1 已知$\odot O$的半径$r$是一元二次方程$x^2 -5x -6=0$的一个根，圆心$O$到直线$l$的距离$d=5$，则直线$l$与$\odot O$的位置关系是 （）

A.相交
B.相切
C.相离
D.平行

解$x^2 -5x -6=0$,得$x_1=-1$,$x_2=6$.
$\because \odot O$的半径为一元二次方程$x^2 -5x -6=0$的一个根,$\therefore r=6$.$\because d=5$,$\therefore d＜r$,$\therefore$直线$l$与$\odot O$的位置关系是相交,故选A.

2 新考法[2026江苏镇江质检]已知矩形ABCD中，AB=a，BC=b，若以AB为直径的圆与边CD有交点，则a与b满足的关系为（）

A.$a≥ 2b$
B.$a＞2b$
C.$a＞b$
D.$a≥ b$

$\because AB=a$,$\therefore$以$AB$为直径的圆的半径为$\frac{a}{2}$.$\because$以$AB$为直径的圆与边$CD$有交点,$\therefore \frac{a}{2}≥b$,$\therefore a≥2b$,故选A.

3[2026天津南开区期中]如图，点A(1,0),B(0,2),O(0,0),点M为线段AB的中点，以点O为圆心，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$为半径作$\odot O$，则下列结论中正确的是（）

A.AB与$\odot O$相切
B.点A在$\odot O$上
C.点B在$\odot O$上
D.点M在$\odot O$上

过$O$作$OH ⊥ AB$于$H$,连接$OM$.
$\because A(1,0)$,$B(0,2)$,$\therefore OA=1$,$OB=2$.$\because ∠ AOB=90°$,$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{5}$.$\because$点$M$为线段$AB$的中点,$∠ AOB=90°$,$\therefore OM=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}}{2}$.
$\because S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB · OH=\frac{1}{2}OA · OB$,$\therefore \sqrt{5} × OH=1 × 2$,$\therefore OH=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.$\because \odot O$的半径$r=\frac{2\sqrt{5}}{5}$,$\therefore OH=r$,$\therefore AB$与$\odot O$相切,故A符合题意.$\because OM＞r$,$OA＞r$,$OB＞r$,$\therefore A$,$B$,$M$在$\odot O$外,故B、C、D不符合题意.故选A.

4[2026广东揭阳期末]已知$\odot O$的半径是关于$x$的方程$\frac{3}{x-2} - \frac{kx-1}{x-2}=1$的增根，圆心$O$到直线$l$的距离$d = 2$，则直线$l$与$\odot O$的位置关系是。

$\because$关于$x$的方程$\frac{3}{x-2}-\frac{kx-1}{x-2}=1$的增根是$x=2$,$\therefore \odot O$的半径是$2$.$\because$圆心$O$到直线$l$的距离$d=2$,$\therefore$直线$l$与$\odot O$的位置关系是相切.

5[2025上海青浦区期末]若点$P(m,n)$在二次函数$y=x^2+2x+2$的图象上，以$P$为圆心，2为半径的圆与$y$轴相交，则$n$的取值范围是。

$\because y=x^2+2x+2=(x+1)^2+1$,$\therefore$二次函数$y=x^2+2x+2$的图象开口向上,顶点坐标为$(-1,1)$,对称轴是直线$x=-1$.$\because$以$P$为圆心,2为半径的圆与$y$轴相交,$\therefore P(m,n)$到$y$轴的距离小于2,$\therefore -2＜m＜2$.当$x=-2$时,$y=(-2+1)^2+1=2$;当$x=2$时,$y=(2+1)^2+1=10$;当$x=-1$时,$y=1$,$\therefore n$的取值范围是$1≤n＜10$.
故答案为$1≤n＜10$.

6[2025江苏南京质检]如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A,B$分别在$x$轴负半轴、$y$轴正半轴上$(OA＞OB)$,$C(a,-a)$($a$为常数),以$C$为圆心、适当的长度为半径作$\odot C$,使点$A,B$在$\odot C$上.

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出$\odot C$.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)若$OA=8$,$OB=6$,直线$y=x+b$与$\odot C$有且只有一个公共点,则$b=$.

(1)如图,$\odot C$即为所作.
(2)当直线$y=x+b$与$\odot C$有且只有一个公共点时,设公共点为点$T$,连接$CA$,$CB$,$CT$,则易知$CT$和直线$y=x+b$垂直,且$CT=AC=CB$.$\because C(a,-a)$,$\therefore$点$C$在直线$y=-x$上,$\therefore$点$T$是直线$y=-x$和直线$y=x+b$的交点.
联立$\begin{cases} y=-x, \\ y=x+b, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-\frac{1}{2}b, \\ y=\frac{1}{2}b, \end{cases}$ $\therefore T(-\frac{1}{2}b,\frac{1}{2}b)$.
$\because OA=8$,$OB=6$,$\therefore A(-8,0)$,$B(0,6)$.由$CT=AC=CB$,得$(a+\frac{1}{2}b)^2+(-a-\frac{1}{2}b)^2=(a+8)^2+(-a)^2=a^2+(-a-6)^2$,解得$b=4$或24.故答案为4或24.

7 如图,已知∠APB=30°,OP=3 cm,⊙O的半径为1 cm,若圆心O沿着BP方向在直线BP上移动.
(1)当圆心O移动的距离为1 cm时,⊙O与直线PA的位置关系是什么?
(2)若圆心O的移动距离是d cm,当⊙O与直线PA相交时,d的取值范围是什么?

刷易错 .....................小心有坑~

(1)如图(1),当圆心$O$向左移动1 cm时,$PO'=PO-O'O=3-1=2(\mathrm{cm})$,作$O'C ⊥ PA$于点$C$.$\because ∠ P=30°$,$\therefore O'C=\frac{1}{2}PO'=1 \mathrm{ cm}$.$\because \odot O$的半径为1 cm,$\therefore O'C$为$\odot O$的半径,$\therefore \odot O$与直线$PA$的位置关系是相切.
(2)如图(2),当圆心$O$由$O'$向左继续移动时,$PA$与$\odot O$相交;当圆心$O$移动到点$O''$时,$PA$与$\odot O$相切,此时$O''P=PO'=2 \mathrm{ cm}$.
$\because OP=3 \mathrm{ cm}$,$\therefore OO''=OP+O''P=3+2=5(\mathrm{cm})$,$\therefore$当$\odot O$与直线$PA$相交时,圆心$O$移动的距离$d$的取值范围为$1＜d＜5$.

8 已知$\odot O$的半径为3 cm，P为直线l上的一点，若$OP=5$ cm，则直线l与$\odot O$的位置关系是（）

A.一定相交
B.一定相切
C.一定相离
D.可能相交，也可能相切或相离

因为垂线段最短,圆心到直线的距离$d$为垂线段的长度,所以此时垂线段的长度和半径的大小关系不确定,则直线$l$和$\odot O$相交、相切、相离都有可能.