$；
当$x=-9$时，$x+4=-9+4=-5$。
【答案】
5、9或-9、-5
【知识点】
列一元二次方程解应用题、解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题，解题核心是找准数量关系设未知数列方程，需注意题目未限定数的范围，要验证所有解的合理性，避免漏解。
【难度系数】
0.8
本题已知两个数的差与积，可通过列一元二次方程求解。首先设较小的数为x，根据两数差为4即可用x表示出较大的数，再结合两数积为45的等量关系列出方程，求解方程后分别计算对应的另一个数，注意不要忽略负数解的合理性。
【解析】
设这两个数中较小的数是x，则另一个数是x+4。
根据题意，得$x(x+4)=45$。
整理得$x^2+4x-45=0$，因式分解得$(x-5)(x+9)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-9$。
当$x=5$时，$x+4=5+4=9$；
当$x=-9$时，$x+4=-9+4=-5$。
【答案】
5、9或-9、-5
【知识点】
列一元二次方程解应用题、解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题，解题核心是找准数量关系设未知数列方程，需注意题目未限定数的范围，要验证所有解的合理性，避免漏解。
【难度系数】
0.8
【典型例题2】用一根长为56 cm的铁丝围一个矩形区域.
(1)当矩形区域的面积为180 cm²时,该矩形区域的两邻边长分别是多少?
(2)能围成面积为200 cm²的矩形区域吗?请说明理由.
【解】(1)设矩形区域的一边长为x cm,则此边的邻边长为(28−x)cm.
根据题意,得$x(28−x)=180$.
解得$x_1=10,x_2=18$.
因此,当矩形区域的面积为180 cm²时,该矩形区域的两邻边长分别为10 cm,18 cm.
(2)不能围成.理由如下:
设矩形区域的一边长为y cm,则此边的邻边长为(28−y)cm.
根据题意,得$y(28−y)=200$.
整理,得$y^2−28y+200=0$.
∵$\Delta =b^2−4ac=(−28)^2−4×1×200=−16＜0$,
∴原方程没有实数根.
∴不能围成面积为200 cm²的矩形区域.
(1)当矩形区域的面积为180 cm²时,该矩形区域的两邻边长分别是多少?
(2)能围成面积为200 cm²的矩形区域吗?请说明理由.
【解】(1)设矩形区域的一边长为x cm,则此边的邻边长为(28−x)cm.
根据题意,得$x(28−x)=180$.
解得$x_1=10,x_2=18$.
因此,当矩形区域的面积为180 cm²时,该矩形区域的两邻边长分别为10 cm,18 cm.
(2)不能围成.理由如下:
设矩形区域的一边长为y cm,则此边的邻边长为(28−y)cm.
根据题意,得$y(28−y)=200$.
整理,得$y^2−28y+200=0$.
∵$\Delta =b^2−4ac=(−28)^2−4×1×200=−16＜0$,
∴原方程没有实数根.
∴不能围成面积为200 cm²的矩形区域.
答案
解析
【分析】
本题是一元二次方程在矩形面积问题中的实际应用，解题思路如下：1. 先明确铁丝长度为矩形周长，根据矩形周长公式可得相邻两边长度之和为周长的一半，即28cm；2. 第一问求面积为180cm²的边长，可设其中一边长为未知数，用含未知数的式子表示邻边，再根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后验证根的实际意义即可得到边长；3. 第二问判断能否围成200cm²的矩形，同样先按面积公式列方程，再通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有正实数根，若无实根则说明不能围成。
【解析】
(1) 设矩形区域的一边长为$x\ \mathrm{cm}$，因为矩形周长为56cm，所以邻边长为$\frac{56}{2}-x=(28-x)\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式列方程得：
$x(28-x)=180$
整理得$x^2-28x+180=0$，解得$x_1=10$，$x_2=18$。
当$x=10$时，邻边长为$28-10=18\ \mathrm{cm}$；当$x=18$时，邻边长为$28-18=10\ \mathrm{cm}$，均符合实际意义。
(2) 不能围成，理由如下：
设矩形区域的一边长为$y\ \mathrm{cm}$，则邻边长为$(28-y)\ \mathrm{cm}$。
根据题意列方程得：
$y(28-y)=200$
整理为一般形式：$y^2-28y+200=0$
计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac = (-28)^2 - 4×1×200 = -16 ＜ 0$
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的边长，所以不能围成面积为200cm²的矩形区域。
【答案】
(1) 两邻边长分别为10 cm，18 cm；
(2) 不能围成，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用；根的判别式；矩形周长与面积计算
【点评】
本题结合几何实际问题考查一元二次方程的相关知识，解题核心是将实际问题转化为方程问题求解，判断是否能围成指定面积图形时，利用根的判别式判断方程解的情况即可，注意求解后要验证根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.75
本题是一元二次方程在矩形面积问题中的实际应用，解题思路如下：1. 先明确铁丝长度为矩形周长，根据矩形周长公式可得相邻两边长度之和为周长的一半，即28cm；2. 第一问求面积为180cm²的边长，可设其中一边长为未知数，用含未知数的式子表示邻边，再根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后验证根的实际意义即可得到边长；3. 第二问判断能否围成200cm²的矩形，同样先按面积公式列方程，再通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有正实数根，若无实根则说明不能围成。
【解析】
(1) 设矩形区域的一边长为$x\ \mathrm{cm}$，因为矩形周长为56cm，所以邻边长为$\frac{56}{2}-x=(28-x)\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式列方程得：
$x(28-x)=180$
整理得$x^2-28x+180=0$，解得$x_1=10$，$x_2=18$。
当$x=10$时，邻边长为$28-10=18\ \mathrm{cm}$；当$x=18$时，邻边长为$28-18=10\ \mathrm{cm}$，均符合实际意义。
(2) 不能围成，理由如下：
设矩形区域的一边长为$y\ \mathrm{cm}$，则邻边长为$(28-y)\ \mathrm{cm}$。
根据题意列方程得：
$y(28-y)=200$
整理为一般形式：$y^2-28y+200=0$
计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac = (-28)^2 - 4×1×200 = -16 ＜ 0$
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的边长，所以不能围成面积为200cm²的矩形区域。
【答案】
(1) 两邻边长分别为10 cm，18 cm；
(2) 不能围成，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用；根的判别式；矩形周长与面积计算
【点评】
本题结合几何实际问题考查一元二次方程的相关知识，解题核心是将实际问题转化为方程问题求解，判断是否能围成指定面积图形时，利用根的判别式判断方程解的情况即可，注意求解后要验证根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.75
