登录
5 [2025长春绿园期末]如图，二次函数的图象经过点$(1,0)$，顶点坐标为$(-1,-4)$。
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当$-5＜x＜0$时，求$y$的取值范围。
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当$-5＜x＜0$时，求$y$的取值范围。
答案
(1) 根据题意，设二次函数的表达式为$y=a(x+1)^2-4$。将$(1,0)$代入，得$a×(1+1)^2-4=0$，解得$a=1$。
∴ 这个二次函数的表达式为$y=(x+1)^2-4$
(2) 当$x=-5$时，$y=(-5+1)^2-4=12$，
∵ 抛物线的顶点坐标为$(-1,-4)$，
∴ $y$的最小值为$-4$。
∴ 当$-5＜x＜0$时，$y$的取值范围是$-4≤ y＜12$
∴ 这个二次函数的表达式为$y=(x+1)^2-4$
(2) 当$x=-5$时，$y=(-5+1)^2-4=12$，
∵ 抛物线的顶点坐标为$(-1,-4)$，
∴ $y$的最小值为$-4$。
∴ 当$-5＜x＜0$时，$y$的取值范围是$-4≤ y＜12$
解析
【分析】
（1）已知二次函数的顶点坐标，优先选择顶点式设函数表达式，顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），代入顶点坐标后得到仅含参数$a$的表达式，再将已知点$(1,0)$代入即可求出$a$，进而得到二次函数解析式。
（2）求给定自变量范围的$y$取值范围时，先明确抛物线开口向上，顶点是函数的最低点，即$y$的最小值为顶点纵坐标；再比较区间内的点到对称轴的距离，找到最大函数值对应的点，结合自变量的开区间限制，最终得到$y$的取值范围。
【解析】
（1）已知二次函数顶点坐标为$(-1,-4)$，设二次函数的表达式为$y=a(x+1)^2-4$（$a≠0$）。
将点$(1,0)$代入表达式得：
$a×(1+1)^2-4=0$
解得$a=1$
因此这个二次函数的表达式为$y=(x+1)^2-4$。
（2）由解析式可知抛物线开口向上，顶点坐标为$(-1,-4)$，因此函数的最小值为$-4$，对称轴为直线$x=-1$。
计算$x=-5$时的函数值：$y=(-5+1)^2-4=12$；
计算$x=0$时的函数值：$y=(0+1)^2-4=-3$。
因为自变量范围是$-5＜x＜0$，$x=-5$取不到，所以$y＜12$，结合最小值可得$y$的取值范围。
【答案】
(1) $y=(x+1)^2-4$
(2) $-4≤ y＜12$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数性质
3. 函数取值范围求解
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，重点考查顶点式的应用和结合图象分析函数取值范围的能力，解题时结合抛物线的对称性分析最值更简便。
【难度系数】
0.7
（1）已知二次函数的顶点坐标，优先选择顶点式设函数表达式，顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），代入顶点坐标后得到仅含参数$a$的表达式，再将已知点$(1,0)$代入即可求出$a$，进而得到二次函数解析式。
（2）求给定自变量范围的$y$取值范围时，先明确抛物线开口向上，顶点是函数的最低点，即$y$的最小值为顶点纵坐标；再比较区间内的点到对称轴的距离，找到最大函数值对应的点，结合自变量的开区间限制，最终得到$y$的取值范围。
【解析】
（1）已知二次函数顶点坐标为$(-1,-4)$，设二次函数的表达式为$y=a(x+1)^2-4$（$a≠0$）。
将点$(1,0)$代入表达式得：
$a×(1+1)^2-4=0$
解得$a=1$
因此这个二次函数的表达式为$y=(x+1)^2-4$。
（2）由解析式可知抛物线开口向上，顶点坐标为$(-1,-4)$，因此函数的最小值为$-4$，对称轴为直线$x=-1$。
计算$x=-5$时的函数值：$y=(-5+1)^2-4=12$；
计算$x=0$时的函数值：$y=(0+1)^2-4=-3$。
因为自变量范围是$-5＜x＜0$，$x=-5$取不到，所以$y＜12$，结合最小值可得$y$的取值范围。
【答案】
(1) $y=(x+1)^2-4$
(2) $-4≤ y＜12$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数性质
3. 函数取值范围求解
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，重点考查顶点式的应用和结合图象分析函数取值范围的能力，解题时结合抛物线的对称性分析最值更简便。
【难度系数】
0.7
6 [2025北京石景山期末]如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点$(-3,0),(0,3)$，其对称轴是直线$x=-1$.
(1) 求这个二次函数的表达式；
(2) 当函数值$y$小于3时，结合图象直接写出自变量$x$的取值范围.
(1) 求这个二次函数的表达式；
(2) 当函数值$y$小于3时，结合图象直接写出自变量$x$的取值范围.
答案
(1)
∵ 二次函数的图象对称轴是直线$x=-1$，
∴ 设二次函数的表达式为$y=a(x+1)^2+k$。把$(-3,0),(0,3)$代入函数表达式，得$\begin{cases}a(-3+1)^2+k=0,\\a+k=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\k=4.\end{cases}$
∴ 二次函数的表达式为$y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$
(2)
∵ 二次函数的图象对称轴是直线$x=-1$，当$x=0$时，$y=3$，
∴ 当$x=-2$时，$y=3$。
∴ 当函数值$y$小于3时，自变量$x$的取值范围是$x＞0$或$x＜-2$
∵ 二次函数的图象对称轴是直线$x=-1$，
∴ 设二次函数的表达式为$y=a(x+1)^2+k$。把$(-3,0),(0,3)$代入函数表达式，得$\begin{cases}a(-3+1)^2+k=0,\\a+k=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\k=4.\end{cases}$
∴ 二次函数的表达式为$y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$
(2)
∵ 二次函数的图象对称轴是直线$x=-1$，当$x=0$时，$y=3$，
∴ 当$x=-2$时，$y=3$。
∴ 当函数值$y$小于3时，自变量$x$的取值范围是$x＞0$或$x＜-2$
解析
【分析】
(1) 求二次函数表达式时，已知对称轴为直线$x=-1$，优先选择顶点式设解析式可简化计算。设解析式为$y=a(x+1)^2+k$，将已知的两个点坐标代入解析式，得到关于$a$、$k$的二元一次方程组，解出参数即可得到函数表达式，也可整理为一般式。
(2) 求$y＜3$时$x$的取值范围，先找到$y=3$时对应的$x$值：已知$x=0$时$y=3$，根据二次函数对称轴为$x=-1$，可推出和$x=0$关于对称轴对称的点$x=-2$处$y$也等于3，再结合抛物线开口向下，图象在$y=3$下方的部分对应的$x$值就是所求范围。
【解析】
(1)
∵ 二次函数的图象对称轴是直线$x=-1$，
∴ 设二次函数的表达式为$y=a(x+1)^2+k$。把$(-3,0),(0,3)$代入函数表达式，得
$\begin{cases}a(-3+1)^2+k=0,\\a(0+1)^2+k=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1,\\k=4.\end{cases}$
∴ 二次函数的表达式为$y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$。
(2)
∵ 二次函数的图象对称轴是直线$x=-1$，当$x=0$时，$y=3$，
根据二次函数对称性，点$(0,3)$关于对称轴$x=-1$的对称点为$(-2,3)$，即当$x=-2$时，$y=3$。
又
∵ 抛物线开口向下，
∴ 当函数值$y$小于3时，自变量$x$的取值范围是$x＞0$或$x＜-2$。
【答案】
(1) $y=-x^2-2x+3$（或$y=-(x+1)^2+4$）
(2) $x＞0$或$x＜-2$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数的对称性，二次函数与不等式
【点评】
本题考查二次函数的基本应用，用顶点式求解析式比一般式计算更简便，结合图象解不等式体现了数形结合的思想，熟练掌握二次函数的对称性可快速定位对称点，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
(1) 求二次函数表达式时，已知对称轴为直线$x=-1$，优先选择顶点式设解析式可简化计算。设解析式为$y=a(x+1)^2+k$，将已知的两个点坐标代入解析式，得到关于$a$、$k$的二元一次方程组，解出参数即可得到函数表达式，也可整理为一般式。
(2) 求$y＜3$时$x$的取值范围，先找到$y=3$时对应的$x$值：已知$x=0$时$y=3$，根据二次函数对称轴为$x=-1$，可推出和$x=0$关于对称轴对称的点$x=-2$处$y$也等于3，再结合抛物线开口向下，图象在$y=3$下方的部分对应的$x$值就是所求范围。
【解析】
(1)
∵ 二次函数的图象对称轴是直线$x=-1$，
∴ 设二次函数的表达式为$y=a(x+1)^2+k$。把$(-3,0),(0,3)$代入函数表达式，得
$\begin{cases}a(-3+1)^2+k=0,\\a(0+1)^2+k=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1,\\k=4.\end{cases}$
∴ 二次函数的表达式为$y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$。
(2)
∵ 二次函数的图象对称轴是直线$x=-1$，当$x=0$时，$y=3$，
根据二次函数对称性，点$(0,3)$关于对称轴$x=-1$的对称点为$(-2,3)$，即当$x=-2$时，$y=3$。
又
∵ 抛物线开口向下，
∴ 当函数值$y$小于3时，自变量$x$的取值范围是$x＞0$或$x＜-2$。
【答案】
(1) $y=-x^2-2x+3$（或$y=-(x+1)^2+4$）
(2) $x＞0$或$x＜-2$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数的对称性，二次函数与不等式
【点评】
本题考查二次函数的基本应用，用顶点式求解析式比一般式计算更简便，结合图象解不等式体现了数形结合的思想，熟练掌握二次函数的对称性可快速定位对称点，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
7 [2025南平期末]如图，点A在x轴上，OA=6，点B的坐标是$(-3,-3\sqrt{3})$，求经过点A，O，B的抛物线对应的函数表达式。
答案
∵ $OA=6$，
∴ 点A的坐标为$(6,0)$。
∵ 抛物线经过O,A两点，
∴ 设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-0)(x-6)$。把$B(-3,-3\sqrt{3})$代入，得$-3\sqrt{3}=(-3-0)×(-3-6)a$，解得$a=-\frac{\sqrt{3}}{9}$。
∴ 经过点A,O,B的抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{9}(x-0)(x-6)=-\frac{\sqrt{3}}{9}x^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}x$
解析
【分析】
解题思路：首先根据OA=6且点A在x轴正半轴，确定点A的坐标为$(6,0)$；观察到抛物线经过x轴上的原点$O(0,0)$和点$A(6,0)$两个交点，因此选择交点式设二次函数解析式，可减少未知量，简化计算；再将已知点B的坐标代入所设解析式，求解出系数a，最后整理得到完整的函数表达式即可。
【解析】
解：$\because OA=6$，点A在x轴正半轴上，
$\therefore$ 点A的坐标为$(6,0)$。
$\because$ 抛物线经过$O(0,0)$、$A(6,0)$两点，
$\therefore$ 设抛物线对应的函数表达式为$y=ax(x-6)$（$a≠0$）。
将点$B(-3,-3\sqrt{3})$代入解析式，得：
$-3\sqrt{3}=a×(-3)×(-3-6)$，
即$-3\sqrt{3}=27a$，
解得$a=-\frac{\sqrt{3}}{9}$。
将$a=-\frac{\sqrt{3}}{9}$代入所设解析式，整理得：
$y=-\frac{\sqrt{3}}{9}x(x-6)=-\frac{\sqrt{3}}{9}x^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}x$。
【答案】
$y=-\frac{\sqrt{3}}{9}x^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}x$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数交点式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题关键是根据抛物线经过的两个x轴交点的特点，选择更简便的交点式设解析式，有效降低计算难度，掌握不同形式的二次函数解析式的适用场景是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据OA=6且点A在x轴正半轴，确定点A的坐标为$(6,0)$；观察到抛物线经过x轴上的原点$O(0,0)$和点$A(6,0)$两个交点，因此选择交点式设二次函数解析式，可减少未知量，简化计算；再将已知点B的坐标代入所设解析式，求解出系数a，最后整理得到完整的函数表达式即可。
【解析】
解：$\because OA=6$，点A在x轴正半轴上，
$\therefore$ 点A的坐标为$(6,0)$。
$\because$ 抛物线经过$O(0,0)$、$A(6,0)$两点，
$\therefore$ 设抛物线对应的函数表达式为$y=ax(x-6)$（$a≠0$）。
将点$B(-3,-3\sqrt{3})$代入解析式，得：
$-3\sqrt{3}=a×(-3)×(-3-6)$，
即$-3\sqrt{3}=27a$，
解得$a=-\frac{\sqrt{3}}{9}$。
将$a=-\frac{\sqrt{3}}{9}$代入所设解析式，整理得：
$y=-\frac{\sqrt{3}}{9}x(x-6)=-\frac{\sqrt{3}}{9}x^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}x$。
【答案】
$y=-\frac{\sqrt{3}}{9}x^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}x$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数交点式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题关键是根据抛物线经过的两个x轴交点的特点，选择更简便的交点式设解析式，有效降低计算难度，掌握不同形式的二次函数解析式的适用场景是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
8 [2025西宁城北期中]如图，抛物线经过A(3,0),B(1,0),C(0,−3)三点.
(1) 求该抛物线对应的函数表达式；
(2) 若该抛物线顶点为D，连接AD，求△DCA的面积.
(1) 求该抛物线对应的函数表达式；
(2) 若该抛物线顶点为D，连接AD，求△DCA的面积.
答案
(1)
∵ 抛物线与x轴的交点坐标为$A(3,0),B(1,0)$，
∴ 设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-1)(x-3)$。把$C(0,-3)$代入，得$-3=a×(-1)×(-3)$，解得$a=-1$。
∴ 抛物线对应的函数表达式为$y=-(x-1)(x-3)$，即$y=-x^2+4x-3$
(2) 如图，过点D作$DE// y$轴交AC于点E。
$\because y=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$，∴ $D(2,1)$。设直线AC对应的函数表达式为$y=mx+n$。把$A(3,0),C(0,-3)$代入，得$\begin{cases}3m+n=0,\\n=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=-3.\end{cases}$
∴ 直线AC对应的函数表达式为$y=x-3$。当$x=2$时，$y=x-3=-1$，
∴ $E(2,-1)$。
∴ $S_{△ DCA}=S_{△ DCE}+S_{△ DAE}=\frac{1}{2}×(1+1)×2+\frac{1}{2}×(1+1)×1=3$
解析
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标，优先选择交点式设抛物线的函数表达式，仅需代入第三个点C的坐标即可求出未知系数，相比设一般式解三元一次方程组更简便，化简后就能得到抛物线解析式。
(2) 求△DCA的面积时，首先将抛物线解析式配方得到顶点D的坐标，再求出直线AC的解析式；通过作DE平行于y轴交AC于点E，用竖割法将△DCA拆分为两个同底的小三角形，两个小三角形的高之和为A、C两点的水平距离，分别计算两个小三角形的面积再求和，即可得到△DCA的面积，该方法可避免计算线段长度和对应高，简化运算。
【解析】
(1)
∵ 抛物线与x轴的交点坐标为$A(3,0),B(1,0)$，
∴ 设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-1)(x-3)$。把$C(0,-3)$代入，得$-3=a×(-1)×(-3)$，解得$a=-1$。
∴ 抛物线对应的函数表达式为$y=-(x-1)(x-3)$，即$y=-x^2+4x-3$。
(2) 如图，过点D作$DE// y$轴交AC于点E。
$\because y=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$，
∴ $D(2,1)$。
设直线AC对应的函数表达式为$y=mx+n$。把$A(3,0),C(0,-3)$代入，得$\begin{cases}3m+n=0,\\n=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=-3.\end{cases}$
∴ 直线AC对应的函数表达式为$y=x-3$。
当$x=2$时，$y=x-3=-1$，
∴ $E(2,-1)$。
∴ $S_{△ DCA}=S_{△ DCE}+S_{△ DAE}=\frac{1}{2}×(1+1)×2+\frac{1}{2}×(1+1)×1=3$
【答案】
(1) $y=-x^2+4x-3$
(2) $3$
【知识点】
二次函数解析式确定
二次函数顶点坐标
割补法求面积
【点评】
本题是二次函数基础综合题，第一问考查二次函数解析式的求解，根据已知点的特征选择合适的解析式形式可简化计算；第二问考查平面直角坐标系中三角形面积的计算，竖割法是解决此类问题的常用技巧，运算简便，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标，优先选择交点式设抛物线的函数表达式，仅需代入第三个点C的坐标即可求出未知系数，相比设一般式解三元一次方程组更简便，化简后就能得到抛物线解析式。
(2) 求△DCA的面积时，首先将抛物线解析式配方得到顶点D的坐标，再求出直线AC的解析式；通过作DE平行于y轴交AC于点E，用竖割法将△DCA拆分为两个同底的小三角形，两个小三角形的高之和为A、C两点的水平距离，分别计算两个小三角形的面积再求和，即可得到△DCA的面积，该方法可避免计算线段长度和对应高，简化运算。
【解析】
(1)
∵ 抛物线与x轴的交点坐标为$A(3,0),B(1,0)$，
∴ 设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-1)(x-3)$。把$C(0,-3)$代入，得$-3=a×(-1)×(-3)$，解得$a=-1$。
∴ 抛物线对应的函数表达式为$y=-(x-1)(x-3)$，即$y=-x^2+4x-3$。
(2) 如图，过点D作$DE// y$轴交AC于点E。
$\because y=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$，
∴ $D(2,1)$。
设直线AC对应的函数表达式为$y=mx+n$。把$A(3,0),C(0,-3)$代入，得$\begin{cases}3m+n=0,\\n=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=-3.\end{cases}$
∴ 直线AC对应的函数表达式为$y=x-3$。
当$x=2$时，$y=x-3=-1$，
∴ $E(2,-1)$。
∴ $S_{△ DCA}=S_{△ DCE}+S_{△ DAE}=\frac{1}{2}×(1+1)×2+\frac{1}{2}×(1+1)×1=3$
【答案】
(1) $y=-x^2+4x-3$
(2) $3$
【知识点】
二次函数解析式确定
二次函数顶点坐标
割补法求面积
【点评】
本题是二次函数基础综合题，第一问考查二次函数解析式的求解，根据已知点的特征选择合适的解析式形式可简化计算；第二问考查平面直角坐标系中三角形面积的计算，竖割法是解决此类问题的常用技巧，运算简便，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
