登录
1 [2025 江门新会期末]已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的部分对应值如下表：
据此可估计关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的一个根的取值范围是
据此可估计关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的一个根的取值范围是
3.3＜x＜3.4
。答案
1. 3.3＜x＜3.4
解析
【分析】
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的取值范围，首先明确方程的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中函数值$y=0$时的自变量$x$的值。二次函数的图象是连续的抛物线，若两个相邻的$x$对应的函数值一正一负，说明两个$x$之间的函数图象穿过$x$轴，即这个区间内存在方程的根。接下来观察表格中函数值的正负变化，找到对应区间即可。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$函数值为0时对应的自变量$x$的值。
观察表格数据：
当$x=3.3$时，$ax^2+bx+c=-0.01＜0$；
当$x=3.4$时，$ax^2+bx+c=0.36＞0$。
由于二次函数的图象是连续的曲线，函数值从负变为正的过程中，必然存在一个$x$使得$ax^2+bx+c=0$，因此方程的一个根的取值范围是$3.3＜x＜3.4$。
【答案】
$3.3＜x＜3.4$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 一元二次方程近似根估算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握二次函数的函数值变化与对应一元二次方程根的关联，结合表格中相邻自变量对应的函数值正负变化即可快速判断根的范围。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的取值范围，首先明确方程的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中函数值$y=0$时的自变量$x$的值。二次函数的图象是连续的抛物线，若两个相邻的$x$对应的函数值一正一负，说明两个$x$之间的函数图象穿过$x$轴，即这个区间内存在方程的根。接下来观察表格中函数值的正负变化，找到对应区间即可。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$函数值为0时对应的自变量$x$的值。
观察表格数据：
当$x=3.3$时，$ax^2+bx+c=-0.01＜0$；
当$x=3.4$时，$ax^2+bx+c=0.36＞0$。
由于二次函数的图象是连续的曲线，函数值从负变为正的过程中，必然存在一个$x$使得$ax^2+bx+c=0$，因此方程的一个根的取值范围是$3.3＜x＜3.4$。
【答案】
$3.3＜x＜3.4$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 一元二次方程近似根估算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握二次函数的函数值变化与对应一元二次方程根的关联，结合表格中相邻自变量对应的函数值正负变化即可快速判断根的范围。
【难度系数】
0.8
2 教材变式题 二次函数 $ y=2x^2+4x-1 $ 的图象如图所示，若方程 $ 2x^2+4x-1=0 $ 的一个近似根是 $ x=-2.2 $，则方程的另一个近似根为
0.2
（结果精确到0.1）。答案
2. 0.2
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，且抛物线是轴对称图形，与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个根的平均值等于对称轴对应的x值。已知对称轴为x=-1，其中一个近似根为x=-2.2，利用对称性即可求出另一个近似根。
【解析】
二次函数$y=2x^2+4x-1$的图象与x轴交点的横坐标是方程$2x^2+4x-1=0$的两个根，且两个交点关于抛物线的对称轴$x=-1$对称。
设方程的另一个近似根为$x_2$，根据中点坐标公式，两个根的中点为对称轴横坐标，即：
$\frac{-2.2 + x_2}{2} = -1$
解得：$-2.2 + x_2 = -2$
$x_2 = -2 + 2.2 = 0.2$
【答案】
0.2
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系、二次函数的轴对称性
【点评】
本题考查二次函数图象性质的应用，解题核心是理解二次函数与对应一元二次方程的关系，以及抛物线与x轴交点关于对称轴对称的特点，解题过程运算简单，容易掌握。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先要明确二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，且抛物线是轴对称图形，与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个根的平均值等于对称轴对应的x值。已知对称轴为x=-1，其中一个近似根为x=-2.2，利用对称性即可求出另一个近似根。
【解析】
二次函数$y=2x^2+4x-1$的图象与x轴交点的横坐标是方程$2x^2+4x-1=0$的两个根，且两个交点关于抛物线的对称轴$x=-1$对称。
设方程的另一个近似根为$x_2$，根据中点坐标公式，两个根的中点为对称轴横坐标，即：
$\frac{-2.2 + x_2}{2} = -1$
解得：$-2.2 + x_2 = -2$
$x_2 = -2 + 2.2 = 0.2$
【答案】
0.2
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系、二次函数的轴对称性
【点评】
本题考查二次函数图象性质的应用，解题核心是理解二次函数与对应一元二次方程的关系，以及抛物线与x轴交点关于对称轴对称的特点，解题过程运算简单，容易掌握。
【难度系数】
0.8
3 已知二次函数$y=2x^2 -2$和函数$y=5x+1$.
（1）你能用图象法求出方程$2x^2 -2=5x+1$的解吗？
（2）请通过解方程的方法验证（1）中求得的解.
（1）你能用图象法求出方程$2x^2 -2=5x+1$的解吗？
（2）请通过解方程的方法验证（1）中求得的解.
答案
3.（1）如图,在平面直角坐标系中画出函数 $y=2x^2-2$ 和函数$y=5x+1$ 的图象,图象交点的横坐标是$-\frac{1}{2},3,\therefore 2x^2-2=5x+1$的解是$x_1=-\frac{1}{2},x_2=3$
（2）验证:整理(1)中的方程,得$2x^2-5x-3=0$. 因式分解,得$(2x+1)(x-3)=0$,解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=3$
解析
【分析】
（1）方程$2x^2 -2=5x+1$的含义是当两个函数的函数值相等时，求对应的自变量$x$的值，对应到图象上，就是两个函数图象交点的横坐标，因此只需观察两个图象交点的横坐标即可得到方程的解。
（2）验证时先将方程整理为一元二次方程的标准形式，再用因式分解法求解，把得到的解和（1）中通过图象得到的解对比，即可完成验证。
【解析】
（1）根据函数与方程的关系，方程$2x^2 -2=5x+1$的解对应二次函数$y=2x^2-2$和一次函数$y=5x+1$图象交点的横坐标。观察题中给出的图象，可得两个交点的横坐标分别为$-\frac{1}{2}$和$3$，因此方程$2x^2 -2=5x+1$的解为$x_1=-\frac{1}{2},x_2=3$。
（2）先对原方程移项整理：将$5x+1$移到等号左侧，合并同类项后得到标准一元二次方程$2x^2-5x-3=0$。
对该方程因式分解，通过十字相乘法可得$(2x+1)(x-3)=0$。
令每个因式的值为0，可得$2x+1=0$或$x-3=0$，分别解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=3$，和（1）中通过图象求得的解完全一致，验证成立。
【答案】
3.（1）如图,在平面直角坐标系中画出函数 $y=2x^2-2$ 和函数$y=5x+1$ 的图象,图象交点的横坐标是$-\frac{1}{2},3,\therefore 2x^2-2=5x+1$的解是$x_1=-\frac{1}{2},x_2=3$
（2）验证:整理(1)中的方程,得$2x^2-5x-3=0$. 因式分解,得$(2x+1)(x-3)=0$,解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=3$
【知识点】
1. 函数与方程的联系
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 二次函数的图象
【点评】
本题结合一次函数和二次函数的图象，考查了数形结合思想在解方程中的应用，同时巩固了一元二次方程的基础解法，能够帮助学生理解函数和方程之间的对应关系，属于基础综合题。
【难度系数】
0.8
（1）方程$2x^2 -2=5x+1$的含义是当两个函数的函数值相等时，求对应的自变量$x$的值，对应到图象上，就是两个函数图象交点的横坐标，因此只需观察两个图象交点的横坐标即可得到方程的解。
（2）验证时先将方程整理为一元二次方程的标准形式，再用因式分解法求解，把得到的解和（1）中通过图象得到的解对比，即可完成验证。
【解析】
（1）根据函数与方程的关系，方程$2x^2 -2=5x+1$的解对应二次函数$y=2x^2-2$和一次函数$y=5x+1$图象交点的横坐标。观察题中给出的图象，可得两个交点的横坐标分别为$-\frac{1}{2}$和$3$，因此方程$2x^2 -2=5x+1$的解为$x_1=-\frac{1}{2},x_2=3$。
（2）先对原方程移项整理：将$5x+1$移到等号左侧，合并同类项后得到标准一元二次方程$2x^2-5x-3=0$。
对该方程因式分解，通过十字相乘法可得$(2x+1)(x-3)=0$。
令每个因式的值为0，可得$2x+1=0$或$x-3=0$，分别解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=3$，和（1）中通过图象求得的解完全一致，验证成立。
【答案】
3.（1）如图,在平面直角坐标系中画出函数 $y=2x^2-2$ 和函数$y=5x+1$ 的图象,图象交点的横坐标是$-\frac{1}{2},3,\therefore 2x^2-2=5x+1$的解是$x_1=-\frac{1}{2},x_2=3$
（2）验证:整理(1)中的方程,得$2x^2-5x-3=0$. 因式分解,得$(2x+1)(x-3)=0$,解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=3$
【知识点】
1. 函数与方程的联系
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 二次函数的图象
【点评】
本题结合一次函数和二次函数的图象，考查了数形结合思想在解方程中的应用，同时巩固了一元二次方程的基础解法，能够帮助学生理解函数和方程之间的对应关系，属于基础综合题。
【难度系数】
0.8
4 如图,在平面直角坐标系中,直线$y_1=mx+n$与抛物线$y_2=ax^2+bx-3$相交于点A,B.有下列结论:① 当$-2＜x＜3$时,$y_1＞y_2$;② $x=3$是关于x的方程$ax^2+bx-3=0$的一个根;③ 若$(-1,t_1),(4,t_2)$是抛物线上的两点,则$t_1＜t_2$;④ 对于抛物线$y_2=ax^2+bx-3$,当$-2＜x＜3$时,$y_2$的取值范围是$0＜y_2＜5$.其中,正确的是
①②③
(填序号).答案
4. ①②③
解析
【分析】
解题时首先从图象提取已知信息：直线与抛物线的交点为A(-2,5)、B(3,0)，抛物线开口向上，再逐个分析结论：①比较两个函数值大小只需观察图象上下位置，交点之间的区间对应直线在抛物线上方的范围；②方程$ax^2+bx-3=0$的根就是抛物线$y_2$与x轴交点的横坐标；③先通过交点坐标求出抛物线解析式和对称轴，结合开口向上时“点离对称轴越远函数值越大”的性质判断；④求指定区间内$y_2$的取值范围要考虑顶点的最小值，再结合端点值判断范围是否正确。
【解析】
从图象可得直线$y_1$与抛物线$y_2$的交点为$A(-2,5)$、$B(3,0)$，抛物线开口向上，逐个分析结论：
1. 分析①：观察图象，当$-2＜x＜3$时，直线$y_1$的图象在抛物线$y_2$上方，此时$y_1＞y_2$，故①正确；
2. 分析②：当$x=3$时，$y_2=a×3^2+b×3-3=0$，因此$x=3$是方程$ax^2+bx-3=0$的一个根，故②正确；
3. 分析③：将$A(-2,5)$、$B(3,0)$代入$y_2=ax^2+bx-3$，得方程组：
$\begin{cases}4a-2b-3=5\\9a+3b-3=0\end{cases}$，化简得$\begin{cases}2a-b=4\\3a+b=1\end{cases}$，解得$a=1，b=-2$，
因此抛物线解析式为$y_2=x^2-2x-3$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=1$，开口向上。
点$(-1,t_1)$到对称轴的距离为$|-1-1|=2$，点$(4,t_2)$到对称轴的距离为$|4-1|=3$，开口向上时离对称轴越远函数值越大，因此$t_1＜t_2$，故③正确；
4. 分析④：当$x=1$时，$y_2=1^2-2×1-3=-4$，即$-2＜x＜3$时$y_2$的最小值为$-4$，因此$y_2$的取值范围是$-4≤ y_2＜5$，故④错误。
综上，正确结论为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
二次函数的图象与性质；函数交点的意义；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，需要熟练掌握二次函数的增减性、对称性，以及利用图象比较函数值大小、判断方程根的方法，解题核心是从图象中提取交点坐标，结合函数性质逐步推导判断。
【难度系数】
0.7
解题时首先从图象提取已知信息：直线与抛物线的交点为A(-2,5)、B(3,0)，抛物线开口向上，再逐个分析结论：①比较两个函数值大小只需观察图象上下位置，交点之间的区间对应直线在抛物线上方的范围；②方程$ax^2+bx-3=0$的根就是抛物线$y_2$与x轴交点的横坐标；③先通过交点坐标求出抛物线解析式和对称轴，结合开口向上时“点离对称轴越远函数值越大”的性质判断；④求指定区间内$y_2$的取值范围要考虑顶点的最小值，再结合端点值判断范围是否正确。
【解析】
从图象可得直线$y_1$与抛物线$y_2$的交点为$A(-2,5)$、$B(3,0)$，抛物线开口向上，逐个分析结论：
1. 分析①：观察图象，当$-2＜x＜3$时，直线$y_1$的图象在抛物线$y_2$上方，此时$y_1＞y_2$，故①正确；
2. 分析②：当$x=3$时，$y_2=a×3^2+b×3-3=0$，因此$x=3$是方程$ax^2+bx-3=0$的一个根，故②正确；
3. 分析③：将$A(-2,5)$、$B(3,0)$代入$y_2=ax^2+bx-3$，得方程组：
$\begin{cases}4a-2b-3=5\\9a+3b-3=0\end{cases}$，化简得$\begin{cases}2a-b=4\\3a+b=1\end{cases}$，解得$a=1，b=-2$，
因此抛物线解析式为$y_2=x^2-2x-3$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=1$，开口向上。
点$(-1,t_1)$到对称轴的距离为$|-1-1|=2$，点$(4,t_2)$到对称轴的距离为$|4-1|=3$，开口向上时离对称轴越远函数值越大，因此$t_1＜t_2$，故③正确；
4. 分析④：当$x=1$时，$y_2=1^2-2×1-3=-4$，即$-2＜x＜3$时$y_2$的最小值为$-4$，因此$y_2$的取值范围是$-4≤ y_2＜5$，故④错误。
综上，正确结论为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
二次函数的图象与性质；函数交点的意义；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，需要熟练掌握二次函数的增减性、对称性，以及利用图象比较函数值大小、判断方程根的方法，解题核心是从图象中提取交点坐标，结合函数性质逐步推导判断。
【难度系数】
0.7
5 已知二次函数$y=x^2-2x-3$。
（1）将二次函数化成$y=(x-h)^2+k$的形式为
（2）若$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是（1）中图象上的两点，且$x_1＜x_2＜1$，则$y_1,y_2$的大小关系为
（3）利用（1）中的图象表示出方程$x^2-2x-1=0$的根$x_3,x_4$，画在（1）的图象上即可，要求保留画图痕迹。
（1）将二次函数化成$y=(x-h)^2+k$的形式为
$y=(x-1)^2-4$
，并在如图所示的平面直角坐标系中画出它的图象；（2）若$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是（1）中图象上的两点，且$x_1＜x_2＜1$，则$y_1,y_2$的大小关系为
$y_1＞y_2$
（用“＞”连接）；（3）利用（1）中的图象表示出方程$x^2-2x-1=0$的根$x_3,x_4$，画在（1）的图象上即可，要求保留画图痕迹。
答案
5.（1）$y=(x-1)^2-4$ 函数图象如图所示
（2）$y_1＞y_2$
（3）如图,$x_3,x_4$ 即为方程 $x^2-2x-1=0$ 的两个根
解析
【分析】
（1）将一般式化为顶点式可使用配方法，对二次项和一次项组合后加上并减去一次项系数一半的平方即可整理得到顶点式；画二次函数图象时，先确定顶点、与坐标轴的交点等关键点，再描点连线即可。
（2）先判断二次函数的开口方向和对称轴，再根据对称轴左侧的增减性即可比较$y_1、y_2$的大小。
（3）将待求方程变形为$x^2-2x-3=-2$，可知方程的根是二次函数$y=x^2-2x-3$的函数值为-2时对应的x值，因此画出直线$y=-2$，它与抛物线交点的横坐标就是方程的根。
【解析】
（1）对$y=x^2-2x-3$配方：
$y=x^2-2x+1-1-3=(x-1)^2-4$，即顶点式为$y=(x-1)^2-4$。
画图象：先确定顶点坐标为$(1,-4)$，令$y=0$，解得$x_1=-1,x_2=3$，即与x轴交点为$(-1,0)、(3,0)$；令$x=0$，得$y=-3$，即与y轴交点为$(0,-3)$，描点后用平滑曲线连接即可得到图象。
（2）二次函数$y=(x-1)^2-4$的开口向上，对称轴为直线$x=1$，在对称轴左侧（$x＜1$时），$y$随$x$的增大而减小。已知$x_1＜x_2＜1$，因此$y_1＞y_2$。
（3）将方程$x^2-2x-1=0$变形为$x^2-2x-3=-2$，则方程的根为$y=x^2-2x-3$中$y=-2$时对应的$x$值。在坐标系中画出直线$y=-2$，它与抛物线的两个交点的横坐标即为方程的根$x_3、x_4$。
【答案】
（1）$y=(x-1)^2-4$，函数图象如图所示
（2）$y_1＞y_2$
（3）如图，$x_3,x_4$ 即为方程 $x^2-2x-1=0$ 的两个根
【知识点】
二次函数配方，二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题综合考查二次函数的核心基础知识，侧重数形结合思想的应用，从配方、增减性判断到利用图象求解方程根，都是二次函数模块的常规考点，熟练掌握基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
（1）将一般式化为顶点式可使用配方法，对二次项和一次项组合后加上并减去一次项系数一半的平方即可整理得到顶点式；画二次函数图象时，先确定顶点、与坐标轴的交点等关键点，再描点连线即可。
（2）先判断二次函数的开口方向和对称轴，再根据对称轴左侧的增减性即可比较$y_1、y_2$的大小。
（3）将待求方程变形为$x^2-2x-3=-2$，可知方程的根是二次函数$y=x^2-2x-3$的函数值为-2时对应的x值，因此画出直线$y=-2$，它与抛物线交点的横坐标就是方程的根。
【解析】
（1）对$y=x^2-2x-3$配方：
$y=x^2-2x+1-1-3=(x-1)^2-4$，即顶点式为$y=(x-1)^2-4$。
画图象：先确定顶点坐标为$(1,-4)$，令$y=0$，解得$x_1=-1,x_2=3$，即与x轴交点为$(-1,0)、(3,0)$；令$x=0$，得$y=-3$，即与y轴交点为$(0,-3)$，描点后用平滑曲线连接即可得到图象。
（2）二次函数$y=(x-1)^2-4$的开口向上，对称轴为直线$x=1$，在对称轴左侧（$x＜1$时），$y$随$x$的增大而减小。已知$x_1＜x_2＜1$，因此$y_1＞y_2$。
（3）将方程$x^2-2x-1=0$变形为$x^2-2x-3=-2$，则方程的根为$y=x^2-2x-3$中$y=-2$时对应的$x$值。在坐标系中画出直线$y=-2$，它与抛物线的两个交点的横坐标即为方程的根$x_3、x_4$。
【答案】
（1）$y=(x-1)^2-4$，函数图象如图所示
（2）$y_1＞y_2$
（3）如图，$x_3,x_4$ 即为方程 $x^2-2x-1=0$ 的两个根
【知识点】
二次函数配方，二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题综合考查二次函数的核心基础知识，侧重数形结合思想的应用，从配方、增减性判断到利用图象求解方程根，都是二次函数模块的常规考点，熟练掌握基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
