1. 下列说法正确的是 ()

A.在圆内部的多边形叫作圆内接多边形
B.任意一个四边形都有外接圆
C.过四边形的四个顶点的圆叫作这个四边形的外接圆
D.一个圆只有一个内接四边形

1. C 解析:A.
∵顶点都在同一个圆上的多边形叫作圆内接多边形,
∴选项A不符合题意;B.
∵只有对角互补的四边形才有外接圆,
∴选项B不符合题意;C.若一个圆过多边形的每个顶点,则这个圆是这个多边形的外接圆,故选项C符合题意;D.
∵一个圆可以有无数个内接四边形,
∴选项D不符合题意.故选 C.

【分析】
本题考查圆内接多边形、外接圆的相关概念辨析，解题思路是逐一对照各选项涉及的概念定义，判断表述是否准确，通过排除错误选项得出正确答案。解题时先回忆核心定义：圆内接多边形是所有顶点都在同一个圆上的多边形；四边形存在外接圆的前提是对角互补；一个圆可任意选取4个不同的点连接成内接四边形，因此有无数个内接四边形；外接圆的定义是经过多边形所有顶点的圆。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：顶点都在同一个圆上的多边形才叫圆内接多边形，并非顶点在圆内部的多边形就是圆内接多边形，因此A不符合题意；
B选项：只有对角互补的四边形才有外接圆，不是任意四边形都有外接圆，因此B不符合题意；
C选项：若一个圆经过四边形的四个顶点，那么这个圆就是该四边形的外接圆，符合外接圆的定义，因此C符合题意；
D选项：在同一个圆上任意选取四个不同的顶点都可以连接成一个内接四边形，因此一个圆有无数个内接四边形，因此D不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆内接多边形概念，四边形外接圆判定，外接圆定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，侧重考查对圆相关基础概念的记忆与辨析，易错点是混淆圆内接多边形的顶点位置要求、误以为所有四边形都存在外接圆，只要准确掌握相关定义就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

2. （绍兴中考改编）如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，若$∠ D=100°$，则$∠ B$的度数是（）

A.$80°$
B.$60°$
C.$54°$
D.$52°$

2. A 解析:
∵ 四边形 ABCD 内接于$\odot O$,
∴ $∠ B+∠ D= 180°$.
∵ $∠ D= 100°$,
∴ $∠ B= 180°-∠ D= 80°$.故选 A.

【分析】
解题时首先观察图形特征，确定四边形ABCD是圆内接四边形，此时回忆圆内接四边形的相关性质：圆内接四边形的对角互补。已知∠D的度数，而∠B和∠D是四边形的一组对角，因此可利用对角互补的关系直接计算∠B的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ 根据圆内接四边形对角互补的性质，得$∠ B + ∠ D = 180°$，
又
∵ $∠ D=100°$，
∴ $∠ B = 180° - ∠ D = 180° - 100° = 80°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题是基础类题型，直接考查圆内接四边形对角互补的性质，熟练掌握该性质即可快速求解，是圆相关性质考查中的常见基础题。
【难度系数】
0.9

3. 如图，AD是半圆O的直径，四边形ABCD内接于半圆O.若$∠ C=110°$,则$∠ ADB=$（）

A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$30°$

3. C 解析:
∵ 四边形 ABCD 内接于半圆 O, $∠ C= 110°$,
∴ $∠ BAD= 180°-∠ C= 70°$.
∵ AD 是半圆 O 的直径,
∴ $∠ ABD= 90°$,
∴ $∠ ADB= 20°$.故选 C.

【分析】
解题时首先从已知条件入手：①四边形ABCD内接于圆，优先回忆圆内接四边形的性质：对角互补，已知∠C的度数，可先求出其对角∠BAD的度数；②AD是半圆的直径，结合圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得∠ABD=90°；最后在直角△ABD中，利用三角形内角和为180°，即可求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于半圆O，圆内接四边形的对角互补，且∠C=110°，
∴∠BAD = 180° - ∠C = 180° - 110° = 70°，
∵AD是半圆O的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴∠ABD = 90°，
在△ABD中，∠ADB = 180° - ∠ABD - ∠BAD = 180° - 90° - 70° = 20°。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理推论；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查圆相关性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质以及直径与圆周角的关系，快速建立角之间的数量关系求解。
【难度系数】
0.8

4. 如图，A,B,C,D四个点均在$\odot O$上，$∠ AOD=80°$，$AO// DC$，则$∠ BAO+∠ BCD$的度数为（）

A.$120°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$135°$

4. C 解析:连接 AD, 在等腰$△OAD$中,
∵ $∠ AOD= 80°$,
∴ $∠ OAD= 50°$.
∵ $∠ BAD+∠ BCD= 180°$,
∴ $∠ BAO+∠ BCD= 130°$,故选 C.

【分析】
要求∠BAO+∠BCD的度数，首先观察到A、B、C、D四点共圆，可利用圆内接四边形对角互补的性质得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BAD可拆分为∠BAO+∠OAD，因此只需算出∠OAD的度数即可求解。已知∠AOD=80°，OA、OD均为圆的半径，所以△OAD是等腰三角形，通过三角形内角和就能计算出∠OAD的度数，代入即可得到最终结果。
【解析】
连接AD，
∵ OA、OD都是⊙O的半径，
∴ OA=OD，△OAD为等腰三角形，
又
∵ ∠AOD=80°，
∴ ∠OAD=(180°-∠AOD)÷2=(180°-80°)÷2=50°。
∵ A、B、C、D四个点均在⊙O上，
∴ 四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质，对角互补，即∠BAD+∠BCD=180°。
又
∵ ∠BAD=∠BAO+∠OAD，
∴ ∠BAO+∠OAD+∠BCD=180°，
∴ ∠BAO+∠BCD=180°-∠OAD=180°-50°=130°。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质，圆内接四边形性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是合理作出辅助线AD，结合等腰三角形的内角计算和圆内接四边形对角互补的性质求解，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7

5. ★★★ (2024·广元中考)如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC = 128°，则∠CDE等于。

5. 64° 解析:$∠ ABC$ 是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角,$∠ AOC$ 是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角,且$∠ AOC= 128°$,
∴ $∠ ABC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×128°= 64°$,又
∵ 四边形 ABCD 是$\odot O$ 的内接四边形,
∴ $∠ ABC+∠ ADC= 180°$, 又
∵ $∠ CDE+∠ ADC= 180°$,
∴ $∠ CDE=∠ ABC= 64°$,故答案为$64°$.

【分析】
解题思路如下：第一步，已知圆心角∠AOC=128°，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可先求出弧AC所对的圆周角∠ABC的度数；第二步，利用圆内接四边形对角互补的性质，得到∠ABC与∠ADC的和为180°；第三步，∠CDE与∠ADC是邻补角，二者和也为180°，根据同角的补角相等，即可推出∠CDE与∠ABC相等，最终得到所求角度。
【解析】
∵∠AOC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，∠ABC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，
根据圆周角定理可得：$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×128°=64°$，
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ ABC+∠ ADC=180°$，
又
∵$∠ CDE+∠ ADC=180°$（邻补角的定义），
∴$∠ CDE=∠ ABC=64°$。
【答案】
$64°$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 圆内接四边形的性质
3. 同角的补角相等
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题，解题的核心是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质，通过补角的性质完成角度的转化，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.75

6. 如图,AB是半圆的直径,点O为圆心,C是半圆上的点,D是$\overset{\frown}{AC}$上的点.若$∠BOC=40°$,则$∠D$的度数为.

6. 110° 解析:因为$∠ BOC= 40°$,所以$∠ AOC= 140°$,所以$∠ D= 180°-\frac{1}{2}×140°= 110°$,故答案为$110°$.

【分析】
解题时先从已知的圆心角∠BOC出发，因为AB是半圆的直径，∠AOC与∠BOC组成平角，可先求出∠AOC的度数；再根据圆周角定理得到弧AC所对的圆周角度数，最后利用圆内接四边形对角互补的性质，就能求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵∠BOC=40°，∠AOC与∠BOC互为邻补角，
∴∠AOC=180°-40°=140°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，对角互补，且弧AC所对的圆周角为$\frac{1}{2}∠AOC$，
∴$∠ D=180°-\frac{1}{2}×140°=110°$。
【答案】
110°
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质基础应用题，解题核心是熟练掌握圆心角和圆周角的关系、圆内接四边形的对角互补性质，计算量小，掌握相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

7. ★★★ 如图，CD是$\odot O$的直径，四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ BDC = 15°$，则$∠ A$的度数是。

7. 105° 解析:因为 CD 是$\odot O$ 的直径,所以$∠ DBC= 90°$,因为$∠ BDC= 15°$,所以$∠ C= 75°$.因为四边形 ABCD 内接于$\odot O$,所以$∠ A= 180°-75°= 105°$.故答案为$105°$.

【分析】
解题时先梳理已知条件：首先看到CD是$\odot O$的直径，可联想到“直径所对的圆周角为直角”，得到$△ DBC$是直角三角形；结合已知的$∠ BDC=15°$，利用三角形内角和就能求出$∠ C$的度数；再根据圆内接四边形的对角互补的性质，$∠ A$与$∠ C$的和为$180°$，代入$∠ C$的数值即可求出$∠ A$的度数。
【解析】
解：$\because$CD是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ DBC=90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$△ DBC$中，$∠ BDC=15°$，
$\therefore ∠ C=180°-∠ DBC-∠ BDC=180°-90°-15°=75°$，
$\because$四边形ABCD内接于$\odot O$，
$\therefore ∠ A+∠ C=180°$（圆内接四边形对角互补），
$\therefore ∠ A=180°-75°=105°$。
【答案】
$105°$
【知识点】
圆周角定理推论、三角形内角和、圆内接四边形性质
【点评】
本题属于圆的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握直径所对圆周角的特征和圆内接四边形的性质，通过中间角$∠ C$建立已知条件和所求角的关联即可求解，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.75

8. 如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE=∠DAC.求证：DB=DC.

8.
∵ $∠ DAE$ 是 $\odot O$ 的内接四边形 ABCD 的一个外角,
∴ $∠ DAE+∠ BAD= 180°$.
∵ $∠ DCB+∠ BAD= 180°$,
∴ $∠ DAE=∠ DCB$.又 $∠ DAE=∠ DAC$,
∴ $∠ DCB=∠ DAC$. 又$∠ DAC=∠ DBC$,
∴ $∠ DCB=∠ DBC$,
∴ $DB= DC$.

【分析】
要证明DB=DC，可转化为证明△DBC中∠DCB=∠DBC，再利用等角对等边得到结论。首先结合圆内接四边形的性质，将外角∠DAE转化为和它相等的内对角∠DCB；再结合已知∠DAE=∠DAC，得到∠DCB=∠DAC；最后利用同弧所对的圆周角相等，推出∠DAC=∠DBC，通过等量代换即可得到∠DCB=∠DBC，完成证明。
【解析】
∵ ∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，
∴ ∠DAE + ∠BAD = 180°，
∵ 圆内接四边形对角互补，即∠DCB + ∠BAD = 180°，
∴ ∠DAE = ∠DCB，
又
∵ ∠DAE = ∠DAC，
∴ ∠DCB = ∠DAC，
∵ ∠DAC和∠DBC都是弧DC所对的圆周角，同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠DAC = ∠DBC，
∴ ∠DCB = ∠DBC，
∴ DB = DC。
【答案】
DB=DC
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础的圆几何证明题，解题核心是通过圆相关的角的性质完成等量代换，将证明边相等的问题转化为证明角相等，熟练掌握圆中角的相关性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8