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8.如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是 （
A.两点之间线段最短
B.三角形具有稳定性
C.经过两点有且只有一条直线
D.垂线段最短
B
）A.两点之间线段最短
B.三角形具有稳定性
C.经过两点有且只有一条直线
D.垂线段最短
答案
8.B
解析
【分析】
解题时首先观察人字梯加装拉杆后的结构：拉杆和人字梯的两条侧边共同围成了三角形结构，接下来回忆三角形的独有特性——稳定性，该特性可以让结构不易变形，提升安全性。再逐一分析各选项的适用场景，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
人字梯的两条侧边与中间加装的拉杆可构成三角形结构，三角形具有稳定性，不易变形的特点能够避免梯子使用时发生形变、侧滑，提升使用安全性。
对各选项分析如下：
A. 两点之间线段最短，多用于解释路径最短类问题，与结构稳固无关，不符合题意；
B. 三角形具有稳定性，符合拉杆提升梯子安全性的原理，符合题意；
C. 经过两点有且只有一条直线，多用于解释固定直线的相关场景，不符合题意；
D. 垂线段最短，是点到直线的距离相关性质，与本题无关，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是几何性质在实际生活中的应用类题目，只要掌握常见几何性质的应用场景，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察人字梯加装拉杆后的结构：拉杆和人字梯的两条侧边共同围成了三角形结构，接下来回忆三角形的独有特性——稳定性，该特性可以让结构不易变形，提升安全性。再逐一分析各选项的适用场景，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
人字梯的两条侧边与中间加装的拉杆可构成三角形结构，三角形具有稳定性，不易变形的特点能够避免梯子使用时发生形变、侧滑，提升使用安全性。
对各选项分析如下：
A. 两点之间线段最短，多用于解释路径最短类问题，与结构稳固无关，不符合题意；
B. 三角形具有稳定性，符合拉杆提升梯子安全性的原理，符合题意；
C. 经过两点有且只有一条直线，多用于解释固定直线的相关场景，不符合题意；
D. 垂线段最短，是点到直线的距离相关性质，与本题无关，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是几何性质在实际生活中的应用类题目，只要掌握常见几何性质的应用场景，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
9. 下列图形具有稳定性的是 （
A
）答案
9.A
解析
【分析】
解题的核心依据是“三角形具有稳定性，四边形及其他非三角形的多边形不具有稳定性”。思考步骤：首先明确稳定性的判断规则，再逐一分析每个选项的图形结构，看是否由三角形构成，或是否存在易变形的四边形结构，即可得出结论。
【解析】
我们已知：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。
选项A：长方形被对角线分割为2个三角形，整个图形由三角形构成，因此具有稳定性；
选项B：图形由2个长方形（属于四边形）组成，四边形易变形，因此不具有稳定性；
选项C：图形下方为长方形（四边形），四边形不稳定，因此整个图形不具有稳定性；
选项D：平行四边形属于四边形，不具有稳定性。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的稳定性、四边形的不稳定性
【点评】
本题属于基础性考题，主要考查三角形稳定性的应用，牢记三角形具有稳定性、四边形不具有稳定性的特点就能快速解答。
【难度系数】
0.9
解题的核心依据是“三角形具有稳定性，四边形及其他非三角形的多边形不具有稳定性”。思考步骤：首先明确稳定性的判断规则，再逐一分析每个选项的图形结构，看是否由三角形构成，或是否存在易变形的四边形结构，即可得出结论。
【解析】
我们已知：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。
选项A：长方形被对角线分割为2个三角形，整个图形由三角形构成，因此具有稳定性；
选项B：图形由2个长方形（属于四边形）组成，四边形易变形，因此不具有稳定性；
选项C：图形下方为长方形（四边形），四边形不稳定，因此整个图形不具有稳定性；
选项D：平行四边形属于四边形，不具有稳定性。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的稳定性、四边形的不稳定性
【点评】
本题属于基础性考题，主要考查三角形稳定性的应用，牢记三角形具有稳定性、四边形不具有稳定性的特点就能快速解答。
【难度系数】
0.9
10.(易错题)如图，点E在AC上，已知AB=AD，BE=DE，BC=DC，则图中的全等三角形有（
A.0对
B.1对
C.2对
D.3对
(第10题图)
(第11题图)
D
）A.0对
B.1对
C.2对
D.3对
(第10题图)
(第11题图)
答案
10.D
解析
【分析】
本题考查全等三角形的判定，解题时可结合已知的边相等的条件，搭配公共边，用“SSS”判定定理逐一排查全等三角形：先看包含公共边AC的大三角形，再看包含公共边AE、CE的小三角形，按顺序排查避免遗漏。
【解析】
我们逐一判定全等三角形：
1. 在$△ ABC$和$△ ADC$中，$\{\begin{array}{l}AB=AD\\ BC=DC\\ AC=AC(\mathrm{公共边})\end{array} $，根据SSS判定定理，可得$△ ABC≌△ ADC$；
2. 在$△ ABE$和$△ ADE$中，$\{\begin{array}{l}AB=AD\\ BE=DE\\ AE=AE(\mathrm{公共边})\end{array} $，根据SSS判定定理，可得$△ ABE≌△ ADE$；
3. 在$△ BCE$和$△ DCE$中，$\{\begin{array}{l}BC=DC\\ BE=DE\\ CE=CE(\mathrm{公共边})\end{array} $，根据SSS判定定理，可得$△ BCE≌△ DCE$。
综上，全等三角形共有3对。
【答案】
D
【知识点】
SSS判定全等、全等三角形识别、公共边的应用
【点评】
本题属于易错题，解题时容易因漏找全等三角形丢分，建议按从大到小或从小到大的顺序逐一排查三角形，结合已知条件和公共边验证全等，熟练掌握SSS判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查全等三角形的判定，解题时可结合已知的边相等的条件，搭配公共边，用“SSS”判定定理逐一排查全等三角形：先看包含公共边AC的大三角形，再看包含公共边AE、CE的小三角形，按顺序排查避免遗漏。
【解析】
我们逐一判定全等三角形：
1. 在$△ ABC$和$△ ADC$中，$\{\begin{array}{l}AB=AD\\ BC=DC\\ AC=AC(\mathrm{公共边})\end{array} $，根据SSS判定定理，可得$△ ABC≌△ ADC$；
2. 在$△ ABE$和$△ ADE$中，$\{\begin{array}{l}AB=AD\\ BE=DE\\ AE=AE(\mathrm{公共边})\end{array} $，根据SSS判定定理，可得$△ ABE≌△ ADE$；
3. 在$△ BCE$和$△ DCE$中，$\{\begin{array}{l}BC=DC\\ BE=DE\\ CE=CE(\mathrm{公共边})\end{array} $，根据SSS判定定理，可得$△ BCE≌△ DCE$。
综上，全等三角形共有3对。
【答案】
D
【知识点】
SSS判定全等、全等三角形识别、公共边的应用
【点评】
本题属于易错题，解题时容易因漏找全等三角形丢分，建议按从大到小或从小到大的顺序逐一排查三角形，结合已知条件和公共边验证全等，熟练掌握SSS判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
11. 整体思想 新理念 如图，已知 $ AB = DE $，$ BC = AE $，连接 $ AC $，$ AD $，且 $ AC = AD $。若 $ ∠ CAD = 60° $，$ ∠ E = 115° $，则 $ ∠ BAE $ 的度数为
125°
。答案
11. 125°
解析
【分析】
解题时首先根据已知的三组边相等的条件，用SSS判定定理证明△ABC和△DEA全等，得到对应角∠BAC=∠ADE；再在△ADE中利用三角形内角和求出∠ADE与∠DAE的度数和，通过等量代换得到∠BAC与∠DAE的度数和；最后结合已知的∠CAD=60°，将三部分角度相加即可求出∠BAE的度数。
【解析】
在$△ ABC$和$△ DEA$中：
$\begin{cases}AB=DE\\BC=AE\\AC=AD\end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ DEA(\mathrm{SSS})$，可得$∠ BAC=∠ ADE$。
在$△ ADE$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ADE+∠ DAE=180°-∠ E=180°-115°=65°$
结合$∠ BAC=∠ ADE$，等量代换得：
$∠ BAC+∠ DAE=65°$
因此$∠ BAE=∠ BAC+∠ CAD+∠ DAE=65°+60°=125°$。
【答案】
$125°$
【知识点】
SSS证三角形全等，三角形内角和定理，角度和差计算
【点评】
本题属于全等三角形与角度计算的综合基础题，解题核心是通过全等三角形实现角度的等量代换，结合整体思想简化计算，是全等三角形应用的典型考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知的三组边相等的条件，用SSS判定定理证明△ABC和△DEA全等，得到对应角∠BAC=∠ADE；再在△ADE中利用三角形内角和求出∠ADE与∠DAE的度数和，通过等量代换得到∠BAC与∠DAE的度数和；最后结合已知的∠CAD=60°，将三部分角度相加即可求出∠BAE的度数。
【解析】
在$△ ABC$和$△ DEA$中：
$\begin{cases}AB=DE\\BC=AE\\AC=AD\end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ DEA(\mathrm{SSS})$，可得$∠ BAC=∠ ADE$。
在$△ ADE$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ADE+∠ DAE=180°-∠ E=180°-115°=65°$
结合$∠ BAC=∠ ADE$，等量代换得：
$∠ BAC+∠ DAE=65°$
因此$∠ BAE=∠ BAC+∠ CAD+∠ DAE=65°+60°=125°$。
【答案】
$125°$
【知识点】
SSS证三角形全等，三角形内角和定理，角度和差计算
【点评】
本题属于全等三角形与角度计算的综合基础题，解题核心是通过全等三角形实现角度的等量代换，结合整体思想简化计算，是全等三角形应用的典型考题。
【难度系数】
0.7
12.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F分别在AB,AD上,AE=AF,CE=CF.
(1)求证:∠BCE=∠DCF;
(2)若AE=8,CD=6,求四边形AECF的面积.
(1)求证:∠BCE=∠DCF;
(2)若AE=8,CD=6,求四边形AECF的面积.
答案
12.(1)证明:连接AC.在△ACE和△ACF中,
∵$\begin{cases} AE=AF, \\ CE=CF, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ACE≌△ACF(SSS).
∴∠AEC=∠AFC.
∵∠B=∠D,
∴∠AEC-∠B=∠AFC-∠D,即∠BCE=∠DCF.(2)解:由(1),得△ACE≌△ACF,
∴AF=AE=8,$S_{△ ACE}=S_{△ ACF}$.
∵CD=6,
∴$S_{△ ACF}=\frac{1}{2}AF·CD=24$.
∴$S_{四边形AECF}=S_{△ ACE}+S_{△ ACF}=2S_{△ ACF}=48$.
∵$\begin{cases} AE=AF, \\ CE=CF, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ACE≌△ACF(SSS).
∴∠AEC=∠AFC.
∵∠B=∠D,
∴∠AEC-∠B=∠AFC-∠D,即∠BCE=∠DCF.(2)解:由(1),得△ACE≌△ACF,
∴AF=AE=8,$S_{△ ACE}=S_{△ ACF}$.
∵CD=6,
∴$S_{△ ACF}=\frac{1}{2}AF·CD=24$.
∴$S_{四边形AECF}=S_{△ ACE}+S_{△ ACF}=2S_{△ ACF}=48$.
解析
【分析】
(1)要证明∠BCE=∠DCF，已知AE=AF、CE=CF，AC是△ACE和△ACF的公共边，可先连接AC，通过SSS判定证明△ACE≌△ACF，得到对应角∠AEC=∠AFC，再结合∠B和∠D都是直角，利用角的差的关系即可推出待证角相等。
(2)求四边形AECF的面积，由(1)的全等可知两个三角形面积相等，因此四边形面积等于2倍的△ACF的面积；△ACF中AF等于AE=8，高为CD=6（因为∠D是直角，CD垂直于AD），代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
(1)证明：连接AC.
在△ACE和△ACF中，
$\begin{cases} AE=AF, \\ CE=CF, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ACE≌△ACF(SSS)，
∴∠AEC=∠AFC。
∵∠B=∠D=90°，
∴∠AEC-∠B=∠AFC-∠D，即∠BCE=∠DCF。
(2)解：由(1)得△ACE≌△ACF，
∴AF=AE=8，$S_{△ ACE}=S_{△ ACF}$。
∵∠D=90°，CD=6，
∴$S_{△ ACF}=\frac{1}{2} × AF × CD=\frac{1}{2} × 8 × 6=24$，
∴$S_{四边形AECF}=S_{△ ACE}+S_{△ ACF}=2S_{△ ACF}=2 × 24=48$。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)48
【知识点】
1. SSS判定三角形全等 2. 全等三角形的性质 3. 图形面积计算
【点评】
本题核心考查全等三角形的判定与性质的应用，构造公共边作为辅助线是解题的突破口，既要求学生熟练掌握全等三角形的判定定理，也需要能够灵活转化图形面积的计算方式，属于几何基础综合题。
【难度系数】
0.7
(1)要证明∠BCE=∠DCF，已知AE=AF、CE=CF，AC是△ACE和△ACF的公共边，可先连接AC，通过SSS判定证明△ACE≌△ACF，得到对应角∠AEC=∠AFC，再结合∠B和∠D都是直角，利用角的差的关系即可推出待证角相等。
(2)求四边形AECF的面积，由(1)的全等可知两个三角形面积相等，因此四边形面积等于2倍的△ACF的面积；△ACF中AF等于AE=8，高为CD=6（因为∠D是直角，CD垂直于AD），代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
(1)证明：连接AC.
在△ACE和△ACF中，
$\begin{cases} AE=AF, \\ CE=CF, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ACE≌△ACF(SSS)，
∴∠AEC=∠AFC。
∵∠B=∠D=90°，
∴∠AEC-∠B=∠AFC-∠D，即∠BCE=∠DCF。
(2)解：由(1)得△ACE≌△ACF，
∴AF=AE=8，$S_{△ ACE}=S_{△ ACF}$。
∵∠D=90°，CD=6，
∴$S_{△ ACF}=\frac{1}{2} × AF × CD=\frac{1}{2} × 8 × 6=24$，
∴$S_{四边形AECF}=S_{△ ACE}+S_{△ ACF}=2S_{△ ACF}=2 × 24=48$。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)48
【知识点】
1. SSS判定三角形全等 2. 全等三角形的性质 3. 图形面积计算
【点评】
本题核心考查全等三角形的判定与性质的应用，构造公共边作为辅助线是解题的突破口，既要求学生熟练掌握全等三角形的判定定理，也需要能够灵活转化图形面积的计算方式，属于几何基础综合题。
【难度系数】
0.7
13.已知在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，O为AC上的一点，过点O的直线分别交直线AD，BC于点E，F。
(1)如图①，若点E，F分别在AD，BC上，求证：∠AEF=∠CFE；
(2)如图②，若点E，F分别在AD，CB的延长线上，(1)中的结论是否仍成立？请证明你的结论。
(1)如图①，若点E，F分别在AD，BC上，求证：∠AEF=∠CFE；
(2)如图②，若点E，F分别在AD，CB的延长线上，(1)中的结论是否仍成立？请证明你的结论。
答案
13.(1)证明:在△ABC和△CDA中,
∵$\begin{cases} AB=CD, \\ BC=DA, \\ AC=CA, \end{cases}$
∴△ABC≌△CDA(SSS).
∴∠BCA=∠DAC.
∴AD//BC.
∴∠AEF=∠CFE.(2)解:仍成立.证明如下:同(1),得AD//BC,即AE//CF,
∴∠AEF=∠CFE.
∵$\begin{cases} AB=CD, \\ BC=DA, \\ AC=CA, \end{cases}$
∴△ABC≌△CDA(SSS).
∴∠BCA=∠DAC.
∴AD//BC.
∴∠AEF=∠CFE.(2)解:仍成立.证明如下:同(1),得AD//BC,即AE//CF,
∴∠AEF=∠CFE.
解析
【分析】
解题时先从已知边相等的条件入手：(1)要证∠AEF=∠CFE，可先推导AD与BC的平行关系，首先AC是两个三角形的公共边，结合已知AB=CD、AD=BC，可通过SSS判定△ABC和△CDA全等，得到对应内错角∠BCA=∠DAC，即可推出AD//BC，再根据平行线的内错角相等，就能得到要证的角相等。(2)第二问中点E、F在边的延长线上，但△ABC和△CDA的全等关系不变，AD//BC的结论仍然成立，因此平行线的性质依然适用，(1)的结论仍然成立。
【解析】
(1)证明：在△ABC和△CDA中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ BC=DA, \\ AC=CA, \end{cases}$
∴△ABC≌△CDA(SSS)，
∴∠BCA=∠DAC，
∴AD//BC，
根据两直线平行，内错角相等，可得∠AEF=∠CFE。
(2)解：(1)中的结论仍成立，证明如下：
同(1)可证△ABC≌△CDA，得AD//BC，即AE//CF，
根据两直线平行，内错角相等，可得∠AEF=∠CFE。
【答案】
(1)∠AEF=∠CFE，成立；
(2)(1)中的结论仍成立。
【知识点】
SSS判定全等三角形；平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题是全等三角形与平行线的综合基础题，解题核心是先通过三边相等证明三角形全等，得到直线平行的关系，再利用平行线的性质推导角的等量关系，第二问注意不要被图形中延长线的形式干扰，平行关系不变时对应角的关系也不变。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知边相等的条件入手：(1)要证∠AEF=∠CFE，可先推导AD与BC的平行关系，首先AC是两个三角形的公共边，结合已知AB=CD、AD=BC，可通过SSS判定△ABC和△CDA全等，得到对应内错角∠BCA=∠DAC，即可推出AD//BC，再根据平行线的内错角相等，就能得到要证的角相等。(2)第二问中点E、F在边的延长线上，但△ABC和△CDA的全等关系不变，AD//BC的结论仍然成立，因此平行线的性质依然适用，(1)的结论仍然成立。
【解析】
(1)证明：在△ABC和△CDA中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ BC=DA, \\ AC=CA, \end{cases}$
∴△ABC≌△CDA(SSS)，
∴∠BCA=∠DAC，
∴AD//BC，
根据两直线平行，内错角相等，可得∠AEF=∠CFE。
(2)解：(1)中的结论仍成立，证明如下：
同(1)可证△ABC≌△CDA，得AD//BC，即AE//CF，
根据两直线平行，内错角相等，可得∠AEF=∠CFE。
【答案】
(1)∠AEF=∠CFE，成立；
(2)(1)中的结论仍成立。
【知识点】
SSS判定全等三角形；平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题是全等三角形与平行线的综合基础题，解题核心是先通过三边相等证明三角形全等，得到直线平行的关系，再利用平行线的性质推导角的等量关系，第二问注意不要被图形中延长线的形式干扰，平行关系不变时对应角的关系也不变。
【难度系数】
0.8
