12 如图,已知OC是∠AOB内部的一条射线,图中有三个角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,当其中一个角是另一个角的两倍时,称射线OC为∠AOB的“巧分线”.如果∠MPN=45°,PQ是∠MPN的“巧分线”,则∠MPQ=.

12. 15°或22.5°或30° 【解析】因为∠MPN=45°,PQ是∠MPN的“巧分线”,所以由“巧分线”的定义可知有三种情况:①∠NPQ=2∠MPQ,此时∠MPQ=15°;②∠MPN=2∠MPQ,此时∠MPQ=22.5°;③∠MPQ=2∠NPQ,此时∠MPQ=30°. 故答案为15°或22.5°或30°.

三、解答题(共40分)
13[2025安徽亳州期末]尺规作图(不写作法，保留作图痕迹):如图，已知平面上三点A，B，C.
(1)作射线AC，线段AB；
(2)作∠ABD=∠BAC，交射线AC于点D.

13.【解】(1)如图所示,射线AC,线段AB即为所求. (2)如图,∠ABD,点D即为所求.

14[2026重庆南岸区调研]已知点B在线段AC上，点D在线段AB上.
(1)如图(1),若AB=6 cm,BC=4 cm,D为线段AC的中点,求线段DB的长度;
(2)如图(2),若BD=$\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$,E为线段AB的中点,EC=12 cm,求线段AC的长度.

14.【解】(1)因为AC=AB+BC,AB=6 cm,BC=4 cm,所以AC=6+4=10(cm). 因为D为线段AC的中点,所以DC=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5(\mathrm{cm})$,所以DB=DC-BC=5-4=1(cm). (2)设BD=x cm. 因为BD=$\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$,所以AB=4BD=4x cm,CD=3BD=3x cm,所以BC=CD-BD=3x-x=2x(cm),所以AC=AB+BC=6x cm. 因为E为线段AB的中点,所以BE=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4x=2x(\mathrm{cm})$,所以EC=EB+BC=2x+2x=4x(cm). 又因为EC=12 cm,所以4x=12,解得x=3,所以AC=6x=6×3=18(cm).

15[2025山东青岛期中]时钟是我们日常生活中常见的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，表盘中数字1~12均匀分布，分针转动一周(360°)需要60分，时针转动一周的$\frac{1}{12}$需要60分，这样，分针的转速为每分转$6°$，时针的转速为每分转$(\frac{1}{2})°$。
【课题学习】
3:20时，时针与分针所成角为多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角为$90°$；从3:00到3:20，我们可以先计算分针转动的角度：$20×6°=120°$，时针转动的角度：$20×(\frac{1}{2})°=10°$，$120°-(90°+10°)=20°$。故3:20时，时针与分针所成角是$20°$。
【问题解决】
(1)当3:30时，时针与分针所成角的度数是。
(2)如图(1)，表盘上的点A对应数字“12”，点B对应数字“3”，若分针OM从OA的位置开始转动，经过多少分，OM第一次平分∠AOB？
(3)当时针和分针所成角为$180°$时，形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图(2)，六点整就是一个“美妙时刻”，从0时到24时共有个“美妙时刻”。

15.【解】(1)三时整,时针与分针所成角为90°,从3:00到3:30,分针转动的角度:30×6°=180°,时针转动的角度:30×$(\frac{1}{2})°=15°$,$180°-(90°+15°)=75°$. 故答案为75°. (2)设经过t分,OM第一次平分∠AOB. 因为OM平分∠AOB,所以∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOB,即6t=$\frac{1}{2}×90$,所以t=7.5,故经过7.5分,OM第一次平分∠AOB. (3)相邻两次成180°角之间,分针比时针多走360°,花费的时间为$\frac{360}{6-\frac{1}{2}}=\frac{720}{11}$(分),24时=1440分,$1440÷\frac{720}{11}=22$(个). 故答案为22.

16 已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.
(1) 如图(1)，若∠AOC = 30°，求∠COE，∠DOB的度数.
(2) 如图(1)，若∠AOC=α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）.
(3) 将图(1)中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图(2)的位置，探究∠AOC与∠DOE的数量关系，并说明理由.

16.【解】(1)因为∠AOC=30°,∠COD是直角,所以∠BOC=180°-∠AOC=150°,∠COD=90°,所以∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=60°. 因为OE平分∠BOC,所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=75°. (2)因为∠AOC=α,∠COD是直角,所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-α,∠COD=90°,所以∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=90°-α. 因为OE平分∠BOC,所以∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC=90°-$\frac{1}{2}α$,所以∠DOE=∠BOE-∠BOD=90°-$\frac{1}{2}α-(90°-α)=\frac{1}{2}α$. (3)∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC. 理由如下:设∠AOC=β. 因为∠COD是直角,所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-β,∠COD=90°. 因为OE平分∠BOC,所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=90°-$\frac{1}{2}β$,所以∠DOE=∠COD - ∠COE = 90°-$(90°-\frac{1}{2}β)=\frac{1}{2}β$,即∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC.