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8 如图，$△ ABC$的外角平分线$BD$，$CE$相交于点$P$.若点$P$到$AC$的距离为$3$，则点$P$到$AB$的距离为（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8. C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要用到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先过点P向AC、BC、AB三边分别作垂线段，先利用CE是外角平分线，得到点P到AC和BC的距离相等；再利用BD是外角平分线，得到点P到BC和AB的距离相等，通过等量代换就能得到点P到AC和AB的距离相等，结合已知条件即可求出结果。
【解析】
过点P作$PF⊥ AC$于点F，$PG⊥ BC$于点G，$PH⊥ AB$于点H。
∵CE是$△ ABC$的外角平分线，点P在CE上，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$PF=PG$。
已知点P到AC的距离为3，即$PF=3$，因此$PG=3$。
又
∵BD是$△ ABC$的外角平分线，点P在BD上，
同理可得$PG=PH$，
∴$PH=PF=3$，即点P到AB的距离为3。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题侧重考查角平分线性质的直接应用，解题的关键是通过作辅助线构造出角平分线上的点到角两边的垂线段，再通过等量代换得到所求距离，熟练掌握角平分线的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要用到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先过点P向AC、BC、AB三边分别作垂线段，先利用CE是外角平分线，得到点P到AC和BC的距离相等；再利用BD是外角平分线，得到点P到BC和AB的距离相等，通过等量代换就能得到点P到AC和AB的距离相等，结合已知条件即可求出结果。
【解析】
过点P作$PF⊥ AC$于点F，$PG⊥ BC$于点G，$PH⊥ AB$于点H。
∵CE是$△ ABC$的外角平分线，点P在CE上，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$PF=PG$。
已知点P到AC的距离为3，即$PF=3$，因此$PG=3$。
又
∵BD是$△ ABC$的外角平分线，点P在BD上，
同理可得$PG=PH$，
∴$PH=PF=3$，即点P到AB的距离为3。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题侧重考查角平分线性质的直接应用，解题的关键是通过作辅助线构造出角平分线上的点到角两边的垂线段，再通过等量代换得到所求距离，熟练掌握角平分线的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=8\ \mathrm{cm}$,$BC=15\ \mathrm{cm}$,$AC=17\ \mathrm{cm}$,$P$是到$△ ABC$的三边距离相等的点,则点$P$到$△ ABC$的三边的距离为
3
cm.答案
9. 3
解析
【分析】
首先，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知到△ABC三边距离相等的点P是△ABC三个内角的角平分线的交点。要求点P到三边的距离，我们可以采用面积法：△ABC的面积等于△PAB、△PBC、△PAC这三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高都是点P到对应边的距离，据此建立等式即可求解。
【解析】
设点P到△ABC三边的距离为$ h \, \mathrm{cm} $。
已知$ ∠ ABC=90° $，$ AB=8\,\mathrm{cm} $，$ BC=15\,\mathrm{cm} $，先计算$ △ ABC $的面积：
$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 8 × 15 = 60 \, \mathrm{cm}^2 $
因为点P到三边的距离均为$ h $，所以三个小三角形的面积分别为：
$ S_{△ PAB}=\frac{1}{2} × AB × h $，$ S_{△ PBC}=\frac{1}{2} × BC × h $，$ S_{△ PAC}=\frac{1}{2} × AC × h $
由$ S_{△ ABC} = S_{△ PAB} + S_{△ PBC} + S_{△ PAC} $，代入数值得：
$ 60 = \frac{1}{2} × 8 × h + \frac{1}{2} × 15 × h + \frac{1}{2} × 17 × h $
整理得：$ 60 = \frac{1}{2} × (8+15+17) × h $
计算得：$ 60 = 20h $，解得$ h=3 $
【答案】
3
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 三角形面积计算
3. 等积法应用
【点评】
本题是角平分线相关性质的典型应用题，利用面积法求解无需构造全等三角形，大幅简化了计算过程，是解决此类到三角形三边距离相等点的距离问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
首先，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知到△ABC三边距离相等的点P是△ABC三个内角的角平分线的交点。要求点P到三边的距离，我们可以采用面积法：△ABC的面积等于△PAB、△PBC、△PAC这三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高都是点P到对应边的距离，据此建立等式即可求解。
【解析】
设点P到△ABC三边的距离为$ h \, \mathrm{cm} $。
已知$ ∠ ABC=90° $，$ AB=8\,\mathrm{cm} $，$ BC=15\,\mathrm{cm} $，先计算$ △ ABC $的面积：
$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 8 × 15 = 60 \, \mathrm{cm}^2 $
因为点P到三边的距离均为$ h $，所以三个小三角形的面积分别为：
$ S_{△ PAB}=\frac{1}{2} × AB × h $，$ S_{△ PBC}=\frac{1}{2} × BC × h $，$ S_{△ PAC}=\frac{1}{2} × AC × h $
由$ S_{△ ABC} = S_{△ PAB} + S_{△ PBC} + S_{△ PAC} $，代入数值得：
$ 60 = \frac{1}{2} × 8 × h + \frac{1}{2} × 15 × h + \frac{1}{2} × 17 × h $
整理得：$ 60 = \frac{1}{2} × (8+15+17) × h $
计算得：$ 60 = 20h $，解得$ h=3 $
【答案】
3
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 三角形面积计算
3. 等积法应用
【点评】
本题是角平分线相关性质的典型应用题，利用面积法求解无需构造全等三角形，大幅简化了计算过程，是解决此类到三角形三边距离相等点的距离问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
10 如图，$△ ABC$ 的三边$AB$，$BC$，$CA$ 的长分别为12，10，6，其三条角平分线的交点为$O$，则$S_{△ ABO}: S_{△ BCO}: S_{△ CAO}=$
6:5:3
.答案
10. $6:5:3$
【解析】过点$O$作$OD⊥ AB$于点$D$,$OE⊥ BC$于点$E$,$OF⊥ AC$于点$F$. $\because AO,BO,CO$分别位于$△ ABC$的角平分线上,$\therefore OD=OE=OF$. $\therefore S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=(\dfrac{1}{2}AB· OD):(\dfrac{1}{2}BC· OE):(\dfrac{1}{2}CA· OF)=AB:BC:CA=12:10:6=6:5:3$.
【解析】过点$O$作$OD⊥ AB$于点$D$,$OE⊥ BC$于点$E$,$OF⊥ AC$于点$F$. $\because AO,BO,CO$分别位于$△ ABC$的角平分线上,$\therefore OD=OE=OF$. $\therefore S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=(\dfrac{1}{2}AB· OD):(\dfrac{1}{2}BC· OE):(\dfrac{1}{2}CA· OF)=AB:BC:CA=12:10:6=6:5:3$.
解析
【分析】
要求三个三角形的面积比，首先观察到三个三角形的共同顶点是△ABC三条角平分线的交点O，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点O到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等，即三个三角形分别以AB、BC、CA为底时，高相等。而三角形面积=1/2×底×高，当高相同时，面积比等于对应底边长的比，因此只需计算三边的长度比再化简即可得到结果。
【解析】
过点O作$OD⊥AB$于点D，$OE⊥BC$于点E，$OF⊥AC$于点F。
∵AO、BO、CO分别是△ABC的角平分线，
∴根据角平分线的性质可得$OD=OE=OF$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ABO}=\frac{1}{2}AB·OD$，$S_{△BCO}=\frac{1}{2}BC·OE$，$S_{△CAO}=\frac{1}{2}CA·OF$，
∴$S_{△ABO}: S_{△BCO}: S_{△CAO}=(\frac{1}{2}AB·OD):(\frac{1}{2}BC·OE):(\frac{1}{2}CA·OF)$
由于$OD=OE=OF$，公因子$\frac{1}{2}$和高可约去，因此比值化简为$AB:BC:CA=12:10:6=6:5:3$。
【答案】
$6:5:3$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比的化简
【点评】
本题是角平分线性质应用的典型题目，核心是利用角平分线交点到三边距离相等的性质，将面积比转化为边长比，解题时需熟练掌握角平分线的性质，灵活运用面积公式推导比值。
【难度系数】
0.7
要求三个三角形的面积比，首先观察到三个三角形的共同顶点是△ABC三条角平分线的交点O，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点O到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等，即三个三角形分别以AB、BC、CA为底时，高相等。而三角形面积=1/2×底×高，当高相同时，面积比等于对应底边长的比，因此只需计算三边的长度比再化简即可得到结果。
【解析】
过点O作$OD⊥AB$于点D，$OE⊥BC$于点E，$OF⊥AC$于点F。
∵AO、BO、CO分别是△ABC的角平分线，
∴根据角平分线的性质可得$OD=OE=OF$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ABO}=\frac{1}{2}AB·OD$，$S_{△BCO}=\frac{1}{2}BC·OE$，$S_{△CAO}=\frac{1}{2}CA·OF$，
∴$S_{△ABO}: S_{△BCO}: S_{△CAO}=(\frac{1}{2}AB·OD):(\frac{1}{2}BC·OE):(\frac{1}{2}CA·OF)$
由于$OD=OE=OF$，公因子$\frac{1}{2}$和高可约去，因此比值化简为$AB:BC:CA=12:10:6=6:5:3$。
【答案】
$6:5:3$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比的化简
【点评】
本题是角平分线性质应用的典型题目，核心是利用角平分线交点到三边距离相等的性质，将面积比转化为边长比，解题时需熟练掌握角平分线的性质，灵活运用面积公式推导比值。
【难度系数】
0.7
11 教材P51练习T2变式 如图，$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线与内角$∠ ABC$的平分线交于点P.
（1）延长BA至点E，求证：AP平分$∠ CAE$；
（2）若$∠ BPC=40°$，求$∠ CAP$的度数.
（1）延长BA至点E，求证：AP平分$∠ CAE$；
（2）若$∠ BPC=40°$，求$∠ CAP$的度数.
答案
11. (1) 如图,过点$P$作$PF⊥ BE$于点$F$,$PN⊥ BD$于点$N$,$PM⊥ AC$于点$M$. $\because CP$平分$∠ ACD$,$\therefore PM=PN$. $\because BP$平分$∠ ABC$,$\therefore PF=PN$. $\therefore PF=PM$. 又$\because PF⊥ AE,PM⊥ AC$,$\therefore AP$平分$∠ CAE$
(2) 设$∠ ACP=∠ PCD=x$. 由(1),知$AP$平分$∠ CAE$,$\therefore ∠ FAP=∠ PAC$. $\because ∠ BPC=40°$,$BP$平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ ABP=∠ PBC=∠ PCD-∠ BPC=x-40°$. $\therefore ∠ BAC=∠ ACD-∠ ABC=2x-(x-40°)-(x-40°)=80°$. $\therefore ∠ CAF=180°-∠ BAC=100°$. $\therefore ∠ CAP=\dfrac{1}{2}∠ CAF=50°$
解析
【分析】
（1）要证明AP平分∠CAE，可利用角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。我们过点P作BE、AC、BD三边的垂线，结合已知CP平分∠ACD、BP平分∠ABC的条件，利用角平分线的性质得到三组垂线段的等量关系，最终推出P到AE、AC的距离相等，即可证明结论。
（2）要求∠CAP的度数，由（1）知AP平分∠CAE，因此只需先求出∠CAE的度数即可。我们设∠ACP=∠PCD=x，结合∠BPC=40°，利用三角形外角的性质推出∠PBC的度数，再结合角平分线的性质得到∠ABC的度数，再利用三角形外角∠ACD与内角∠ABC的关系求出∠BAC的度数，进而得到邻补角∠CAE的度数，最后计算其一半即可得到∠CAP的度数。
【解析】
(1) 如图，过点$P$作$PF⊥ BE$于点$F$，$PN⊥ BD$于点$N$，$PM⊥ AC$于点$M$。
$\because CP$平分$∠ACD$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PM=PN$。
$\because BP$平分$∠ABC$，同理可得$PF=PN$。
$\therefore PF=PM$。
又$\because PF⊥AE$，$PM⊥AC$，根据到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得$AP$平分$∠CAE$。
(2) 设$∠ACP=∠PCD=x$。
由(1)可知$AP$平分$∠CAE$，$\therefore ∠FAP=∠PAC$。
$\because ∠PCD$是$△ PBC$的外角，$\therefore ∠PCD=∠PBC+∠BPC$，已知$∠BPC=40°$，$\therefore ∠PBC=∠PCD-∠BPC=x-40°$。
$\because BP$平分$∠ABC$，$\therefore ∠ABP=∠PBC=x-40°$，即$∠ABC=2(x-40°)$。
$\because ∠ACD$是$△ ABC$的外角，$\therefore ∠ACD=∠ABC+∠BAC$，
$\therefore ∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x-2(x-40°)=80°$。
$\because ∠CAE$与$∠BAC$互为邻补角，$\therefore ∠CAE=180°-∠BAC=180°-80°=100°$。
$\because AP$平分$∠CAE$，$\therefore ∠CAP=\dfrac{1}{2}∠CAE=\dfrac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】
(1) 如图,过点$P$作$PF⊥ BE$于点$F$,$PN⊥ BD$于点$N$,$PM⊥ AC$于点$M$. $\because CP$平分$∠ ACD$,$\therefore PM=PN$. $\because BP$平分$∠ ABC$,$\therefore PF=PN$. $\therefore PF=PM$. 又$\because PF⊥ AE,PM⊥ AC$,$\therefore AP$平分$∠ CAE$
(2) 设$∠ ACP=∠ PCD=x$. 由(1),知$AP$平分$∠ CAE$,$\therefore ∠ FAP=∠ PAC$. $\because ∠ BPC=40°$,$BP$平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ ABP=∠ PBC=∠ PCD-∠ BPC=x-40°$. $\therefore ∠ BAC=∠ ACD-∠ ABC=2x-(x-40°)-(x-40°)=80°$. $\therefore ∠ CAF=180°-∠ BAC=100°$. $\therefore ∠ CAP=\dfrac{1}{2}∠ CAF=50°$
【知识点】
角平分线的性质与判定；三角形外角的性质；邻补角的定义
【点评】
本题是角平分线相关知识的典型综合题，解题关键是合理作垂线段辅助线，将角平分线的条件转化为垂线段的等量关系来证明角平分线；角度计算时要灵活运用三角形外角的性质，逐步推导所求角与已知角的关系，掌握这类题的解题方法能有效提升几何推理能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证明AP平分∠CAE，可利用角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。我们过点P作BE、AC、BD三边的垂线，结合已知CP平分∠ACD、BP平分∠ABC的条件，利用角平分线的性质得到三组垂线段的等量关系，最终推出P到AE、AC的距离相等，即可证明结论。
（2）要求∠CAP的度数，由（1）知AP平分∠CAE，因此只需先求出∠CAE的度数即可。我们设∠ACP=∠PCD=x，结合∠BPC=40°，利用三角形外角的性质推出∠PBC的度数，再结合角平分线的性质得到∠ABC的度数，再利用三角形外角∠ACD与内角∠ABC的关系求出∠BAC的度数，进而得到邻补角∠CAE的度数，最后计算其一半即可得到∠CAP的度数。
【解析】
(1) 如图，过点$P$作$PF⊥ BE$于点$F$，$PN⊥ BD$于点$N$，$PM⊥ AC$于点$M$。
$\because CP$平分$∠ACD$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PM=PN$。
$\because BP$平分$∠ABC$，同理可得$PF=PN$。
$\therefore PF=PM$。
又$\because PF⊥AE$，$PM⊥AC$，根据到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得$AP$平分$∠CAE$。
(2) 设$∠ACP=∠PCD=x$。
由(1)可知$AP$平分$∠CAE$，$\therefore ∠FAP=∠PAC$。
$\because ∠PCD$是$△ PBC$的外角，$\therefore ∠PCD=∠PBC+∠BPC$，已知$∠BPC=40°$，$\therefore ∠PBC=∠PCD-∠BPC=x-40°$。
$\because BP$平分$∠ABC$，$\therefore ∠ABP=∠PBC=x-40°$，即$∠ABC=2(x-40°)$。
$\because ∠ACD$是$△ ABC$的外角，$\therefore ∠ACD=∠ABC+∠BAC$，
$\therefore ∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x-2(x-40°)=80°$。
$\because ∠CAE$与$∠BAC$互为邻补角，$\therefore ∠CAE=180°-∠BAC=180°-80°=100°$。
$\because AP$平分$∠CAE$，$\therefore ∠CAP=\dfrac{1}{2}∠CAE=\dfrac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】
(1) 如图,过点$P$作$PF⊥ BE$于点$F$,$PN⊥ BD$于点$N$,$PM⊥ AC$于点$M$. $\because CP$平分$∠ ACD$,$\therefore PM=PN$. $\because BP$平分$∠ ABC$,$\therefore PF=PN$. $\therefore PF=PM$. 又$\because PF⊥ AE,PM⊥ AC$,$\therefore AP$平分$∠ CAE$
(2) 设$∠ ACP=∠ PCD=x$. 由(1),知$AP$平分$∠ CAE$,$\therefore ∠ FAP=∠ PAC$. $\because ∠ BPC=40°$,$BP$平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ ABP=∠ PBC=∠ PCD-∠ BPC=x-40°$. $\therefore ∠ BAC=∠ ACD-∠ ABC=2x-(x-40°)-(x-40°)=80°$. $\therefore ∠ CAF=180°-∠ BAC=100°$. $\therefore ∠ CAP=\dfrac{1}{2}∠ CAF=50°$
【知识点】
角平分线的性质与判定；三角形外角的性质；邻补角的定义
【点评】
本题是角平分线相关知识的典型综合题，解题关键是合理作垂线段辅助线，将角平分线的条件转化为垂线段的等量关系来证明角平分线；角度计算时要灵活运用三角形外角的性质，逐步推导所求角与已知角的关系，掌握这类题的解题方法能有效提升几何推理能力。
【难度系数】
0.6
12 如图，$∠ A=∠ B=90°$，$E$为$AB$的中点，$DE$平分$∠ ADC$. 求证：
(1) $CE$平分$∠ BCD$；
(2) $AD+BC=CD$.
(1) $CE$平分$∠ BCD$；
(2) $AD+BC=CD$.
答案
12. (1) 如图,过点$E$作$EM⊥ CD$于点$M$. $\because DE$平分$∠ ADC$,$EA⊥ AD,EM⊥ CD$,$\therefore AE=ME$. $\because E$为$AB$的中点,$\therefore AE=EB$. $\therefore EM=EB$. $\because EB⊥ BC,EM⊥ CD$,$\therefore CE$平分$∠ BCD$
(2) $\because DE$平分$∠ ADC$,$\therefore ∠ ADE=∠ MDE$. $\because EM⊥ CD$,$\therefore ∠ A=∠ DME=90°$. 在$△ DEA$和$△ DEM$中,$\begin{cases}∠ ADE=∠ MDE,\\∠ A=∠ DME,\\DE=DE,\end{cases}$ $\therefore △ DEA≌△ DEM.\therefore DA=DM$. 同理可证$△ BEC≌△ MEC$. $\therefore CB=CM$. $\therefore AD+BC=DM+CM=CD$
解析
【分析】
(1) 要证明CE平分∠BCD，可利用角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。我们过点E作CD的垂线EM，只需证明E到BC的距离EB和到CD的距离EM相等即可。结合DE是∠ADC的平分线，根据角平分线的性质可得AE=EM，再结合E是AB中点，AE=EB，即可推得EM=EB，完成证明。
(2) 要证明AD+BC=CD，可将CD拆分为DM和CM两段，通过全等三角形把AD转化为DM、BC转化为CM，两段相加即可得到结论。先证△DEA和△DEM全等得AD=DM，再证△BEC和△MEC全等得BC=CM，相加即可得证。
【解析】
(1) 过点$E$作$EM⊥ CD$于点$M$。
$\because DE$平分$∠ ADC$，$EA⊥ AD$，$EM⊥ CD$，根据角平分线的性质，得$AE=ME$。
$\because E$为$AB$的中点，$\therefore AE=EB$，$\therefore EM=EB$。
又$\because EB⊥ BC$，$EM⊥ CD$，根据角平分线的判定定理，可得$CE$平分$∠ BCD$。
(2) $\because DE$平分$∠ ADC$，$\therefore ∠ ADE=∠ MDE$。
$\because EM⊥ CD$，$\therefore ∠ A=∠ DME=90°$。
在$△ DEA$和$△ DEM$中：
$\begin{cases}∠ ADE=∠ MDE\\∠ A=∠ DME\\DE=DE\end{cases}$
$\therefore △ DEA≌△ DEM（AAS）$，$\therefore DA=DM$。
同理可证$△ BEC≌△ MEC（HL）$，$\therefore CB=CM$。
$\therefore AD+BC=DM+CM=CD$。
【答案】
12. (1) 如图,过点$E$作$EM⊥ CD$于点$M$. $\because DE$平分$∠ ADC$,$EA⊥ AD,EM⊥ CD$,$\therefore AE=ME$. $\because E$为$AB$的中点,$\therefore AE=EB$. $\therefore EM=EB$. $\because EB⊥ BC,EM⊥ CD$,$\therefore CE$平分$∠ BCD$
(2) $\because DE$平分$∠ ADC$,$\therefore ∠ ADE=∠ MDE$. $\because EM⊥ CD$,$\therefore ∠ A=∠ DME=90°$. 在$△ DEA$和$△ DEM$中,$\begin{cases}∠ ADE=∠ MDE,\\∠ A=∠ DME,\\DE=DE,\end{cases}$ $\therefore △ DEA≌△ DEM.\therefore DA=DM$. 同理可证$△ BEC≌△ MEC$. $\therefore CB=CM$. $\therefore AD+BC=DM+CM=CD$
【知识点】
角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是角平分线与全等三角形的综合应用题，作垂直于角边的辅助线是解题的突破口，既可以利用角平分线性质得到等线段，也能构造全等三角形实现线段的转化，是这类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明CE平分∠BCD，可利用角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。我们过点E作CD的垂线EM，只需证明E到BC的距离EB和到CD的距离EM相等即可。结合DE是∠ADC的平分线，根据角平分线的性质可得AE=EM，再结合E是AB中点，AE=EB，即可推得EM=EB，完成证明。
(2) 要证明AD+BC=CD，可将CD拆分为DM和CM两段，通过全等三角形把AD转化为DM、BC转化为CM，两段相加即可得到结论。先证△DEA和△DEM全等得AD=DM，再证△BEC和△MEC全等得BC=CM，相加即可得证。
【解析】
(1) 过点$E$作$EM⊥ CD$于点$M$。
$\because DE$平分$∠ ADC$，$EA⊥ AD$，$EM⊥ CD$，根据角平分线的性质，得$AE=ME$。
$\because E$为$AB$的中点，$\therefore AE=EB$，$\therefore EM=EB$。
又$\because EB⊥ BC$，$EM⊥ CD$，根据角平分线的判定定理，可得$CE$平分$∠ BCD$。
(2) $\because DE$平分$∠ ADC$，$\therefore ∠ ADE=∠ MDE$。
$\because EM⊥ CD$，$\therefore ∠ A=∠ DME=90°$。
在$△ DEA$和$△ DEM$中：
$\begin{cases}∠ ADE=∠ MDE\\∠ A=∠ DME\\DE=DE\end{cases}$
$\therefore △ DEA≌△ DEM（AAS）$，$\therefore DA=DM$。
同理可证$△ BEC≌△ MEC（HL）$，$\therefore CB=CM$。
$\therefore AD+BC=DM+CM=CD$。
【答案】
12. (1) 如图,过点$E$作$EM⊥ CD$于点$M$. $\because DE$平分$∠ ADC$,$EA⊥ AD,EM⊥ CD$,$\therefore AE=ME$. $\because E$为$AB$的中点,$\therefore AE=EB$. $\therefore EM=EB$. $\because EB⊥ BC,EM⊥ CD$,$\therefore CE$平分$∠ BCD$
(2) $\because DE$平分$∠ ADC$,$\therefore ∠ ADE=∠ MDE$. $\because EM⊥ CD$,$\therefore ∠ A=∠ DME=90°$. 在$△ DEA$和$△ DEM$中,$\begin{cases}∠ ADE=∠ MDE,\\∠ A=∠ DME,\\DE=DE,\end{cases}$ $\therefore △ DEA≌△ DEM.\therefore DA=DM$. 同理可证$△ BEC≌△ MEC$. $\therefore CB=CM$. $\therefore AD+BC=DM+CM=CD$
【知识点】
角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是角平分线与全等三角形的综合应用题，作垂直于角边的辅助线是解题的突破口，既可以利用角平分线性质得到等线段，也能构造全等三角形实现线段的转化，是这类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
13 如图, 在 $△ ABC$ 中, 点 $D$ 在边 $BC$ 上, $∠ BAD=100°$, $∠ ABC$ 的平分线交 $AC$ 于点 $E$. 过点 $E$ 作 $EF ⊥ AB$, 交 $BA$ 的延长线于点 $F$, 且 $∠ AEF=50°$, 连接 $DE$.
(1) 求 $∠ CAD$ 的度数;
(2) 求证: $DE$ 平分 $∠ ADC$;
(3) 若 $AB=7, AD=4, CD=8$, 且 $S_{△ ACD}=15$, 求 $△ ABE$ 的面积.
(1) 求 $∠ CAD$ 的度数;
(2) 求证: $DE$ 平分 $∠ ADC$;
(3) 若 $AB=7, AD=4, CD=8$, 且 $S_{△ ACD}=15$, 求 $△ ABE$ 的面积.
答案
13. (1) $\because EF⊥ AB,∠ AEF=50°,\therefore ∠ FAE=90°-50°=40°$. $\because ∠ BAD=100°,\therefore ∠ CAD=180°-100°-40°=40°$
(2) 过点$E$作$EG⊥ AD$于点$G$,$EH⊥ BC$于点$H$. $\because ∠ FAE=∠ DAE=40°$,$EF⊥ BF,EG⊥ AD$,$\therefore EF=EG$. $\because BE$平分$∠ ABC$,$EF⊥ BF,EH⊥ BC$,$\therefore EF=EH$. $\therefore EH=EG$. $\because EG⊥ AD,EH⊥ BC$,$\therefore DE$平分$∠ ADC$
(3) $\because S_{△ ACD}=15$,$EH=EG$,$\therefore \dfrac{1}{2}AD· EG+\dfrac{1}{2}CD· EH=15$,即$\dfrac{1}{2}×4× EG+\dfrac{1}{2}×8× EG=15$. $\therefore EG=\dfrac{5}{2}$. $\therefore EF=EG=\dfrac{5}{2}$. $\therefore S_{△ ABE}=\dfrac{1}{2}AB· EF=\dfrac{1}{2}×7×\dfrac{5}{2}=\dfrac{35}{4}$
(2) 过点$E$作$EG⊥ AD$于点$G$,$EH⊥ BC$于点$H$. $\because ∠ FAE=∠ DAE=40°$,$EF⊥ BF,EG⊥ AD$,$\therefore EF=EG$. $\because BE$平分$∠ ABC$,$EF⊥ BF,EH⊥ BC$,$\therefore EF=EH$. $\therefore EH=EG$. $\because EG⊥ AD,EH⊥ BC$,$\therefore DE$平分$∠ ADC$
(3) $\because S_{△ ACD}=15$,$EH=EG$,$\therefore \dfrac{1}{2}AD· EG+\dfrac{1}{2}CD· EH=15$,即$\dfrac{1}{2}×4× EG+\dfrac{1}{2}×8× EG=15$. $\therefore EG=\dfrac{5}{2}$. $\therefore EF=EG=\dfrac{5}{2}$. $\therefore S_{△ ABE}=\dfrac{1}{2}AB· EF=\dfrac{1}{2}×7×\dfrac{5}{2}=\dfrac{35}{4}$
解析
【分析】
(1) 求∠CAD的度数：先利用直角三角形两锐角互余，由EF⊥AB和∠AEF的度数求出∠FAE，再结合平角为180°，减去已知的∠BAD和求出的∠FAE，即可得到∠CAD的度数。
(2) 证明DE平分∠ADC：根据角平分线的判定定理，过点E作AD、BC的垂线，结合角平分线的性质，先由AE平分∠FAD得EF=EG，再由BE平分∠ABC得EF=EH，等量代换得EG=EH，即可证明DE平分∠ADC。
(3) 求△ABE的面积：已知AB的长，只需算出AB边上的高EF。将△ACD的面积拆分为△ADE和△CDE的面积和，两个三角形的高EG、EH相等，结合已知边长和△ACD的面积求出EG，再由EF=EG得到EF的长度，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 解：$\because EF⊥ AB,∠ AEF=50°$，
$\therefore$ 在$Rt△ AEF$中，$∠ FAE=90°-∠ AEF=90°-50°=40°$，
$\because ∠ BAD=100°$，点$F、A、B$共线，
$\therefore ∠ CAD=180°-∠ BAD-∠ FAE=180°-100°-40°=40°$。
(2) 证明：过点$E$作$EG⊥ AD$于点$G$，$EH⊥ BC$于点$H$。
$\because ∠ FAE=∠ DAE=40°$，$EF⊥ BF$，$EG⊥ AD$，
$\therefore$ 由角平分线的性质可得$EF=EG$，
$\because BE$平分$∠ ABC$，$EF⊥ BF$，$EH⊥ BC$，
$\therefore$ 由角平分线的性质可得$EF=EH$，
$\therefore EH=EG$，
又$\because EG⊥ AD$，$EH⊥ BC$，
$\therefore$ 由角平分线的判定定理可得$DE$平分$∠ ADC$。
(3) 解：$\because S_{△ ACD}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}=15$，且$EH=EG$，
$\therefore \dfrac{1}{2}AD·EG+\dfrac{1}{2}CD·EH=15$，
代入$AD=4,CD=8$得：
$\dfrac{1}{2}×4× EG+\dfrac{1}{2}×8× EG=15$，
即$2EG+4EG=15$，解得$EG=\dfrac{5}{2}$，
$\therefore EF=EG=\dfrac{5}{2}$，
$\therefore S_{△ ABE}=\dfrac{1}{2}AB·EF=\dfrac{1}{2}×7×\dfrac{5}{2}=\dfrac{35}{4}$。
【答案】
(1) $\boxed{40°}$
(2) 证明见上述解析
(3) $\boxed{\dfrac{35}{4}}$
【知识点】
1. 角平分线的性质与判定
2. 三角形面积计算
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的几何综合题，围绕角平分线的性质和判定展开，需要合理添加辅助线构造线段相等关系，同时结合面积拆分求解未知量，既考查了基础定理的应用，也锻炼了逻辑推理和转化思想，解题的核心是熟练掌握角平分线的相关性质。
【难度系数】
0.6
(1) 求∠CAD的度数：先利用直角三角形两锐角互余，由EF⊥AB和∠AEF的度数求出∠FAE，再结合平角为180°，减去已知的∠BAD和求出的∠FAE，即可得到∠CAD的度数。
(2) 证明DE平分∠ADC：根据角平分线的判定定理，过点E作AD、BC的垂线，结合角平分线的性质，先由AE平分∠FAD得EF=EG，再由BE平分∠ABC得EF=EH，等量代换得EG=EH，即可证明DE平分∠ADC。
(3) 求△ABE的面积：已知AB的长，只需算出AB边上的高EF。将△ACD的面积拆分为△ADE和△CDE的面积和，两个三角形的高EG、EH相等，结合已知边长和△ACD的面积求出EG，再由EF=EG得到EF的长度，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 解：$\because EF⊥ AB,∠ AEF=50°$，
$\therefore$ 在$Rt△ AEF$中，$∠ FAE=90°-∠ AEF=90°-50°=40°$，
$\because ∠ BAD=100°$，点$F、A、B$共线，
$\therefore ∠ CAD=180°-∠ BAD-∠ FAE=180°-100°-40°=40°$。
(2) 证明：过点$E$作$EG⊥ AD$于点$G$，$EH⊥ BC$于点$H$。
$\because ∠ FAE=∠ DAE=40°$，$EF⊥ BF$，$EG⊥ AD$，
$\therefore$ 由角平分线的性质可得$EF=EG$，
$\because BE$平分$∠ ABC$，$EF⊥ BF$，$EH⊥ BC$，
$\therefore$ 由角平分线的性质可得$EF=EH$，
$\therefore EH=EG$，
又$\because EG⊥ AD$，$EH⊥ BC$，
$\therefore$ 由角平分线的判定定理可得$DE$平分$∠ ADC$。
(3) 解：$\because S_{△ ACD}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}=15$，且$EH=EG$，
$\therefore \dfrac{1}{2}AD·EG+\dfrac{1}{2}CD·EH=15$，
代入$AD=4,CD=8$得：
$\dfrac{1}{2}×4× EG+\dfrac{1}{2}×8× EG=15$，
即$2EG+4EG=15$，解得$EG=\dfrac{5}{2}$，
$\therefore EF=EG=\dfrac{5}{2}$，
$\therefore S_{△ ABE}=\dfrac{1}{2}AB·EF=\dfrac{1}{2}×7×\dfrac{5}{2}=\dfrac{35}{4}$。
【答案】
(1) $\boxed{40°}$
(2) 证明见上述解析
(3) $\boxed{\dfrac{35}{4}}$
【知识点】
1. 角平分线的性质与判定
2. 三角形面积计算
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的几何综合题，围绕角平分线的性质和判定展开，需要合理添加辅助线构造线段相等关系，同时结合面积拆分求解未知量，既考查了基础定理的应用，也锻炼了逻辑推理和转化思想，解题的核心是熟练掌握角平分线的相关性质。
【难度系数】
0.6
