1. [2025武汉中考] 如图，四边形ABCD是正方形，点E在边CD上，点F在边BC的延长线上，$DE = CF$，射线AE交对角线BD于点G，交线段DF于点H.
(1)求证:$DH = GH$.
(2)求证:$AG · EH = EG · GH$.
(3)若$\frac{GE}{EH}=n$，直接写出$\frac{DH}{DF}$的值.(用含n的式子表示)

备用图

(1)证明:
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD = CD,∠ADC = ∠BCD = ∠DCF=90°,∠ADB = ∠BDC = 45°.$
又
∵ $DE = CF,∴ △ ADE ≌ △ DCF(SAS),$
∴ $∠DAE = ∠CDF.$
又
∵ $∠HDG = ∠CDF + ∠BDC,∠DGH = ∠DAE + ∠ADB,$
∴ $∠HDG = ∠DGH,∴ DH = GH.$
(2)证明:
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB// CD,AB = AD,$
∴ $△ ABG ∽ △ EDG,∴ \frac{AG}{EG} = \frac{AB}{DE} = \frac{AD}{DE}.$
∵ $∠HAD = ∠HDE,∠AHD = ∠DHE,$
∴ $△ HAD ∽ △ HDE,$
∴ $\frac{DH}{EH} = \frac{AD}{DE},∴ \frac{AG}{EG} = \frac{DH}{EH}.$
由(1)知 $DH = GH,$
∴ $\frac{AG}{EG} = \frac{GH}{EH},∴ AG · EH = EG · GH.$
(3)解:$\frac{DH}{DF} = \frac{n + 1}{n^2 + 2n}.$
∵ $\frac{AG}{EG} = \frac{GH}{EH},\frac{GE}{EH} = n,$
∴ $\frac{GE}{EH} = \frac{AG}{GH} = n.$
设 $EH = a$,则 $GE = na,$
∴ $DH = GH = a(n + 1),∴ AG = nGH = n · a(n + 1) = a(n^2 + n),$
∴ $AE = AG + GE = a(n^2 + 2n).$
由(1)得 $△ ADE ≌ △ DCF,$
∴ $DF = AE = a(n^2 + 2n),$
∴ $\frac{DH}{DF} = \frac{a(n + 1)}{a(n^2 + 2n)} = \frac{n + 1}{n^2 + 2n}.$

2. 一题多解 [2024 安徽中考] 如图1，$□ ABCD$的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且$AM=CN$.点E，F分别是BD与AN，CM的交点.
(1)求证:$OE=OF$.
(2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF.
(i)如图2，若$HE// AB$，求证:$HF// AD$；
(ii)如图3，若$□ ABCD$为菱形，且$MD=2AM$，$∠ EHF=60°$，求$\frac{AC}{BD}$的值.

(1)证明:由题意,知 $AD// BC,OA = OC.$
由于 $AM = CN$,则四边形AMCN是平行四边形，
从而 $AN// CM$,所以 $∠OAE = ∠OCF.$
在$△ AOE$与$△ COF$中,因为 $∠OAE = ∠OCF,OA = OC,∠AOE = ∠COF,$
所以 $△ AOE ≌ △ COF$,所以 $OE = OF.$
(2)(i)证明:因为 $HE// AB$,所以 $\frac{OH}{OA} = \frac{OE}{OB}.$
又因为 $OB = OD,OE = OF$,所以 $\frac{OH}{OA} = \frac{OF}{OD}.$
由于 $∠HOF = ∠AOD$,所以 $△ HOF ∽ △ AOD.$
于是 $∠OHF = ∠OAD$,所以 $HF// AD.$
(ii)解: 因为$□ ABCD$为菱形,所以 $AC ⊥ BD.$
又因为 $OE = OF,∠EHF = 60°$,所以 $∠EHO = ∠FHO = 30°$,所以 $EH = 2OE$,由勾股定理得 $OH = \sqrt{3}OE.$
因为 $AM// BC,MD = 2AM$,所以 $△ AHM ∽ △ CHB,$
所以 $\frac{AH}{HC} = \frac{AM}{BC} = \frac{1}{3}$,即 $HC = 3AH,$
从而 $OA + OH = 3(OA - OH)$,所以 $OA = 2OH.$
因为 $BN// AD,MD = 2AM,AM = CN$,所以 $△ AED ∽ △ NEB,$
所以 $\frac{BE}{ED} = \frac{BN}{AD} = \frac{2}{3}$,即 $3BE = 2ED.$
从而 $3(OB - OE) = 2(OB + OE)$,所以 $OB = 5OE.$
故 $\frac{AC}{BD} = \frac{OA}{OB} = \frac{2OH}{5OE} = \frac{2\sqrt{3}}{5}$,即$\frac{AC}{BD}$的值是$\frac{2\sqrt{3}}{5}$.
另解 因为 $AD// BC$,
所以 $△ AMH ∽ △ CBH,△ BEN ∽ △ DEA,$
所以 $\frac{AM}{BC} = \frac{AH}{CH},\frac{BE}{DE} = \frac{BN}{AD}.$
因为 $MD = 2AM = 2CN,AD = BC,$
所以 $\frac{AM}{BC} = \frac{1}{3},\frac{BN}{AD} = \frac{2}{3},$
所以 $\frac{AH}{CH} = \frac{1}{3},\frac{BE}{DE} = \frac{2}{3}.$
设 $AH = x,BE = 2y$,则 $CH = 3x,DE = 3y,$
所以 $AC = 4x,BD = 5y$,所以 $\frac{AC}{BD} = \frac{4x}{5y}.$
因为 $OA = OC$,所以 $x + OH = 3x - OH,$
所以 $OH = x.$
因为 $OB = OD = \frac{1}{2}BD = \frac{5y}{2},$
所以 $OE = \frac{5y}{2} - 2y = \frac{y}{2}.$
因为 $∠EHF = 60°,OH ⊥ EF$,所以易知 $OH = \sqrt{3}OE,$
所以 $x = \frac{\sqrt{3}y}{2}$,所以 $\frac{x}{y} = \frac{\sqrt{3}}{2},$
所以 $\frac{AC}{BD} = \frac{4x}{5y} = \frac{4}{5} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{5}.$