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6[中]两个反比例函数$y=\frac{2}{x}$和$y=\frac{1}{x}$在第一象限内的图象$C_1,C_2$如图所示，设点$P$在$C_1$上，$PC⊥ x$轴于点$C$，交$C_2$于点$A$，$PD⊥ y$轴于点$D$，交$C_2$于点$B$，则四边形$PAOB$的面积为（
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6. A 【解析】$\because PC ⊥ x$轴，$PD ⊥ y$轴，点A，B在$C_2$上，点P在$C_1$上，$\therefore S_{△ AOC}=S_{△ BOD}=\frac{1}{2}$，$S_{长方形PCOD}=2$，$\therefore$ 四边形PAOB的面积为$2-2×\frac{1}{2}=1$。
解析
【分析】
要求不规则四边形PAOB的面积，直接计算缺少对应边长等条件，因此考虑用割补法求解。首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$。我们可以先求出矩形PCOD的面积，再减去△AOC和△BOD的面积，即可得到四边形PAOB的面积。
【解析】
∵点P在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象$C_1$上，$PC⊥x$轴，$PD⊥y$轴，
∴根据反比例函数k的几何意义，矩形OCPD的面积$S_{矩形OCPD}=|2|=2$。
∵点A、B在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象$C_2$上，$AC⊥x$轴，$BD⊥y$轴，
∴$S_{△AOC}=\frac{1}{2}×|1|=\frac{1}{2}$，$S_{△BOD}=\frac{1}{2}×|1|=\frac{1}{2}$。
∴四边形PAOB的面积为$S_{矩形OCPD}-S_{△AOC}-S_{△BOD}=2-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=1$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义，割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数面积类的典型题型，解题核心是熟练掌握反比例函数中k的几何意义，通过割补法将不规则图形的面积转化为规则矩形和三角形面积的差，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
要求不规则四边形PAOB的面积，直接计算缺少对应边长等条件，因此考虑用割补法求解。首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$。我们可以先求出矩形PCOD的面积，再减去△AOC和△BOD的面积，即可得到四边形PAOB的面积。
【解析】
∵点P在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象$C_1$上，$PC⊥x$轴，$PD⊥y$轴，
∴根据反比例函数k的几何意义，矩形OCPD的面积$S_{矩形OCPD}=|2|=2$。
∵点A、B在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象$C_2$上，$AC⊥x$轴，$BD⊥y$轴，
∴$S_{△AOC}=\frac{1}{2}×|1|=\frac{1}{2}$，$S_{△BOD}=\frac{1}{2}×|1|=\frac{1}{2}$。
∴四边形PAOB的面积为$S_{矩形OCPD}-S_{△AOC}-S_{△BOD}=2-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=1$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义，割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数面积类的典型题型，解题核心是熟练掌握反比例函数中k的几何意义，通过割补法将不规则图形的面积转化为规则矩形和三角形面积的差，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
c 子题练变式
7[中]已知反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$和反比例函数$y=-\frac{8}{x}(x＜0)$的图象如图所示.
(1)点A在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上,
过点A作y轴的垂线交反比例函数$y=-\frac{8}{x}(x＜0)$的图象于点B,交y轴于点M,点P在x轴上,连接PA,PB,求$△ PAB$的面积;
(2)直线$y=n(n＞0)$交反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象于点C,交反比例函数$y=-\frac{8}{x}(x＜0)$的图象于点D,若$CD=4$,求n的值.
7[中]已知反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$和反比例函数$y=-\frac{8}{x}(x＜0)$的图象如图所示.
(1)点A在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上,
过点A作y轴的垂线交反比例函数$y=-\frac{8}{x}(x＜0)$的图象于点B,交y轴于点M,点P在x轴上,连接PA,PB,求$△ PAB$的面积;
(2)直线$y=n(n＞0)$交反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象于点C,交反比例函数$y=-\frac{8}{x}(x＜0)$的图象于点D,若$CD=4$,求n的值.
答案
7.【解】(1)如图，连接OA，OB。$\because AB ⊥ y$轴，$\therefore S_{△ OAM}=1$，$S_{△ OBM}=4$，$\therefore S_{△ OAB}=S_{△ OAM}+S_{△ OBM}=1+4=5$。$\because AB // x$轴，$\therefore S_{△ PAB}=S_{△ OAB}=5$。
(2)当$y_C=y_D=n$时，$y_C=\frac{2}{x_C}=n$，$y_D=\frac{-8}{x_D}=n$，$\therefore x_C=\frac{2}{n}$，$x_D=-\frac{8}{n}$，$\therefore CD=\frac{2}{n}-(-\frac{8}{n})=\frac{10}{n}$。$\because CD=4$，$\therefore \frac{10}{n}=4$，解得$n=\frac{5}{2}$，经检验，$n=\frac{5}{2}$是分式方程的解，$\therefore n=\frac{5}{2}$。
思路分析：(1)连接OA，OB。根据反比例函数中k与面积的关系，可得$S_{△ OAM}=1$，$S_{△ OBM}=4$，根据$S_{△ OAB}=S_{△ OAM}+S_{△ OBM}$求出$S_{△ OAB}$的值，最后根据$S_{△ PAB}=S_{△ OAB}$即可求解。
解析
【分析】
(1) 求解△PAB的面积时，首先观察到AB垂直y轴，即AB与x轴平行，点P在x轴上，因此△PAB与△OAB同底等高，面积相等，故只需计算△OAB的面积即可。根据反比例函数k的几何意义，过反比例函数图象上的点作y轴的垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，分别求出△OAM、△OBM的面积，求和就能得到△OAB的面积，即△PAB的面积。
(2) 直线y=n与两个反比例函数的交点C、D纵坐标均为n，将y=n分别代入两个反比例函数解析式，求出C、D的横坐标，线段CD的长度为C点横坐标减去D点横坐标，结合CD=4列分式方程，求解后检验即可得到n的值。
【解析】
(1) 如图，连接OA，OB。
$\because AB ⊥ y$轴，
$\therefore$ 根据反比例函数k的几何意义可得：$S_{△ OAM}=\frac{1}{2} × |2|=1$，$S_{△ OBM}=\frac{1}{2} × |-8|=4$，
$\therefore S_{△ OAB}=S_{△ OAM}+S_{△ OBM}=1+4=5$。
$\because AB ⊥ y$轴，x轴$⊥ y$轴，$\therefore AB // x$轴，
$\therefore △ PAB$与$△ OAB$同底等高，即$S_{△ PAB}=S_{△ OAB}=5$。
(2) 当$y_C=y_D=n$时，将$y=n$分别代入两个反比例函数解析式：
将$y=n$代入$y=\frac{2}{x}(x＞0)$，得$n=\frac{2}{x_C}$，解得$x_C=\frac{2}{n}$；
将$y=n$代入$y=-\frac{8}{x}(x＜0)$，得$n=-\frac{8}{x_D}$，解得$x_D=-\frac{8}{n}$。
$\because$ 点C在x轴正方向侧，点D在x轴负方向侧，
$\therefore CD=x_C - x_D=\frac{2}{n}-(-\frac{8}{n})=\frac{10}{n}$。
$\because CD=4$，$\therefore \frac{10}{n}=4$，解得$n=\frac{5}{2}$。
经检验，$n=\frac{5}{2}$是该分式方程的解，符合题意。
【答案】
(1) $△ PAB$的面积为$\boxed{5}$；
(2) $n$的值为$\boxed{\frac{5}{2}}$。
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数点的坐标特征，分式方程的解法
【点评】
本题属于反比例函数的常见题型，第一问通过同底等高三角形面积相等转化所求面积，结合k的几何意义可快速求解，避免了复杂的坐标运算；第二问通过坐标表示线段长度列方程求解，解题时需注意分式方程要检验，掌握反比例函数的基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.6
(1) 求解△PAB的面积时，首先观察到AB垂直y轴，即AB与x轴平行，点P在x轴上，因此△PAB与△OAB同底等高，面积相等，故只需计算△OAB的面积即可。根据反比例函数k的几何意义，过反比例函数图象上的点作y轴的垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，分别求出△OAM、△OBM的面积，求和就能得到△OAB的面积，即△PAB的面积。
(2) 直线y=n与两个反比例函数的交点C、D纵坐标均为n，将y=n分别代入两个反比例函数解析式，求出C、D的横坐标，线段CD的长度为C点横坐标减去D点横坐标，结合CD=4列分式方程，求解后检验即可得到n的值。
【解析】
(1) 如图，连接OA，OB。
$\because AB ⊥ y$轴，
$\therefore$ 根据反比例函数k的几何意义可得：$S_{△ OAM}=\frac{1}{2} × |2|=1$，$S_{△ OBM}=\frac{1}{2} × |-8|=4$，
$\therefore S_{△ OAB}=S_{△ OAM}+S_{△ OBM}=1+4=5$。
$\because AB ⊥ y$轴，x轴$⊥ y$轴，$\therefore AB // x$轴，
$\therefore △ PAB$与$△ OAB$同底等高，即$S_{△ PAB}=S_{△ OAB}=5$。
(2) 当$y_C=y_D=n$时，将$y=n$分别代入两个反比例函数解析式：
将$y=n$代入$y=\frac{2}{x}(x＞0)$，得$n=\frac{2}{x_C}$，解得$x_C=\frac{2}{n}$；
将$y=n$代入$y=-\frac{8}{x}(x＜0)$，得$n=-\frac{8}{x_D}$，解得$x_D=-\frac{8}{n}$。
$\because$ 点C在x轴正方向侧，点D在x轴负方向侧，
$\therefore CD=x_C - x_D=\frac{2}{n}-(-\frac{8}{n})=\frac{10}{n}$。
$\because CD=4$，$\therefore \frac{10}{n}=4$，解得$n=\frac{5}{2}$。
经检验，$n=\frac{5}{2}$是该分式方程的解，符合题意。
【答案】
(1) $△ PAB$的面积为$\boxed{5}$；
(2) $n$的值为$\boxed{\frac{5}{2}}$。
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数点的坐标特征，分式方程的解法
【点评】
本题属于反比例函数的常见题型，第一问通过同底等高三角形面积相等转化所求面积，结合k的几何意义可快速求解，避免了复杂的坐标运算；第二问通过坐标表示线段长度列方程求解，解题时需注意分式方程要检验，掌握反比例函数的基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.6
1 坐标法 [2025浙江杭州期末,中]如图,过反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$图象上的点A,分别作x轴、y轴的平行线交反比例函数$y=-\frac{2}{x}$的图象于B,D两点,以AB,AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形,面积分别记为$S_1,S_2,S_3,S_4$.若$S_2+S_3+S_4=\frac{11}{2}$,则k的值为 (
A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{5}{3}$
C.4
D.$\frac{8}{3}$
D
)A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{5}{3}$
C.4
D.$\frac{8}{3}$
答案
1. D 【解析】由题设$A(m,\frac{k}{m})$，则$B(-\frac{2m}{k},\frac{k}{m})$，$D(m,-\frac{2}{m})$，$\therefore C(-\frac{2m}{k},-\frac{2}{m})$，$\therefore S_2=S_4=2$，$S_3=\frac{4}{k}$。$\because S_2+S_3+S_4=\frac{11}{2}$，$\therefore 2+\frac{4}{k}+2=\frac{11}{2}$，解得$k=\frac{8}{3}$，经检验，$k=\frac{8}{3}$是分式方程的解，且符合题意。故选D。
思路分析：设点A横坐标为$a(a＞0)$，则可得到点A，B的坐标，进而得到$a^2=2a(2a-1)$，解之即可。
思路分析：设点A横坐标为$a(a＞0)$，则可得到点A，B的坐标，进而得到$a^2=2a(2a-1)$，解之即可。
解析
【分析】
本题是反比例函数与几何面积结合的题型，解题思路如下：首先设出点A的坐标，利用平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，求出点B、D的坐标；再根据坐标计算出$S_2、S_3、S_4$的面积，利用反比例函数的性质可发现$S_2、S_4$的面积为定值，$S_3$的面积含参数k；最后结合已知的面积和列方程，求解即可得到k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(m,\frac{k}{m})$（$m＞0$）：
1. 求点B坐标：AB平行于x轴，故B点纵坐标与A相同为$\frac{k}{m}$，代入$y=-\frac{2}{x}$得$x=-\frac{2m}{k}$，即$B(-\frac{2m}{k},\frac{k}{m})$；
2. 求点D坐标：AD平行于y轴，故D点横坐标与A相同为$m$，代入$y=-\frac{2}{x}$得$y=-\frac{2}{m}$，即$D(m,-\frac{2}{m})$；
3. 计算各小矩形面积：
$S_2$是第二象限矩形面积：$S_2=\left|-\frac{2m}{k}\right| × \frac{k}{m}=2$，
$S_4$是第四象限矩形面积：$S_4=m × \left|-\frac{2}{m}\right|=2$，
$S_3$是第三象限矩形面积：$S_3=\left|-\frac{2m}{k}\right| × \left|-\frac{2}{m}\right|=\frac{4}{k}$；
4. 列方程求解：已知$S_2+S_3+S_4=\frac{11}{2}$，代入得$2+\frac{4}{k}+2=\frac{11}{2}$，解得$k=\frac{8}{3}$，经检验$k=\frac{8}{3}$是原方程的解且符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. k的几何意义
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的常见中档题型，核心考查数形结合思想的应用，通过设点坐标推导面积表达式的方法，是解决反比例函数与几何结合类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
本题是反比例函数与几何面积结合的题型，解题思路如下：首先设出点A的坐标，利用平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，求出点B、D的坐标；再根据坐标计算出$S_2、S_3、S_4$的面积，利用反比例函数的性质可发现$S_2、S_4$的面积为定值，$S_3$的面积含参数k；最后结合已知的面积和列方程，求解即可得到k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(m,\frac{k}{m})$（$m＞0$）：
1. 求点B坐标：AB平行于x轴，故B点纵坐标与A相同为$\frac{k}{m}$，代入$y=-\frac{2}{x}$得$x=-\frac{2m}{k}$，即$B(-\frac{2m}{k},\frac{k}{m})$；
2. 求点D坐标：AD平行于y轴，故D点横坐标与A相同为$m$，代入$y=-\frac{2}{x}$得$y=-\frac{2}{m}$，即$D(m,-\frac{2}{m})$；
3. 计算各小矩形面积：
$S_2$是第二象限矩形面积：$S_2=\left|-\frac{2m}{k}\right| × \frac{k}{m}=2$，
$S_4$是第四象限矩形面积：$S_4=m × \left|-\frac{2}{m}\right|=2$，
$S_3$是第三象限矩形面积：$S_3=\left|-\frac{2m}{k}\right| × \left|-\frac{2}{m}\right|=\frac{4}{k}$；
4. 列方程求解：已知$S_2+S_3+S_4=\frac{11}{2}$，代入得$2+\frac{4}{k}+2=\frac{11}{2}$，解得$k=\frac{8}{3}$，经检验$k=\frac{8}{3}$是原方程的解且符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. k的几何意义
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的常见中档题型，核心考查数形结合思想的应用，通过设点坐标推导面积表达式的方法，是解决反比例函数与几何结合类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
2 “三角形”化“梯形”法 [2026 四川达州质检，中]【情景预设】如图，在平面直角坐标系$xOy$中(1 cm为1个单位长度)，平行于$y$轴的直尺(一部分)与双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$交于点$A,C$，
与$x$轴交于点$B,D$，直尺的宽度为2 cm，$AB=3$ cm，$OB=2$ cm.
【初步解决】(1)求反比例函数的表达式.
【深入探究】(2)若经过$A,C$两点的直线表达式为$y=mx+b$，请直接写出关于$x$的不等式$mx+b-\frac{k}{x}＜0(x＞0)$的解集.
(3)连接$OA,OC$，求$△ OAC$的面积.
与$x$轴交于点$B,D$，直尺的宽度为2 cm，$AB=3$ cm，$OB=2$ cm.
【初步解决】(1)求反比例函数的表达式.
【深入探究】(2)若经过$A,C$两点的直线表达式为$y=mx+b$，请直接写出关于$x$的不等式$mx+b-\frac{k}{x}＜0(x＞0)$的解集.
(3)连接$OA,OC$，求$△ OAC$的面积.
答案
2.【解】(1)由题意可知$A(2,3)$。将A点坐标代入$y=\frac{k}{x}$中，得$3=\frac{k}{2}$，$\therefore k=6$，$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$。
(2)由题意得$D(4,0)$，$\therefore C$点的横坐标为4。由图象可知，不等式$mx+b-\frac{k}{x}＜0(x＞0)$的解集是$0＜x＜2$或$x＞4$。
关键点拨：(3)运用数形结合的思想，将不等式转化为函数图象的位置关系是解决本题的关键。
(3)$S_{△ OAC}=S_{△ AOB}+S_{梯形ABDC}-S_{△ OCD}$。$\because$ 点A，C在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，$\therefore S_{△ OAB}=S_{△ OCD}$，$\therefore S_{△ OAC}=S_{梯形ABDC}$。把$x=4$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{3}{2}$，$\therefore C(4,\frac{3}{2})$，$\therefore CD=\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$，$\therefore S_{梯形ABDC}=\frac{1}{2}(AB+CD)· BD=\frac{1}{2}×(3+\frac{3}{2})×2=\frac{9}{2}\ (\mathrm{cm}^2)$，$\therefore S_{△ OAC}=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
(2)由题意得$D(4,0)$，$\therefore C$点的横坐标为4。由图象可知，不等式$mx+b-\frac{k}{x}＜0(x＞0)$的解集是$0＜x＜2$或$x＞4$。
关键点拨：(3)运用数形结合的思想，将不等式转化为函数图象的位置关系是解决本题的关键。
(3)$S_{△ OAC}=S_{△ AOB}+S_{梯形ABDC}-S_{△ OCD}$。$\because$ 点A，C在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，$\therefore S_{△ OAB}=S_{△ OCD}$，$\therefore S_{△ OAC}=S_{梯形ABDC}$。把$x=4$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{3}{2}$，$\therefore C(4,\frac{3}{2})$，$\therefore CD=\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$，$\therefore S_{梯形ABDC}=\frac{1}{2}(AB+CD)· BD=\frac{1}{2}×(3+\frac{3}{2})×2=\frac{9}{2}\ (\mathrm{cm}^2)$，$\therefore S_{△ OAC}=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
(1) 求反比例函数解析式需先确定函数上一个点的坐标：由OB=2可知A点横坐标为2，AB=3且AB垂直x轴，可知A点纵坐标为3，得到A(2,3)后用待定系数法代入$y=\frac{k}{x}$即可求出k值。
(2) 不等式$mx+b - \frac{k}{x} ＜ 0(x＞0)$的本质是x＞0时一次函数值小于反比例函数值，只需找到直线位于双曲线下方对应的x范围即可：直尺宽度为2，故C点横坐标为2+2=4，结合A点横坐标2，观察图象即可得到解集。
(3) △OAC为不规则图形，用割补法转化求解：△OAC的面积可表示为$S_{△AOB}+S_{梯形ABDC}-S_{△OCD}$，根据反比例函数k的几何意义，△AOB和△OCD面积相等，因此$S_{△OAC}=S_{梯形ABDC}$，求出C点坐标后用梯形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 由题意得点A的坐标为(2,3)，将$A(2,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$
∴ 反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$
(2) 直尺宽度为2 cm，故$OD=OB+2=4$，即C点横坐标为4
不等式$mx+b - \frac{k}{x} ＜0(x＞0)$即一次函数值小于反比例函数值，结合图象可得解集为$0＜x＜2$或$x＞4$
(3) 由反比例函数k的几何意义可知，点A、C在双曲线上，故$S_{△AOB}=S_{△OCD}=\frac{1}{2}|k|=3$
因此$S_{△OAC}=S_{△AOB}+S_{梯形ABDC}-S_{△OCD}=S_{梯形ABDC}$
将$x=4$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{3}{2}$，即$C(4,\frac{3}{2})$，故$CD=\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$
梯形ABDC的面积为：$S_{梯形ABDC}=\frac{1}{2}(AB+CD)·BD=\frac{1}{2}×(3+\frac{3}{2})×2=\frac{9}{2}\ (\mathrm{cm}^2)$
∴ $S_{△OAC}=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) $y=\frac{6}{x}(x＞0)$
(2) $0＜x＜2$或$x＞4$
(3) $\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数与不等式
3. 反比例函数中k的几何意义
【点评】
本题是反比例函数的综合经典题型，考查了函数解析式求解、数形结合解不等式、割补法求不规则图形面积等核心内容，用到的k的几何意义、转化思想都是反比例函数专题的高频考点，实用性较强。
【难度系数】
0.6
(1) 求反比例函数解析式需先确定函数上一个点的坐标：由OB=2可知A点横坐标为2，AB=3且AB垂直x轴，可知A点纵坐标为3，得到A(2,3)后用待定系数法代入$y=\frac{k}{x}$即可求出k值。
(2) 不等式$mx+b - \frac{k}{x} ＜ 0(x＞0)$的本质是x＞0时一次函数值小于反比例函数值，只需找到直线位于双曲线下方对应的x范围即可：直尺宽度为2，故C点横坐标为2+2=4，结合A点横坐标2，观察图象即可得到解集。
(3) △OAC为不规则图形，用割补法转化求解：△OAC的面积可表示为$S_{△AOB}+S_{梯形ABDC}-S_{△OCD}$，根据反比例函数k的几何意义，△AOB和△OCD面积相等，因此$S_{△OAC}=S_{梯形ABDC}$，求出C点坐标后用梯形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 由题意得点A的坐标为(2,3)，将$A(2,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$
∴ 反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$
(2) 直尺宽度为2 cm，故$OD=OB+2=4$，即C点横坐标为4
不等式$mx+b - \frac{k}{x} ＜0(x＞0)$即一次函数值小于反比例函数值，结合图象可得解集为$0＜x＜2$或$x＞4$
(3) 由反比例函数k的几何意义可知，点A、C在双曲线上，故$S_{△AOB}=S_{△OCD}=\frac{1}{2}|k|=3$
因此$S_{△OAC}=S_{△AOB}+S_{梯形ABDC}-S_{△OCD}=S_{梯形ABDC}$
将$x=4$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{3}{2}$，即$C(4,\frac{3}{2})$，故$CD=\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$
梯形ABDC的面积为：$S_{梯形ABDC}=\frac{1}{2}(AB+CD)·BD=\frac{1}{2}×(3+\frac{3}{2})×2=\frac{9}{2}\ (\mathrm{cm}^2)$
∴ $S_{△OAC}=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) $y=\frac{6}{x}(x＞0)$
(2) $0＜x＜2$或$x＞4$
(3) $\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数与不等式
3. 反比例函数中k的几何意义
【点评】
本题是反比例函数的综合经典题型，考查了函数解析式求解、数形结合解不等式、割补法求不规则图形面积等核心内容，用到的k的几何意义、转化思想都是反比例函数专题的高频考点，实用性较强。
【难度系数】
0.6
