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1. 如图，已知点$A(-2,0),B(4,0),C(-4,4)$，则三角形ABC的面积为
（第1题图）（第2题图）
12
。（第1题图）（第2题图）
答案
1. 12
解析
【分析】
要计算三角形ABC的面积，可利用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$求解：首先观察到点A、B都在x轴上，可先求出AB的长度作为底边；再找到AB边上对应的高，即点C到x轴的距离，代入公式即可算出面积。
【解析】
解：
∵点$A(-2,0)$，$B(4,0)$都在x轴上，
∴AB的长度为$4 - (-2) = 6$。
又
∵点C的坐标为$(-4,4)$，AB在x轴上，
∴AB边上的高等于点C到x轴的距离，即高为4。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×高=\frac{1}{2}×6×4=12$。
【答案】
12
【知识点】
点到坐标轴的距离，坐标系内线段长度计算，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是结合坐标系的特点，选择x轴上的AB作为底边，将高转化为点C到x轴的距离，简化了面积计算过程，是平面直角坐标系中求图形面积的基础题型。
【难度系数】
0.9
要计算三角形ABC的面积，可利用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$求解：首先观察到点A、B都在x轴上，可先求出AB的长度作为底边；再找到AB边上对应的高，即点C到x轴的距离，代入公式即可算出面积。
【解析】
解：
∵点$A(-2,0)$，$B(4,0)$都在x轴上，
∴AB的长度为$4 - (-2) = 6$。
又
∵点C的坐标为$(-4,4)$，AB在x轴上，
∴AB边上的高等于点C到x轴的距离，即高为4。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×高=\frac{1}{2}×6×4=12$。
【答案】
12
【知识点】
点到坐标轴的距离，坐标系内线段长度计算，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是结合坐标系的特点，选择x轴上的AB作为底边，将高转化为点C到x轴的距离，简化了面积计算过程，是平面直角坐标系中求图形面积的基础题型。
【难度系数】
0.9
2.如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(4,2),B(4,6),C(-1,3),则三角形ABC的面积为
10
。答案
2. 10
解析
【分析】
解题时先观察三个顶点的坐标特征：点A和点B的横坐标相同，说明AB是垂直于x轴的竖直线段，可先计算AB的长度作为三角形的底；再计算点C到直线AB的水平距离作为AB边上的高，最后代入三角形面积公式求解即可。
【解析】
解：
∵A(4,2)，B(4,6)，两点横坐标相等，
∴AB为垂直于x轴的线段，AB的长度为：$6 - 2 = 4$，
直线AB的解析式为$x=4$，
点C(-1,3)到直线AB的距离（即△ABC中AB边上的高）为：$4 - (-1) = 5$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，
可得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×5=10$。
【答案】
10
【知识点】
坐标与线段长度计算，三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系中面积计算的基础题，解题的核心是利用坐标特征找到易计算的底和对应高，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时先观察三个顶点的坐标特征：点A和点B的横坐标相同，说明AB是垂直于x轴的竖直线段，可先计算AB的长度作为三角形的底；再计算点C到直线AB的水平距离作为AB边上的高，最后代入三角形面积公式求解即可。
【解析】
解：
∵A(4,2)，B(4,6)，两点横坐标相等，
∴AB为垂直于x轴的线段，AB的长度为：$6 - 2 = 4$，
直线AB的解析式为$x=4$，
点C(-1,3)到直线AB的距离（即△ABC中AB边上的高）为：$4 - (-1) = 5$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，
可得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×5=10$。
【答案】
10
【知识点】
坐标与线段长度计算，三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系中面积计算的基础题，解题的核心是利用坐标特征找到易计算的底和对应高，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
3.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(-1,0),B(-1,-2),C(3,-6).已知AB//CD,点D在x轴上,求四边形ABCD的面积.
答案
3. 解:由题意,得点 D 的坐标为(3,0).因为 A(-1,0),B(-1,-2),C(3,-6),所以 AB=2,CD=6,AD=4. 所以 $S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)· AD=16$.
解析
【分析】
解题时先观察点A、B的坐标特征，发现AB平行于y轴，结合AB//CD可推出CD也平行于y轴，因此点D的横坐标与点C相同；再根据点D在x轴上，可得点D纵坐标为0，即可确定D的坐标。接着判断四边形ABCD是直角梯形，分别算出梯形的上底AB、下底CD的长度，以及两底之间的距离（即高AD），最后代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵A(-1,0)，B(-1,-2)，两点横坐标相同，
∴AB//y轴，
又
∵AB//CD，
∴CD//y轴，即点D的横坐标与点C(3,-6)相同，为3，
∵点D在x轴上，纵坐标为0，
∴D(3,0)。
计算各边长度：
AB的长度：$\vert0 - (-2)\vert = 2$，
CD的长度：$\vert0 - (-6)\vert = 6$，
AD的长度：$\vert3 - (-1)\vert = 4$，
∵AB、CD均垂直于x轴，
∴四边形ABCD是直角梯形，AD为梯形的高，
根据梯形面积公式：
$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)· AD=\frac{1}{2}×(2+6)×4=16$
【答案】
16
【知识点】
平行于坐标轴的点的坐标特征，梯形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系中求图形面积的基础题，解题的核心是先根据平行线的性质和点的位置确定未知点D的坐标，再判断图形形状选择对应面积公式求解，掌握平行于坐标轴的直线上点的坐标特点是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先观察点A、B的坐标特征，发现AB平行于y轴，结合AB//CD可推出CD也平行于y轴，因此点D的横坐标与点C相同；再根据点D在x轴上，可得点D纵坐标为0，即可确定D的坐标。接着判断四边形ABCD是直角梯形，分别算出梯形的上底AB、下底CD的长度，以及两底之间的距离（即高AD），最后代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵A(-1,0)，B(-1,-2)，两点横坐标相同，
∴AB//y轴，
又
∵AB//CD，
∴CD//y轴，即点D的横坐标与点C(3,-6)相同，为3，
∵点D在x轴上，纵坐标为0，
∴D(3,0)。
计算各边长度：
AB的长度：$\vert0 - (-2)\vert = 2$，
CD的长度：$\vert0 - (-6)\vert = 6$，
AD的长度：$\vert3 - (-1)\vert = 4$，
∵AB、CD均垂直于x轴，
∴四边形ABCD是直角梯形，AD为梯形的高，
根据梯形面积公式：
$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)· AD=\frac{1}{2}×(2+6)×4=16$
【答案】
16
【知识点】
平行于坐标轴的点的坐标特征，梯形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系中求图形面积的基础题，解题的核心是先根据平行线的性质和点的位置确定未知点D的坐标，再判断图形形状选择对应面积公式求解，掌握平行于坐标轴的直线上点的坐标特点是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
4. 一题多解思维发散如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(0,1),B(5,1),C(7,3),D(2,5)，求四边形ABCD的面积.
解法一(补形法):将四边形ABCD补成长方形.
解法二(分割法):沿四边形ABCD的几个顶点将四边形ABCD分割成由直角三角形、长方形或梯形组成的图形.
解法一(补形法):将四边形ABCD补成长方形.
解法二(分割法):沿四边形ABCD的几个顶点将四边形ABCD分割成由直角三角形、长方形或梯形组成的图形.
答案
4. 解法一:解:长方形 AEFH 如图所示.
$S_{四边形ABCD}=S_{长方形AEFH}-S_{三角形ADE}-S_{三角形DFC}-S_{三角形BCH}=4×7-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×5-\frac{1}{2}×2×2=17$.解法二:解:如图.
$S_{四边形ABCD}=S_{三角形ADE}+S_{三角形DFC}+S_{长方形BEFG}+S_{三角形BCG}=\frac{1}{2}×2×4+\frac{1}{2}×2×5+2×3+\frac{1}{2}×2×2=17$.解析
【分析】
本题是求平面直角坐标系中不规则四边形的面积，核心思路是运用转化思想，把不规则图形转化为可直接计算面积的规则图形求解。①补形法：先构造出包含该四边形的最小长方形，计算长方形面积后，减去长方形内除四边形外多余的3个直角三角形的面积，即可得到四边形面积；②分割法：过四边形的顶点作坐标轴的平行线，将四边形拆分为直角三角形、长方形这类规则图形，分别计算各部分面积后求和，就能得到四边形的总面积。
【解析】
解法一（补形法）
根据坐标可知补成的长方形AEFH的长为7，宽为$5-1=4$，周围三个直角三角形的底和高可由顶点坐标直接得到：
1. 计算长方形面积：$S_{长方形AEFH}=7×4=28$
2. 分别计算三个多余三角形的面积：
$S_{三角形ADE}=\frac{1}{2}×2×4=4$，$S_{三角形DFC}=\frac{1}{2}×5×2=5$，$S_{三角形BCH}=\frac{1}{2}×2×2=2$
3. 作差求四边形面积：$S_{四边形ABCD}=28-4-5-2=17$
解法二（分割法）
过顶点作坐标轴的平行线，将四边形分割为2个直角三角形、1个长方形，各规则图形的底和高可由顶点坐标得到：
1. 分别计算各分割部分的面积：
$S_{三角形ADE}=\frac{1}{2}×2×4=4$，$S_{三角形DFC}=\frac{1}{2}×5×2=5$，$S_{长方形BEFG}=3×2=6$，$S_{三角形BCG}=\frac{1}{2}×2×2=2$
2. 求和求四边形面积：$S_{四边形ABCD}=4+5+6+2=17$
【答案】
解法一:解:长方形 AEFH 如图所示. $S_{四边形ABCD}=S_{长方形AEFH}-S_{三角形ADE}-S_{三角形DFC}-S_{三角形BCH}=4×7-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×5-\frac{1}{2}×2×2=17$.
解法二:解:如图. $S_{四边形ABCD}=S_{三角形ADE}+S_{三角形DFC}+S_{长方形BEFG}+S_{三角形BCG}=\frac{1}{2}×2×4+\frac{1}{2}×2×5+2×3+\frac{1}{2}×2×2=17$.
【知识点】
割补法求面积，平面直角坐标系的应用，规则图形面积计算
【点评】
本题重点考察不规则图形的面积求解能力，解题核心是将未知的不规则图形面积转化为熟悉的规则图形面积的和或差，两种解题思路可以帮助学生理解转化、数形结合思想的应用，拓宽解题思维。
【难度系数】
0.7
本题是求平面直角坐标系中不规则四边形的面积，核心思路是运用转化思想，把不规则图形转化为可直接计算面积的规则图形求解。①补形法：先构造出包含该四边形的最小长方形，计算长方形面积后，减去长方形内除四边形外多余的3个直角三角形的面积，即可得到四边形面积；②分割法：过四边形的顶点作坐标轴的平行线，将四边形拆分为直角三角形、长方形这类规则图形，分别计算各部分面积后求和，就能得到四边形的总面积。
【解析】
解法一（补形法）
根据坐标可知补成的长方形AEFH的长为7，宽为$5-1=4$，周围三个直角三角形的底和高可由顶点坐标直接得到：
1. 计算长方形面积：$S_{长方形AEFH}=7×4=28$
2. 分别计算三个多余三角形的面积：
$S_{三角形ADE}=\frac{1}{2}×2×4=4$，$S_{三角形DFC}=\frac{1}{2}×5×2=5$，$S_{三角形BCH}=\frac{1}{2}×2×2=2$
3. 作差求四边形面积：$S_{四边形ABCD}=28-4-5-2=17$
解法二（分割法）
过顶点作坐标轴的平行线，将四边形分割为2个直角三角形、1个长方形，各规则图形的底和高可由顶点坐标得到：
1. 分别计算各分割部分的面积：
$S_{三角形ADE}=\frac{1}{2}×2×4=4$，$S_{三角形DFC}=\frac{1}{2}×5×2=5$，$S_{长方形BEFG}=3×2=6$，$S_{三角形BCG}=\frac{1}{2}×2×2=2$
2. 求和求四边形面积：$S_{四边形ABCD}=4+5+6+2=17$
【答案】
解法一:解:长方形 AEFH 如图所示.
$S_{四边形ABCD}=S_{长方形AEFH}-S_{三角形ADE}-S_{三角形DFC}-S_{三角形BCH}=4×7-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×5-\frac{1}{2}×2×2=17$.解法二:解:如图.
$S_{四边形ABCD}=S_{三角形ADE}+S_{三角形DFC}+S_{长方形BEFG}+S_{三角形BCG}=\frac{1}{2}×2×4+\frac{1}{2}×2×5+2×3+\frac{1}{2}×2×2=17$.【知识点】
割补法求面积，平面直角坐标系的应用，规则图形面积计算
【点评】
本题重点考察不规则图形的面积求解能力，解题核心是将未知的不规则图形面积转化为熟悉的规则图形面积的和或差，两种解题思路可以帮助学生理解转化、数形结合思想的应用，拓宽解题思维。
【难度系数】
0.7
5.如图,在平面直角坐标系中描出$A(-3,1)$,$B(2,-2)$,$C(2,3)$,$D(0,1)$四个点,连接$AB$,$BD$,$DC$,$CA$,并求所连线段围成图形的面积.
答案
5. 解:如图.
连接 BC. $S_{四边形ABDC}=S_{三角形ABC}-S_{三角形BCD}=\frac{1}{2}×5×5-\frac{1}{2}×5×2=\frac{15}{2}$,即所连线段围成图形的面积为$\frac{15}{2}$.解析
【分析】
解题时首先观察四个点的坐标特征，发现点B和点C横坐标相同，因此线段BC是竖直方向的线段，长度易求。我们可以采用割补法，将所求四边形ABDC的面积转化为三角形ABC的面积减去三角形BCD的面积：两个三角形均以BC为底，高分别为点A、点D到直线BC的水平距离，分别计算两个三角形面积后作差即可得到四边形面积。
【解析】
1. 先按坐标在平面直角坐标系中描出A(-3,1)、B(2,-2)、C(2,3)、D(0,1)四个点，顺次连接AB、BD、DC、CA。
2. 连接BC，计算BC的长度：
∵ B、C两点横坐标均为2，BC为竖直线段，
∴ $BC = 3 - (-2) = 5$。
3. 计算$△ ABC$的面积：
BC所在直线为$x=2$，点A到直线$x=2$的水平距离为$2 - (-3) = 5$，即$△ ABC$中BC边上的高为5，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×高\_\_\_\_\_\_1=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}$。
4. 计算$△ BCD$的面积：
点D到直线$x=2$的水平距离为$2 - 0 = 2$，即$△ BCD$中BC边上的高为2，
∴ $S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×BC×高\_\_\_\_\_\_2=\frac{1}{2}×5×2=5$。
5. 计算四边形ABDC的面积：
$S_{四边形ABDC}=S_{△ ABC}-S_{△ BCD}=\frac{25}{2}-5=\frac{15}{2}$。
【答案】
如图. 连接 BC. $S_{四边形ABDC}=S_{三角形ABC}-S_{三角形BCD}=\frac{1}{2}×5×5-\frac{1}{2}×5×2=\frac{15}{2}$,即所连线段围成图形的面积为$\frac{15}{2}$。
【知识点】
平面直角坐标系描点，坐标法求线段长，割补法求面积
【点评】
本题是平面直角坐标系中面积计算的典型题，解题核心是通过观察点的坐标特征找到公共底，将不规则图形的面积转化为规则三角形的面积差，降低计算难度，有助于提升对坐标与图形关系的理解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察四个点的坐标特征，发现点B和点C横坐标相同，因此线段BC是竖直方向的线段，长度易求。我们可以采用割补法，将所求四边形ABDC的面积转化为三角形ABC的面积减去三角形BCD的面积：两个三角形均以BC为底，高分别为点A、点D到直线BC的水平距离，分别计算两个三角形面积后作差即可得到四边形面积。
【解析】
1. 先按坐标在平面直角坐标系中描出A(-3,1)、B(2,-2)、C(2,3)、D(0,1)四个点，顺次连接AB、BD、DC、CA。
2. 连接BC，计算BC的长度：
∵ B、C两点横坐标均为2，BC为竖直线段，
∴ $BC = 3 - (-2) = 5$。
3. 计算$△ ABC$的面积：
BC所在直线为$x=2$，点A到直线$x=2$的水平距离为$2 - (-3) = 5$，即$△ ABC$中BC边上的高为5，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×高\_\_\_\_\_\_1=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}$。
4. 计算$△ BCD$的面积：
点D到直线$x=2$的水平距离为$2 - 0 = 2$，即$△ BCD$中BC边上的高为2，
∴ $S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×BC×高\_\_\_\_\_\_2=\frac{1}{2}×5×2=5$。
5. 计算四边形ABDC的面积：
$S_{四边形ABDC}=S_{△ ABC}-S_{△ BCD}=\frac{25}{2}-5=\frac{15}{2}$。
【答案】
如图.
连接 BC. $S_{四边形ABDC}=S_{三角形ABC}-S_{三角形BCD}=\frac{1}{2}×5×5-\frac{1}{2}×5×2=\frac{15}{2}$,即所连线段围成图形的面积为$\frac{15}{2}$。【知识点】
平面直角坐标系描点，坐标法求线段长，割补法求面积
【点评】
本题是平面直角坐标系中面积计算的典型题，解题核心是通过观察点的坐标特征找到公共底，将不规则图形的面积转化为规则三角形的面积差，降低计算难度，有助于提升对坐标与图形关系的理解。
【难度系数】
0.7
