1.(2024·庆阳期中)下面关于等边三角形的说法中,不正确的是 ()

A.等边三角形的三边都相等
B.等边三角形的三个内角都是 $60°$
C.等边三角形有三条对称轴
D.等腰三角形具有等边三角形的性质

1.D

【分析】
这道题考查等边三角形的相关性质，以及等边三角形和等腰三角形的从属关系，解题时需逐一判断每个选项的正误，最终选出说法不正确的选项。首先回忆等边三角形的定义、内角特点、对称轴数量，再明确等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形具备等腰三角形的所有性质，但等腰三角形不具备等边三角形的特殊性质，据此即可判断各选项对错。
【解析】
逐个分析选项：
A选项：根据等边三角形的定义，等边三角形的三条边长度都相等，该说法正确，不符合题意；
B选项：三角形内角和为180°，等边三角形三个内角相等，因此每个内角为$180°÷3=60°$，该说法正确，不符合题意；
C选项：等边三角形每条边上的高（同时是对应边的中线、对应顶角的角平分线）所在的直线都是它的对称轴，共3条，该说法正确，不符合题意；
D选项：等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形具有等腰三角形的所有性质，但普通等腰三角形仅满足两边相等、两底角相等，不具备等边三角形“三边相等、三个内角都是$60°$”等特殊性质，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；轴对称图形
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对等边三角形、等腰三角形性质的区分，解题时要注意二者的从属关系，避免记反二者的性质包含关系，同时要注意题干要求选择“不正确”的选项，避免因审题粗心失分。
【难度系数】
0.8

2.(2025·吕梁期末)如图,在等边三角形ABC中,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,则∠BOC=。

2.120°

【分析】
解题时首先回忆等边三角形的相关性质：等边三角形三个内角均为60°，且底边上的高、顶角的角平分线、底边上的中线三线重合。本题中BD、CE分别是等边三角形AC、AB边上的高，因此也分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，可先求出△BOC中两个底角的度数，再结合三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，根据等边三角形三线合一的性质，
∴BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠OBC=½∠ABC=30°，∠OCB=½∠ACB=30°，
在△BOC中，由三角形内角和为180°可得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-30°-30°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
等边三角形的性质，三角形内角和定理，三线合一
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是熟练运用等边三角形三线合一的性质得到相关角的度数，再结合三角形内角和定理求解，掌握等边三角形的基本性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8

3.(手拉手模型)如图,已知$△ ABC$与$△ ADE$为等边三角形,$D$为$BC$延长线上的一点.求证:(1)$△ ABD≌△ ACE$；(2)$CE$平分$∠ ACD$.

3.(1)$\because △ ABC$ 与 $△ ADE$ 为等边三角形, $\therefore AB=AC,AD=AE,∠ DAE = ∠ BAC=∠ ACB=∠ B=60°, \therefore ∠ DAE + ∠ CAD = ∠ BAC + ∠ CAD$ ,即 $∠ BAD = ∠ CAE$,在 $△ ABD$ 和 $△ ACE$ 中, $\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$ $\therefore △ ABD ≌ △ ACE$ (SAS)
(2) $\because △ ABD ≌ △ ACE, \therefore ∠ ACE = ∠ B=60°, \because ∠ ACB=60°, \therefore ∠ ECD=180°-60°-60°=60°, \therefore ∠ ACE = ∠ DCE, \therefore CE$ 平分 $∠ ACD$

【分析】
(1)要证明△ABD≌△ACE，首先结合已知的两个等边三角形，可得到AB=AC、AD=AE两组等边，接下来找两边的夹角相等：∠BAD和∠CAE均为60°加上公共角∠CAD，因此两角相等，满足SAS全等判定的条件即可证明全等。
(2)要证明CE平分∠ACD，需证∠ACE=∠DCE。可先利用第一问全等的性质得到∠ACE=∠B=60°，再结合平角为180°，用180°减去∠ACB和∠ACE的度数，得到∠DCE也为60°，即可证明两个角相等，推出CE是角平分线。
【解析】
(1)
∵△ABC与△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC=∠ACB=∠B=60°，
∴∠DAE + ∠CAD = ∠BAC + ∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
(2)
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠B=60°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=180°-60°-60°=60°，
∴∠ACE=∠DCE，
∴CE平分∠ACD。
【答案】
(1)△ABD≌△ACE；
(2)CE平分∠ACD。
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定
【点评】
这是等边三角形与全等三角形结合的经典手拉手模型题型，解题核心是利用等边三角形的性质推导全等所需的边角等量关系，再结合全等性质计算角的度数完成证明，整体思路清晰，是几何证明的基础题型，需熟练掌握此类模型的解题方法。
【难度系数】
0.75

4.在下列结论中:①有一个外角是$120°$的等腰三角形是等边三角形;②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形;③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形;④三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确是.

4.①④

【分析】
本题考查等边三角形的判定，解题时需结合等腰三角形的性质、三角形外角的性质，逐一验证4个结论是否满足等边三角形的判定条件即可。首先回忆相关性质：等腰三角形底角相等、三线合一，三角形外角和为360°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，三个角都为60°的三角形是等边三角形。
【解析】
我们逐个分析每个结论：
1. 对于结论①：一个外角是120°，则对应的内角为$180°-120°=60°$，根据等边三角形判定定理，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，因此①正确。
2. 对于结论②：等腰三角形的两个底角本身相等，因此两个底角的外角天然相等，比如顶角为90°的等腰直角三角形，两个底角的外角都是135°，但它不是等边三角形，因此②错误。
3. 对于结论③：普通等腰三角形底边上的高同时也是底边上的中线，这是等腰三角形“三线合一”的基本性质，因此只要是等腰三角形就满足该条件，不一定是等边三角形，因此③错误。
4. 对于结论④：三角形外角和为$360°$，若三个外角都相等，则每个外角为$360°÷3=120°$，对应的每个内角都是$180°-120°=60°$，三个内角都是60°的三角形是等边三角形，因此④正确。
【答案】
①④
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题的易错点是混淆普通等腰三角形和等边三角形的性质，普通等腰三角形已具备的性质不能作为等边三角形的判定依据，解题时要紧扣等边三角形的特殊判定条件分析，避免误判②③这两个易混结论。
【难度系数】
0.7

5.(2025·鹤壁期末)如图,在$△ ABC$中,D是BC的中点,$AD⊥ BC$.若添加一个条件可以证明$△ ABC$是等边三角形,则这个条件可以是 ()


A.$∠ B=60°$
B.$∠ BAD=30°$
C.$AB=BC$
D.以上都可以

5.D

【分析】
首先根据已知条件“D是BC中点，AD⊥BC”，可推出AD是BC的垂直平分线，由垂直平分线的性质得AB=AC，即△ABC是等腰三角形。接下来要判定等腰△ABC为等边三角形，可依据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”“三边相等的三角形是等边三角形”两个判定定理，逐一验证每个选项是否满足要求即可。
【解析】
解：已知D是BC的中点，且AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质，得AB=AC，即△ABC为等腰三角形。
对选项A：若∠B=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△ABC是等边三角形，A符合要求；
对选项B：若∠BAD=30°，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴∠B=90°-∠BAD=60°，同理可得△ABC是等边三角形，B符合要求；
对选项C：若AB=BC，结合已证的AB=AC，可得AB=AC=BC，根据“三边相等的三角形是等边三角形”，可判定△ABC是等边三角形，C符合要求。
综上，选项A、B、C的条件都可以证明△ABC是等边三角形，故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定、直角三角形的性质
【点评】
本题将垂直平分线性质、等腰三角形性质与等边三角形判定结合考查，解题的关键是先由已知推出△ABC是等腰三角形，再结合等边三角形的判定定理逐一验证选项，注重对基础判定定理的应用。
【难度系数】
0.7

6.(教材P82例4变式)如图,已知D为BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F为垂足,且BE=CF,∠BDE=30°,求证:△ABC是等边三角形.

6.$\because D$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore BD=CD, \because DE ⊥ AB, DF ⊥ AC, \therefore △ BED$ 和 $△ CFD$ 都是直角三角形,在 $\mathrm{Rt}△ BED$ 和 $\mathrm{Rt}△ CFD$ 中, $BD=CD, BE=CF, \therefore \mathrm{Rt}△ BED ≌ \mathrm{Rt}△ CFD(\mathrm{HL}), \therefore ∠ B=∠ C, \therefore AB=AC. \because ∠ BDE=30°, DE ⊥ AB, \therefore ∠ B=60°, \therefore △ ABC$ 是等边三角形

【分析】
要证明△ABC是等边三角形，可先证明它是等腰三角形，再证明其有一个内角为60°即可。首先由D是BC中点可得BD=CD，结合DE⊥AB、DF⊥AC，可知△BED和△CFD都是直角三角形，结合已知BE=CF，可通过HL定理判定两个直角三角形全等，进而得到∠B=∠C，推出AB=AC，即△ABC是等腰三角形；再根据直角三角形两锐角互余，由∠BDE=30°算出∠B=60°，最后根据等边三角形的判定定理即可得证。
【解析】
证明：
∵ D是BC的中点，
∴ BD=CD，
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ △BED和△CFD都是直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ BED$和$\mathrm{Rt}△ CFD$中，
$\begin{cases} BD=CD \\ BE=CF \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BED ≌ \mathrm{Rt}△ CFD(\mathrm{HL})$，
∴ ∠B=∠C，
∴ AB=AC，即△ABC为等腰三角形，
∵ ∠BDE=30°，DE⊥AB，
∴ ∠B=90°-30°=60°，
∴ △ABC是等边三角形。
【答案】
△ABC是等边三角形
【知识点】
直角三角形全等的判定；等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，将全等三角形的判定与特殊三角形的判定结合考查，解题的关键是先通过全等得到角相等，推出三角形为等腰三角形，再结合角度条件完成等边三角形的判定，需熟练掌握各类特殊三角形的判定定理。
【难度系数】
0.7