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1. 教材P5习题T1变式 下列函数中，一定是二次函数的是（
A.$y=3x-1$
B.$y=ax^2+bx+c$
C.$s=2t^2+2t-1$
D.$y=x^2+\dfrac{1}{x}$
C
）A.$y=3x-1$
B.$y=ax^2+bx+c$
C.$s=2t^2+2t-1$
D.$y=x^2+\dfrac{1}{x}$
答案
1. C 解析:A.$y=3x-1$是一次函数,不是二次函数,不符合题意;B.$y=ax^2+bx+c$,当$a=0$时,不是二次函数,不符合题意;C.$s=2t^2+2t-1$是二次函数,符合题意;D.$y=x^2+\dfrac{1}{x}$分母含有自变量,不是二次函数,不符合题意.故选 C.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确二次函数的判定标准：①函数表达式是关于自变量的整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时依次用这三个标准对每个选项逐一判断，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
逐个分析各选项：
A. $y=3x-1$中自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
B. $y=ax^2+bx+c$未说明$a≠0$，当$a=0$时函数最高次数小于2，不是二次函数，排除；
C. $s=2t^2+2t-1$是关于$t$的整式，$t$的最高次数为2，且二次项系数$2≠0$，符合二次函数定义，当选；
D. $y=x^2+\dfrac{1}{x}$的分母含自变量$x$，属于分式，不是整式函数，不符合二次函数要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题为基础概念题，重点考查二次函数定义的理解与应用，易错点是忽略B选项中二次项系数不为0的前提，或是误将含自变量的分式函数判定为二次函数，学习时要牢记二次函数的三个判定要点，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确二次函数的判定标准：①函数表达式是关于自变量的整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时依次用这三个标准对每个选项逐一判断，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
逐个分析各选项：
A. $y=3x-1$中自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
B. $y=ax^2+bx+c$未说明$a≠0$，当$a=0$时函数最高次数小于2，不是二次函数，排除；
C. $s=2t^2+2t-1$是关于$t$的整式，$t$的最高次数为2，且二次项系数$2≠0$，符合二次函数定义，当选；
D. $y=x^2+\dfrac{1}{x}$的分母含自变量$x$，属于分式，不是整式函数，不符合二次函数要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题为基础概念题，重点考查二次函数定义的理解与应用，易错点是忽略B选项中二次项系数不为0的前提，或是误将含自变量的分式函数判定为二次函数，学习时要牢记二次函数的三个判定要点，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2. 易错题 若y关于x的函数$y=(m-1)x^{|m+1|}-4$是二次函数，则m的值是
-3
。答案
2. -3 解析:根据题意,得$|m+1|=2$且$m-1≠0$,解得$m=-3$.
易错提醒 二次函数$y=ax^2+bx+c$中,$a≠0$,解此类题不能只关注二次项的次数,要注意$a$有限制.
易错提醒 二次函数$y=ax^2+bx+c$中,$a≠0$,解此类题不能只关注二次项的次数,要注意$a$有限制.
解析
【分析】
要确定m的取值，需结合二次函数的定义推导：二次函数有两个核心判定条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项系数不能为0。解题时先根据最高次数为2列关于m的绝对值方程，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合的解，即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，$a≠0$）的函数为二次函数，可列条件：
1. 自变量$x$的次数为2，即$|m+1|=2$，
解绝对值方程得：$m+1=2$或$m+1=-2$，即$m=1$或$m=-3$。
2. 二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
综上排除不符合的$m=1$，可得$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 绝对值方程求解
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义类的易错题，易错点为仅关注自变量最高次数为2的条件，忽略二次项系数不能为0的限制，导致出现多解错误，求解此类题时需同时满足次数、系数两个限制条件，再排除不符合要求的解即可。
【难度系数】
0.6
要确定m的取值，需结合二次函数的定义推导：二次函数有两个核心判定条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项系数不能为0。解题时先根据最高次数为2列关于m的绝对值方程，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合的解，即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，$a≠0$）的函数为二次函数，可列条件：
1. 自变量$x$的次数为2，即$|m+1|=2$，
解绝对值方程得：$m+1=2$或$m+1=-2$，即$m=1$或$m=-3$。
2. 二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
综上排除不符合的$m=1$，可得$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 绝对值方程求解
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义类的易错题，易错点为仅关注自变量最高次数为2的条件，忽略二次项系数不能为0的限制，导致出现多解错误，求解此类题时需同时满足次数、系数两个限制条件，再排除不符合要求的解即可。
【难度系数】
0.6
3. 已知函数$y=(m^2 - m)x^2 + mx - 2$（$m$为常数），根据下列条件求$m$的值：
(1)$y$是$x$的一次函数；
(2)$y$是$x$的二次函数。
(1)$y$是$x$的一次函数；
(2)$y$是$x$的二次函数。
答案
3. (1)根据$y$是$x$的一次函数,可知$m^2 - m = 0$,解得$m=1$或$m=0$.又因为$m≠0$,所以$m=1$.
(2)根据$y$是$x$的二次函数,可知$m^2 - m ≠ 0$,所以$m≠0$且$m≠1$.
(2)根据$y$是$x$的二次函数,可知$m^2 - m ≠ 0$,所以$m≠0$且$m≠1$.
解析
【分析】
本题考查一次函数与二次函数的定义，解题思路如下：首先回忆两类函数的核心特征：①若函数为一次函数，x的最高次数为1，且一次项系数不能为0，因此需要先令二次项系数为0，再排除一次项系数为0的情况；②若函数为二次函数，x的最高次数为2，因此只需要保证二次项系数不为0即可，最后根据对应条件列方程或不等式求解m的取值。
【解析】
(1) 若$y$是$x$的一次函数，根据一次函数定义，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0：
列条件为$\begin{cases}m^2 - m = 0 \\ m ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - m = 0$，因式分解得$m(m-1)=0$，解得$m=0$或$m=1$，结合$m ≠ 0$的限制，最终得$m=1$。
(2) 若$y$是$x$的二次函数，根据二次函数定义，需满足二次项系数不为0：
列不等式为$m^2 - m ≠ 0$
因式分解得$m(m-1) ≠ 0$，因此$m ≠ 0$且$m ≠ 1$。
【答案】
(1)$m=1$；(2)$m≠0$且$m≠1$
【知识点】
一次函数的定义；二次函数的定义；因式分解解方程
【点评】
本题属于概念类基础题，解题关键是明确不同类型函数对最高次项系数的限制要求，求解一次函数对应的m值时，不要遗漏一次项系数不为0的条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数与二次函数的定义，解题思路如下：首先回忆两类函数的核心特征：①若函数为一次函数，x的最高次数为1，且一次项系数不能为0，因此需要先令二次项系数为0，再排除一次项系数为0的情况；②若函数为二次函数，x的最高次数为2，因此只需要保证二次项系数不为0即可，最后根据对应条件列方程或不等式求解m的取值。
【解析】
(1) 若$y$是$x$的一次函数，根据一次函数定义，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0：
列条件为$\begin{cases}m^2 - m = 0 \\ m ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - m = 0$，因式分解得$m(m-1)=0$，解得$m=0$或$m=1$，结合$m ≠ 0$的限制，最终得$m=1$。
(2) 若$y$是$x$的二次函数，根据二次函数定义，需满足二次项系数不为0：
列不等式为$m^2 - m ≠ 0$
因式分解得$m(m-1) ≠ 0$，因此$m ≠ 0$且$m ≠ 1$。
【答案】
(1)$m=1$；(2)$m≠0$且$m≠1$
【知识点】
一次函数的定义；二次函数的定义；因式分解解方程
【点评】
本题属于概念类基础题，解题关键是明确不同类型函数对最高次项系数的限制要求，求解一次函数对应的m值时，不要遗漏一次项系数不为0的条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
4. 关于函数$y=(500-10x)(40+x)$，下列说法不正确的是（
A.$y$是$x$的二次函数
B.二次项系数是$-10$
C.一次项是$100$
D.常数项是$20000$
C
）A.$y$是$x$的二次函数
B.二次项系数是$-10$
C.一次项是$100$
D.常数项是$20000$
答案
4. C 解析:$\because y=(500-10x)(40+x)=-10x^2+100x+20000$,$\therefore y$是$x$的二次函数,二次项系数是$-10$,一次项是$100x$,常数项是$20000$,$\therefore$ A,B,D正确,C错误.故选 C.
解析
【分析】
本题考查二次函数的相关概念，解题时首先需要将所给的乘积形式的函数表达式展开，整理为二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，再根据二次函数的定义、二次项系数、一次项、常数项的定义，逐一核对每个选项的正误即可。
【解析】
先将函数表达式展开整理为一般形式：
$\begin{aligned}y&=(500-10x)(40+x)\\&=500×40 + 500x - 10x×40 - 10x· x\\&=20000 + 500x - 400x -10x^2\\&=-10x^2 + 100x + 20000\end{aligned}$
逐一分析选项：
A. 函数最高次项为2次，且二次项系数不为0，因此$y$是$x$的二次函数，说法正确；
B. 二次项为$-10x^2$，对应二次项系数是$-10$，说法正确；
C. 一次项是含未知数的项，为$100x$，不是$100$，说法错误；
D. 常数项是不含未知数的项，为$20000$，说法正确。
因此说法不正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的基本概念，多项式乘多项式运算
【点评】
本题属于基础概念类习题，解题的核心是先将函数化为一般形式再判断对应项，要注意一次项、二次项都是包含对应次数未知数的整式，不要遗漏未知数只写系数。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的相关概念，解题时首先需要将所给的乘积形式的函数表达式展开，整理为二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，再根据二次函数的定义、二次项系数、一次项、常数项的定义，逐一核对每个选项的正误即可。
【解析】
先将函数表达式展开整理为一般形式：
$\begin{aligned}y&=(500-10x)(40+x)\\&=500×40 + 500x - 10x×40 - 10x· x\\&=20000 + 500x - 400x -10x^2\\&=-10x^2 + 100x + 20000\end{aligned}$
逐一分析选项：
A. 函数最高次项为2次，且二次项系数不为0，因此$y$是$x$的二次函数，说法正确；
B. 二次项为$-10x^2$，对应二次项系数是$-10$，说法正确；
C. 一次项是含未知数的项，为$100x$，不是$100$，说法错误；
D. 常数项是不含未知数的项，为$20000$，说法正确。
因此说法不正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的基本概念，多项式乘多项式运算
【点评】
本题属于基础概念类习题，解题的核心是先将函数化为一般形式再判断对应项，要注意一次项、二次项都是包含对应次数未知数的整式，不要遗漏未知数只写系数。
【难度系数】
0.8
5. ★★ 把函数$y=(2-3x)(6-x)$化成$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的形式为
$y=3x^2-20x+12$
，其中$a=$3
，$b=$-20
，$c=$12
。当$x=2$时，$y$的值是-16
。答案
5. $y=3x^2-20x+12$ 3 -20 12 -16 解析:因为$y=(2-3x)(6-x)=12-2x-18x+3x^2=3x^2-20x+12$,所以$a=3$,$b=-20$,$c=12$.当$x=2$时,$y=(2-3×2)×(6-2)=-4×4=-16$.故答案为$y=3x^2-20x+12$;3;-20;12;-16.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确解题步骤：第一步，利用多项式乘多项式的运算法则将给定的函数表达式展开；第二步，合并同类项，整理成二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$；第三步，对应一般式的各项，确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值；第四步，将$x=2$代入函数表达式（可选择原式或整理后的一般式，优先选择计算更简便的形式），求出对应的$y$值即可。计算过程中要格外注意符号运算，避免出错。
【解析】
首先展开函数表达式：
$y=(2-3x)(6-x)$
根据多项式乘多项式法则展开：
$=2×6 + 2×(-x) + (-3x)×6 + (-3x)×(-x)$
$=12 - 2x - 18x + 3x^2$
合并同类项整理为一般式：
$y=3x^2 -20x +12$
对应二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可得：
二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-20$，常数项$c=12$。
当$x=2$时，代入原式计算更简便：
$y=(2-3×2)×(6-2)=(2-6)×4=-4×4=-16$
【答案】
$y=3x^2-20x+12$；3；-20；12；-16
【知识点】
多项式乘法运算；二次函数的一般式；代数式求值
【点评】
本题属于二次函数相关的基础题型，核心考查多项式的乘法运算和二次函数一般式的各项系数识别，计算时需注意负号的运算，避免符号出错，代入求值时可灵活选择原式或整理后的表达式简化计算。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确解题步骤：第一步，利用多项式乘多项式的运算法则将给定的函数表达式展开；第二步，合并同类项，整理成二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$；第三步，对应一般式的各项，确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值；第四步，将$x=2$代入函数表达式（可选择原式或整理后的一般式，优先选择计算更简便的形式），求出对应的$y$值即可。计算过程中要格外注意符号运算，避免出错。
【解析】
首先展开函数表达式：
$y=(2-3x)(6-x)$
根据多项式乘多项式法则展开：
$=2×6 + 2×(-x) + (-3x)×6 + (-3x)×(-x)$
$=12 - 2x - 18x + 3x^2$
合并同类项整理为一般式：
$y=3x^2 -20x +12$
对应二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可得：
二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-20$，常数项$c=12$。
当$x=2$时，代入原式计算更简便：
$y=(2-3×2)×(6-2)=(2-6)×4=-4×4=-16$
【答案】
$y=3x^2-20x+12$；3；-20；12；-16
【知识点】
多项式乘法运算；二次函数的一般式；代数式求值
【点评】
本题属于二次函数相关的基础题型，核心考查多项式的乘法运算和二次函数一般式的各项系数识别，计算时需注意负号的运算，避免符号出错，代入求值时可灵活选择原式或整理后的表达式简化计算。
【难度系数】
0.8
6. 如图
是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是
是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是11
。答案
6. 11 解析:把$x=1$代入$y=x^2+2x+3$,得$y=1+2+3=6＜9$,无法输出,$\therefore$ 把$x=1+1=2$代入$y=x^2+2x+3$,得$y=4+4+3=11＞9$,输出11.故答案为11.
解析
【分析】首先要明确运算程序的逻辑：先输入x的值，代入二次式计算y的值，判断y是否大于9，若大于则直接输出y；若不大于，则将x加1后重新代入计算，直到y＞9为止。第一次输入x=1，按照这个流程逐步计算即可。
【解析】
第一步：第一次输入$x=1$，代入$y=x^2+2x+3$计算：
$y=1^2+2×1+3=1+2+3=6$，
因为$6＜9$，不符合输出条件，所以将x加1，得到新的x值为$1+1=2$。
第二步：将$x=2$代入$y=x^2+2x+3$计算：
$y=2^2+2×2+3=4+4+3=11$，
因为$11＞9$，符合输出条件，故输出该y值。
【答案】11
【知识点】代数式求值、程序框图运算
【点评】本题考查对运算程序逻辑的理解和代数式代入计算的能力，解题时按照程序规则逐步代入计算，保证计算准确性即可顺利求解。
【难度系数】0.8
【解析】
第一步：第一次输入$x=1$，代入$y=x^2+2x+3$计算：
$y=1^2+2×1+3=1+2+3=6$，
因为$6＜9$，不符合输出条件，所以将x加1，得到新的x值为$1+1=2$。
第二步：将$x=2$代入$y=x^2+2x+3$计算：
$y=2^2+2×2+3=4+4+3=11$，
因为$11＞9$，符合输出条件，故输出该y值。
【答案】11
【知识点】代数式求值、程序框图运算
【点评】本题考查对运算程序逻辑的理解和代数式代入计算的能力，解题时按照程序规则逐步代入计算，保证计算准确性即可顺利求解。
【难度系数】0.8
7. ★★ 某环保公司第一个月投放$ a $个垃圾桶，计划第三个月投放$ y $个垃圾桶，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为$ x $，那么$ y $与$ x $的函数关系是
$y=a(1+x)^2$
。答案
7. $y=a(1+x)^2$ 解析:根据题意,第一个月投放$a$个垃圾桶,则第二个月投放$a(1+x)$个垃圾桶,第三个月投放$a(1+x)^2$个垃圾桶,所以$y=a(1+x)^2$.
解析
【分析】
这是一道平均增长率的函数关系推导题，解题思路如下：首先明确月平均增长率的含义，即后一个月的投放量是前一个月的(1+x)倍。我们可以先推导第二个月的垃圾桶投放量，再以第二个月的投放量为基础推导第三个月的投放量，最终建立y与x的函数关系。
【解析】
已知第一个月投放垃圾桶数量为a，第二、三两个月的月平均增长率为x：
1. 第二个月的投放量是在第一个月的基础上增长x，因此第二个月投放量为：$ a(1+x) $个；
2. 第三个月的投放量是在第二个月的基础上增长x，因此第三个月投放量为：$ a(1+x) × (1+x) = a(1+x)^2 $个；
已知第三个月投放y个垃圾桶，因此可得函数关系为$ y=a(1+x)^2 $。
【答案】
$ y=a(1+x)^2 $
【知识点】
平均增长率问题、二次函数实际应用
【点评】
本题属于基础的实际问题函数解析式推导题，核心是掌握平均增长率的数量变化规律，理清相邻两个时间段的数量倍数关系，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率的函数关系推导题，解题思路如下：首先明确月平均增长率的含义，即后一个月的投放量是前一个月的(1+x)倍。我们可以先推导第二个月的垃圾桶投放量，再以第二个月的投放量为基础推导第三个月的投放量，最终建立y与x的函数关系。
【解析】
已知第一个月投放垃圾桶数量为a，第二、三两个月的月平均增长率为x：
1. 第二个月的投放量是在第一个月的基础上增长x，因此第二个月投放量为：$ a(1+x) $个；
2. 第三个月的投放量是在第二个月的基础上增长x，因此第三个月投放量为：$ a(1+x) × (1+x) = a(1+x)^2 $个；
已知第三个月投放y个垃圾桶，因此可得函数关系为$ y=a(1+x)^2 $。
【答案】
$ y=a(1+x)^2 $
【知识点】
平均增长率问题、二次函数实际应用
【点评】
本题属于基础的实际问题函数解析式推导题，核心是掌握平均增长率的数量变化规律，理清相邻两个时间段的数量倍数关系，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
8. 如图所示,用长为21米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10米),围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃,为便于进出,开了3道宽均为1米的门.设花圃的一边AB为x米,面积为S平方米,S与x之间的函数表达式为
$S=-3x^2+24x (\dfrac{14}{3}≤ x＜\dfrac{22}{3})$
(写出自变量x的取值范围).答案
8. $S=-3x^2+24x (\dfrac{14}{3}≤ x＜\dfrac{22}{3})$ 解析:由题意得,$AB=x＞1$,且$AD=21+3-3x=24-3x$,则$2＜24-3x≤10$,$3x-1＜21$,解得$\dfrac{14}{3}≤ x＜\dfrac{22}{3}$,于是$S=x(24-3x)=-3x^2+24x$,$\therefore S=-3x^2+24x (\dfrac{14}{3}≤ x＜\dfrac{22}{3})$.
解析
【分析】
这是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：第一步先明确各边和篱笆的关系：AB是垂直于墙的边长为x，观察图形可知垂直于墙的篱笆共有3段（AB、中间隔断、CD），由于3道门各宽1米，门无需占用篱笆，因此相当于总可用长度为原篱笆长加3道门的总宽度，由此可表示出平行于墙的边的长度。第二步用矩形面积公式即可得到面积S关于x的函数表达式。第三步结合墙的最大可用长度、实际场景下边长的限制条件，列不等式求解得到x的取值范围。
【解析】
解：设AB的长度为x米，
由题意得：3道门的总宽度为$3×1=3$米，垂直于墙的篱笆共3段，总长为$3x$米，
因此平行于墙的边AD的长度为：$21 + 3 - 3x = 24 - 3x$（米）
根据矩形面积公式$S = AB × AD$，代入得：
$S = x(24 - 3x) = -3x^2 + 24x$
接下来求自变量x的取值范围：
① 墙的最大可用长度为10米，因此平行于墙的边长不超过10米，即：
$24 - 3x ≤ 10$
解得：$x ≥ \dfrac{14}{3}$
② 结合篱笆总长限制和门的设置要求，平行于墙的边长需大于2米，即：
$24 - 3x ＞ 2$
解得：$x ＜ \dfrac{22}{3}$
综上，自变量x的取值范围是$\dfrac{14}{3} ≤ x ＜ \dfrac{22}{3}$
【答案】
$S=-3x^2+24x (\dfrac{14}{3}≤ x＜\dfrac{22}{3})$
【知识点】
二次函数的应用；矩形面积计算；不等式组求解
【点评】
本题属于实际场景下的二次函数问题，易错点是容易忽略门的宽度不需要计入篱笆长度，以及漏考虑自变量的实际取值范围。解题时要结合图形理清各边的数量关系，最后一定要验证自变量的取值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
这是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：第一步先明确各边和篱笆的关系：AB是垂直于墙的边长为x，观察图形可知垂直于墙的篱笆共有3段（AB、中间隔断、CD），由于3道门各宽1米，门无需占用篱笆，因此相当于总可用长度为原篱笆长加3道门的总宽度，由此可表示出平行于墙的边的长度。第二步用矩形面积公式即可得到面积S关于x的函数表达式。第三步结合墙的最大可用长度、实际场景下边长的限制条件，列不等式求解得到x的取值范围。
【解析】
解：设AB的长度为x米，
由题意得：3道门的总宽度为$3×1=3$米，垂直于墙的篱笆共3段，总长为$3x$米，
因此平行于墙的边AD的长度为：$21 + 3 - 3x = 24 - 3x$（米）
根据矩形面积公式$S = AB × AD$，代入得：
$S = x(24 - 3x) = -3x^2 + 24x$
接下来求自变量x的取值范围：
① 墙的最大可用长度为10米，因此平行于墙的边长不超过10米，即：
$24 - 3x ≤ 10$
解得：$x ≥ \dfrac{14}{3}$
② 结合篱笆总长限制和门的设置要求，平行于墙的边长需大于2米，即：
$24 - 3x ＞ 2$
解得：$x ＜ \dfrac{22}{3}$
综上，自变量x的取值范围是$\dfrac{14}{3} ≤ x ＜ \dfrac{22}{3}$
【答案】
$S=-3x^2+24x (\dfrac{14}{3}≤ x＜\dfrac{22}{3})$
【知识点】
二次函数的应用；矩形面积计算；不等式组求解
【点评】
本题属于实际场景下的二次函数问题，易错点是容易忽略门的宽度不需要计入篱笆长度，以及漏考虑自变量的实际取值范围。解题时要结合图形理清各边的数量关系，最后一定要验证自变量的取值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
9. 某公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元.政府规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元.经市场调查发现：日销售量$ y $（千克）是销售单价$ x $（元）的一次函数，且当$ x = 60 $时，$ y = 80 $；$ x = 50 $时，$ y = 100 $.在销售过程中，每天还要支付其他费用450元.
(1)求$ y $与$ x $的函数表达式，并写出自变量$ x $的取值范围；
(2)求该公司销售该原料日获利润$ w $（元）与销售单价$ x $（元）之间的函数表达式.
(1)求$ y $与$ x $的函数表达式，并写出自变量$ x $的取值范围；
(2)求该公司销售该原料日获利润$ w $（元）与销售单价$ x $（元）之间的函数表达式.
答案
9. (1)设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b$.$\because x=60$时,$y=80$,$x=50$时,$y=100$,$\therefore \begin{cases}60k+b=80,\\50k+b=100,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-2,\\b=200,\end{cases}$ $\therefore y=-2x+200$,根据政府规定,$30≤ x≤70$.
(2)$w=(x-30)y-450=(x-30)(-2x+200)-450=-2x^2+260x-6000-450=-2x^2+260x-6450(30≤ x≤70)$.
(2)$w=(x-30)y-450=(x-30)(-2x+200)-450=-2x^2+260x-6000-450=-2x^2+260x-6450(30≤ x≤70)$.
解析
【分析】
(1) 已知日销售量$y$是销售单价$x$的一次函数，因此采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式$y=kx+b$，将题目给出的两组$x、y$对应值代入，得到关于$k、b$的二元一次方程组，解方程组即可求得系数$k、b$，得到函数表达式；自变量$x$的取值范围直接根据题目中政府对销售单价的限制确定即可。
(2) 日利润的计算逻辑为：日利润=每千克利润×日销售量-每日其他费用。其中每千克利润为（销售单价$x$-进价30元），日销售量直接代入第(1)问求得的$y$的表达式，将式子展开化简后即可得到$w$与$x$的函数表达式，注意标注$x$的取值范围。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b$。
将$x=60,y=80$和$x=50,y=100$代入表达式，得：
$\begin{cases}60k+b=80\\50k+b=100\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$10k=-20$，解得$k=-2$；
将$k=-2$代入$50k+b=100$，得$-100+b=100$，解得$b=200$。
结合政府规定的销售单价范围，得$30≤ x≤70$，
因此$y$与$x$的函数表达式为$y=-2x+200(30≤ x≤70)$。
(2) 根据利润计算公式，代入$y$的表达式得：
$\begin{aligned}w&=(x-30)y-450\\&=(x-30)(-2x+200)-450\\&=-2x^2+200x+60x-6000-450\\&=-2x^2+260x-6450\end{aligned}$
结合$x$的取值范围，最终函数表达式为$w=-2x^2+260x-6450(30≤ x≤70)$。
【答案】
(1) $y=-2x+200(30≤ x≤70)$
(2) $w=-2x^2+260x-6450(30≤ x≤70)$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；销售利润计算；二次函数实际应用
【点评】
本题是函数在销售问题中的基础应用，重点考查待定系数法求解析式的方法和销售利润的数量关系，解题时需注意不要遗漏题目给定的自变量取值范围，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
(1) 已知日销售量$y$是销售单价$x$的一次函数，因此采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式$y=kx+b$，将题目给出的两组$x、y$对应值代入，得到关于$k、b$的二元一次方程组，解方程组即可求得系数$k、b$，得到函数表达式；自变量$x$的取值范围直接根据题目中政府对销售单价的限制确定即可。
(2) 日利润的计算逻辑为：日利润=每千克利润×日销售量-每日其他费用。其中每千克利润为（销售单价$x$-进价30元），日销售量直接代入第(1)问求得的$y$的表达式，将式子展开化简后即可得到$w$与$x$的函数表达式，注意标注$x$的取值范围。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b$。
将$x=60,y=80$和$x=50,y=100$代入表达式，得：
$\begin{cases}60k+b=80\\50k+b=100\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$10k=-20$，解得$k=-2$；
将$k=-2$代入$50k+b=100$，得$-100+b=100$，解得$b=200$。
结合政府规定的销售单价范围，得$30≤ x≤70$，
因此$y$与$x$的函数表达式为$y=-2x+200(30≤ x≤70)$。
(2) 根据利润计算公式，代入$y$的表达式得：
$\begin{aligned}w&=(x-30)y-450\\&=(x-30)(-2x+200)-450\\&=-2x^2+200x+60x-6000-450\\&=-2x^2+260x-6450\end{aligned}$
结合$x$的取值范围，最终函数表达式为$w=-2x^2+260x-6450(30≤ x≤70)$。
【答案】
(1) $y=-2x+200(30≤ x≤70)$
(2) $w=-2x^2+260x-6450(30≤ x≤70)$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；销售利润计算；二次函数实际应用
【点评】
本题是函数在销售问题中的基础应用，重点考查待定系数法求解析式的方法和销售利润的数量关系，解题时需注意不要遗漏题目给定的自变量取值范围，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
