1[中]已知$a,b$为常数,若$ax+b＞0$的解集是$x＜\frac{1}{3}$,则$bx-a＜0$的解集是（）

A.$x＞3$
B.$x＜3$
C.$x＞-3$
D.$x＜-3$

1.D 【解析】因为 ax+b＞0 的解集是 $x＜\frac{1}{3}$,所以 a＜0 且 $-\frac{b}{a}=\frac{1}{3}$,所以 a=-3b＜0,所以 b＞0.因为 bx-a＜0,所以 bx＜a,所以 bx＜-3b,所以 x＜-3.故选 D.

2[2025浙江宁波质检,中]若实数$m$的两个平方根是$3a-22$和$2a-3$,且$t=\sqrt{m}$,则不等式$\frac{2x-t}{3}-\frac{3x-t}{2}≥\frac{5}{12}$的解集为（）

A.$x≥\frac{9}{10}$
B.$x≤\frac{9}{10}$
C.$x≥\frac{8}{11}$
D.$x≤\frac{8}{11}$

2.B 【解析】因为实数 m 的两个平方根是 3a-22 和 2a-3,所以 3a-22+2a-3=0,解得 a=5,所以 2a-3=7,所以 m=49,所以 $t=\sqrt{m}=7$.因为 $\frac{2x-t}{3}-\frac{3x-t}{2}≥\frac{5}{12}$,所以 $\frac{2x-7}{3}-\frac{3x-7}{2}≥\frac{5}{12}$,解得 $x≤\frac{9}{10}$,故选 B.

3[中]不等式$\frac{x-2}{3}-(x) ≤ 1$中“*”处的数字和符号被墨水污染，淇淇查看到该不等式的解集为$x ≥ -1$，则被墨水污染部分的内容为（）

A.+1
B.$-\frac{2}{3}$
C.-1
D.$+\frac{5}{2}$
$△ a$

3.C 【解析】设被墨水污染部分的内容为+m,则原不等式为 $\frac{x-2}{3}-(x+m)≤1$,$x-2-3(x+m)≤3$,$x-2-3x-3m≤3$,$x-3x≤3+2+3m$,$-2x≤5+3m$,所以 $x≥-\frac{5+3m}{2}$.因为不等式的解集为 x≥-1,所以 $-\frac{5+3m}{2}=-1$,解得 m=-1,所以被墨水污染部分的内容为-1.

4[2026浙江杭州期中,中]我们规定：的运算法则为 = $a - b × c$，例如： = $1 - 2 × 3 = -5$.
(1)填空：若 = $0$，则$x =$ ；若 $＞ 0$，则$x$的取值范围为.
(2)若 = $k$，$x + y ≥ 0$，求实数$k$的取值范围.
$k$的取值范围.

(1)因为=0,所以-x-0.5(2x-1)=0,解得 x=0.25.
因为＞0,所以 3x-2(x+1)＞0,解得 x＞2.故答案为 0.25,x＞2.
(2)因为=k,所以 $\begin{cases}2y-x=k,\\3x-1-2(1+y)=k,\end{cases}$解得 $\begin{cases}x=k+\frac{3}{2},\\y=k+\frac{3}{4}.\end{cases}$因为 x+y≥0,所以 $(k+\frac{3}{2})+(k+\frac{3}{4})≥0$,解得 $k≥-\frac{9}{8}$.

5[较难]我们定义,关于同一个未知数的不等式A和B,若两个不等式的解集相同,则称A与B为同解不等式.
(1)若关于x的不等式$A:1-3x＞0$,不等式$B:\frac{3x+a}{2}＜1$是同解不等式,求a的值;
(2)若关于x的不等式$C:x+1＞mn$,不等式$D:x-3＞m$是同解不等式,其中m,n是正整数,求m,n的值;
(3)若关于x的不等式$P:(2a-b)x+3a-4b＜0$,不等式$Q:\frac{14x-1}{2}＞\frac{7}{2}-2x$是同解不等式,试求关于x的不等式$(a-4b)x+2a-3b＜0$的解集.

(1)解关于 x 的不等式 A:1-3x＞0,得 $x＜\frac{1}{3}$;
解关于 x 的不等式 B:$\frac{3x+a}{2}＜1$,得 $x＜\frac{2-a}{3}$.
由题意得 $\frac{1}{3}=\frac{2-a}{3}$,解得 a=1.
(2)解关于 x 的不等式 C:x+1＞mn,得 x＞mn-1;
解关于 x 的不等式 D:x-3＞m,得 x＞m+3,所以 mn-1=m+3.易知 n≠1,所以 $m=\frac{4}{n-1}$.
因为 m,n 是正整数,所以 n-1 为 1 或 4 或 2,
所以 m=4,n=2 或 m=1,n=5 或 m=2,n=3.
(3)解不等式 Q:$\frac{14x-1}{2}＞\frac{7}{2}-2x$,得 $x＞\frac{4}{9}$.
因为不等式 P 和不等式 Q 是同解不等式,
所以解关于 x 的不等式 P:(2a-b)x+3a-4b＜0,得 $x＞\frac{4b-3a}{2a-b}(2a-b＜0)$,所以 $\frac{4b-3a}{2a-b}=\frac{4}{9}$,
所以 7a=8b,所以 $b=\frac{7}{8}a$.
因为 2a-b＜0,所以 $2a-\frac{7}{8}a＜0$,
所以 a＜0,所以 $a-4b=-\frac{5}{2}a＞0$,
所以关于 x 的不等式 (a-4b)x+2a-3b＜0 的解集为 $x＜-\frac{1}{4}$.

6 核心素养应用意识[较难]先阅读,再完成练习.
一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值.由图(1)、图(2)可知,$|x|＜3$的解集是$-3＜x＜3$,$|x|＞3$的解集是$x＜-3$或$x＞3$.
解答下面的问题:
(1)不等式$|x|＜a(a＞0)$的解集为;不等式$|x|＞a(a＞0)$的解集为.
(2)①解不等式$|x-5|＜3$;②解不等式$|x-3|＞5$.
(3)不等式$|x+3|+|x-2|＞5$的解集是.

(1)不等式|x|＜a(a＞0)的解集为 -a＜x＜a;不等式|x|＞a(a＞0)的解集为 x＜-a 或 x＞a.故答案为 -a＜x＜a,x＜-a 或 x＞a.
(2)①|x-5|＜3,
所以 -3＜x-5＜3,所以 2＜x＜8.
②|x-3|＞5,所以 x-3＜-5 或 x-3＞5,
所以 x＜-2 或 x＞8.
(3)|x+3|+|x-2|=5 中的 x 表示的是在数轴上到-3 表示的点的距离与到 2 表示的点的距离之和等于 5 的点所对应的数.
因为当 x＜-3 时,|x+3|+|x-2|＞5;当 x＞2 时,|x+3|+|x-2|＞5,
所以不等式|x+3|+|x-2|＞5 的解集为 x＜-3 或 x＞2.故答案为 x＜-3 或 x＞2.