1. 在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列条件能使菱形ABCD成为正方形的是()。

A.$∠ ABC=90°$
B.$AC=AD$
C.$BD=AB$
D.$OD=AC$

1.A

【分析】
解题首先要明确菱形和正方形的关联：正方形是特殊的菱形，菱形要成为正方形，只需满足两个条件之一即可，一是有一个内角为直角，二是对角线相等。接下来结合菱形的性质，逐一分析每个选项是否符合上述两个判定条件，就能得出正确答案。
【解析】
已知四边形ABCD是菱形，先明确菱形的基础性质：①四条边相等，即AB=BC=CD=DA；②属于平行四边形，具备平行四边形的所有性质；③对角线互相垂直平分。
菱形判定为正方形的定理：①有一个内角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形。
逐一分析选项：
A选项：若∠ABC=90°，菱形本身是平行四边形，有一个角为直角的平行四边形是矩形，此时ABCD既是菱形又是矩形，即为正方形，该选项符合要求。
B选项：若AC=AD，由菱形性质得AD=CD，因此AC=AD=CD，△ACD是等边三角形，可得∠ADC=60°，此时菱形内角为60°和120°，没有直角，不是正方形，该选项错误。
C选项：若BD=AB，由菱形性质得AB=AD，因此BD=AB=AD，△ABD是等边三角形，可得∠BAD=60°，此时菱形内角为60°和120°，没有直角，不是正方形，该选项错误。
D选项：若OD=AC，由菱形对角线平分的性质得OD=½BD，因此½BD=AC，即BD=2AC，菱形对角线不相等，不符合正方形判定条件，该选项错误。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；正方形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的性质与判定，核心是理清菱形和正方形的联系与区别，牢记菱形转化为正方形的两个判定条件即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 在四边形$ABCD$中，$∠ A=∠ B=∠ C=90°$，下列条件能使这个四边形是正方形的是()。

A.$∠ D=90°$
B.$AB=CD$
C.$BC=CD$
D.$AC=BD$

2.C

【分析】
解题时先从已知条件入手：已知四边形有三个内角为90°，结合四边形内角和为360°，可推出第四个角也为90°，因此该四边形首先是矩形；接下来要使矩形成为正方形，需要满足“有一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的判定条件，再逐一分析各选项是否符合上述条件即可得出答案。
【解析】
解：
∵ 四边形内角和为360°，且∠A=∠B=∠C=90°，
∴ ∠D=360° - 90°×3 = 90°，
∴ 四边形ABCD的四个角均为直角，即四边形ABCD是矩形。
要使矩形ABCD为正方形，需满足有一组邻边相等或对角线互相垂直：
选项A：∠D=90°是矩形本身已有的性质，无法判定为正方形，排除；
选项B：AB=CD是矩形对边相等的固有性质，无法判定为正方形，排除；
选项C：BC和CD是矩形的一组邻边，邻边相等的矩形是正方形，符合要求；
选项D：AC=BD是矩形对角线相等的固有性质，无法判定为正方形，排除。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定与性质；正方形的判定
【点评】
本题主要考查特殊四边形的判定，解题关键是先根据已知条件确定四边形为矩形，再结合正方形的判定条件筛选选项，掌握特殊四边形的判定定理是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8

3. 如图1-4-9,在平行四边形ABCD中,添加的下列条件中,能判定平行四边形ABCD是正方形的是()。

A.$AC=BD,AC ⊥ BD$
B.$AC=BD,∠ ABC=90°$
C.BD平分$∠ ABC,AB=BC$
D.$AB=BC,AC ⊥ BD$

3.A

【分析】
要判定平行四边形是正方形，需证明该平行四边形同时具备矩形和菱形的特征。我们先明确基础判定规则：平行四边形中，对角线相等或有一个内角为直角时可判定为矩形；对角线互相垂直或邻边相等时可判定为菱形，同时满足矩形、菱形判定条件的平行四边形就是正方形，据此逐一分析选项即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，逐一分析选项：
A选项：由AC=BD，可得对角线相等的平行四边形是矩形；由AC⊥BD，可得对角线互相垂直的平行四边形是菱形。该平行四边形既是矩形又是菱形，因此可判定为正方形，符合题意。
B选项：AC=BD可判定平行四边形是矩形，∠ABC=90°也只能判定平行四边形是矩形，两个条件均无法证明该平行四边形是菱形，因此不能判定为正方形，不符合题意。
C选项：BD平分∠ABC可推导得AB=AD，即邻边相等的平行四边形是菱形，AB=BC也只能判定平行四边形是菱形，两个条件均无法证明该平行四边形是矩形，因此不能判定为正方形，不符合题意。
D选项：AB=BC可判定平行四边形是菱形，AC⊥BD也只能判定平行四边形是菱形，两个条件均无法证明该平行四边形是矩形，因此不能判定为正方形，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
正方形的判定；平行四边形的性质；矩形与菱形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定逻辑，解题核心是明确正方形需同时满足矩形和菱形的判定要求，避免只满足其中一类图形的判定条件就误判。
【难度系数】
0.7

4. 如图1-4-10，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是形。

4. 正方

【分析】
要判断四边形EFGH的形状，我们可按“先判边的关系，再判角的特征”的思路推导：第一步，结合正方形四边相等、四角为直角的性质，以及E、F、G、H是各边中点的条件，可证明四个顶点处的小直角三角形全等，得到四边形EFGH四条边相等，先确定它是菱形；第二步，利用等腰直角三角形底角为45°的特征，计算出菱形的内角为90°，最后结合“有一个角是直角的菱形是正方形”的判定定理即可得出结论。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵E、F、G、H分别是正方形各边的中点
∴AE=EB=BF=FC=CG=GD=DH=HA
在△AEH和△BFE中：
$\{\begin{array}{l} AE=BF\\ ∠ A=∠ B\\ AH=BE\end{array} $
∴△AEH≌△BFE（SAS）
同理可证△BFE≌△CGF≌△DHG
∴EH=EF=FG=GH，即四边形EFGH是菱形
∵△AEH是等腰直角三角形，
∴∠AEH=45°，同理∠BEF=45°
∴∠HEF=180°-∠AEH-∠BEF=180°-45°-45°=90°
∴菱形EFGH是正方形
【答案】
正方
【知识点】
1.正方形的性质
2.正方形的判定
3.全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础的特殊四边形判定题，核心是通过正方形的已知性质推导待判定四边形的边、角特征，只要熟练掌握全等三角形判定、特殊四边形的判定定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.8

5. 如图1-4-11，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，∠1的度数应为。

5. $45°$

【分析】
解题时首先思考对折两次后剪下一个角得到的图形特征：两次对折后裁剪，所得四边形四条边长度相等，属于菱形；要让该菱形变为正方形，根据正方形判定定理，需要有一个内角为90°；再结合折叠的对称性，折叠状态下的∠1和展开后菱形的内角存在2倍关系，据此即可计算∠1的度数。
【解析】
1. 矩形纸片对折两次后剪下一个角，得到的四边形四条边均相等，因此该四边形是菱形；
2. 要使该菱形为正方形，需满足菱形有一个内角为90°；
3. 由折叠的对称性可知，展开后菱形的这个内角等于$2∠1$，因此列等式：
$2∠1=90°$
解得：$∠1=45°$
【答案】
$45°$
【知识点】
折叠的性质；正方形的判定；菱形的性质
【点评】
本题结合动手操作考查特殊四边形的判定与折叠的对称性，解题时可以通过实际动手折纸辅助理解裁剪后图形的特征，加深对折叠前后角度关系的认识。
【难度系数】
0.7

6. 如图1-4-12,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,$DE⊥ AC$,$DF⊥ AB$,垂足分别是点E,F,求证:四边形AEDF是正方形。 图1-4-12

6. 证明:如答图1-4-4,连接AD。
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=AC$,
∴$∠BAC=90°$。
∵D是BC边的中点,
∴AD是$∠BAC$的平分线。
∵$DE⊥AC$,$DF⊥AB$,
∴$DF=DE$,$∠DFA=∠DEA=90°$。
又
∵$∠BAC=90°$,
∴四边形AEDF是矩形。
又
∵$DF=DE$,
∴四边形AEDF是正方形。

【分析】
要证明四边形AEDF是正方形，可按照“先证矩形，再证一组邻边相等”的思路推导：首先观察已知条件，∠BAC是直角，且DE⊥AC、DF⊥AB，可先推出四边形AEDF有3个内角为直角，判定为矩形；接下来只需证明一组邻边相等即可，已知D是等腰直角△ABC斜边的中点，根据等腰三角形三线合一的性质可知AD是∠BAC的角平分线，再结合角平分线的性质即可得到DF=DE，即可证明矩形AEDF是正方形。
【解析】
证明：如答图1-4-4，连接AD。
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=AC$，
∴$∠BAC=90°$。
∵D是BC边的中点，
∴AD是$∠BAC$的平分线（等腰三角形三线合一）。
∵$DE⊥AC$，$DF⊥AB$，
∴根据角平分线的性质可得$DF=DE$，且$∠DFA=∠DEA=90°$。
又
∵$∠BAC=90°$，
∴四边形AEDF的三个内角均为直角，故四边形AEDF是矩形。
又
∵$DF=DE$，
∴邻边相等的矩形是正方形，即四边形AEDF是正方形。
【答案】
6. 证明:如答图1-4-4,连接AD。
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=AC$,
∴$∠BAC=90°$。
∵D是BC边的中点,
∴AD是$∠BAC$的平分线。
∵$DE⊥AC$,$DF⊥AB$,
∴$DF=DE$,$∠DFA=∠DEA=90°$。
又
∵$∠BAC=90°$,
∴四边形AEDF是矩形。
又
∵$DF=DE$,
∴四边形AEDF是正方形。

【知识点】
正方形的判定；等腰三角形三线合一；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是理清正方形的判定逻辑，结合已知的等腰三角形、角平分线的性质逐步推导，需要熟练掌握特殊四边形的判定定理。
【难度系数】
0.7

7. 如图1-4-13，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF。不添加新的点和线，请添加一个条件：，使得四边形AECF是正方形，并说明理由。

图1-4-13

7. 解:添加的条件是$∠EAF=90°$(答案不唯一)。理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AC⊥BD$,$OA=OC$,$OB=OD$。
∵$BE=DF$,
∴$OB-BE=OD-DF$,即$OE=OF$。
又
∵$OA=OC$,
∴四边形AECF是平行四边形。
又
∵$AC⊥BD$,
∴四边形AECF是菱形。
又
∵$∠EAF=90°$,
∴四边形AECF是正方形。

【分析】
要确定添加的条件使四边形AECF是正方形，可先推导已知条件能得到的结论：首先菱形ABCD的对角线互相垂直平分，结合BE=DF可推出OE=OF，因此四边形AECF对角线互相平分，已经是平行四边形；又因为AC⊥BD，所以平行四边形AECF已经是菱形。根据正方形的判定规则，要使菱形变为正方形，只需添加“有一个内角为直角”或“对角线相等”这类条件即可，例如添加∠EAF=90°就符合要求。
【解析】
解：添加的条件是$∠EAF=90°$（答案不唯一）。理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AC⊥BD$，$OA=OC$，$OB=OD$。
∵$BE=DF$，
∴$OB-BE=OD-DF$，即$OE=OF$。
又
∵$OA=OC$，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又
∵$AC⊥BD$，
∴平行四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
又
∵$∠EAF=90°$，
∴菱形AECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。
【答案】
$∠EAF=90°$（答案不唯一）
【知识点】
菱形的性质与判定；正方形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题是开放性试题，需要结合特殊平行四边形的判定逻辑推导所需条件，解题的关键是先通过已知条件确定四边形AECF已满足的性质，再补充缺少的正方形判定条件，能有效考查对特殊四边形相关定理的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7