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1 新素材[2026山西晋中期末]
2026年春节联欢晚会的吉祥物由四匹骏马组成，分别命名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”. 如图是“马”的小篆字体，将其放在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为$(2,1)$，$(-1,2)$，则点C的坐标为
（
A.$(-2,-1)$
B.$(0,0)$
C.$(-2,-2)$
D.$(0,-1)$
2026年春节联欢晚会的吉祥物由四匹骏马组成，分别命名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”. 如图是“马”的小篆字体，将其放在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为$(2,1)$，$(-1,2)$，则点C的坐标为
（
D
）A.$(-2,-1)$
B.$(0,0)$
C.$(-2,-2)$
D.$(0,-1)$
答案
1. D 【解析】根据题意建立平面直角坐标系,如
,可知点C的坐标为$(0,-1)$. 故选D.解析
【分析】
解题时首先要利用已知的A、B两点坐标确定平面直角坐标系的位置：已知A(2,1)、B(-1,2)，结合网格可以先找到原点位置，明确x轴、y轴的方向，同时确定每个小网格对应的单位长度为1，再观察点C在坐标系中的位置，分别读取其横坐标和纵坐标即可得到答案。
【解析】
根据A(2,1)、B(-1,2)的坐标建立平面直角坐标系，如，可得每个小方格的边长为1个单位长度。观察点C的位置：点C位于y轴上，因此横坐标为0；点C在x轴下方，距离x轴1个单位长度，因此纵坐标为-1，即点C的坐标为(0,-1)，故选D。
【答案】
D
【知识点】
平面直角坐标系，点的坐标确定
【点评】
本题结合传统文化中的小篆字体考查坐标的识别，解题核心是通过已知点坐标还原坐标系，难度较低，注重对基础能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先要利用已知的A、B两点坐标确定平面直角坐标系的位置：已知A(2,1)、B(-1,2)，结合网格可以先找到原点位置，明确x轴、y轴的方向，同时确定每个小网格对应的单位长度为1，再观察点C在坐标系中的位置，分别读取其横坐标和纵坐标即可得到答案。
【解析】
根据A(2,1)、B(-1,2)的坐标建立平面直角坐标系，如
，可得每个小方格的边长为1个单位长度。观察点C的位置：点C位于y轴上，因此横坐标为0；点C在x轴下方，距离x轴1个单位长度，因此纵坐标为-1，即点C的坐标为(0,-1)，故选D。【答案】
D
【知识点】
平面直角坐标系，点的坐标确定
【点评】
本题结合传统文化中的小篆字体考查坐标的识别，解题核心是通过已知点坐标还原坐标系，难度较低，注重对基础能力的考查。
【难度系数】
0.8
2[2025辽宁丹东期中]若点$A(-3,a)$在$x$轴上，则点$B(a-1,a+2)$在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
2. B 【解析】因为点$A(-3,a)$在$x$轴上,所以$a=0$,所以$a-1=-1,a+2=2$,所以点$B(a-1,a+2)$在第二象限. 故选B.
解析
【分析】
解题的突破口是点A在x轴上这个已知条件，首先回忆x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标都为0，据此可以先求出a的值；再将a的值代入点B的横、纵坐标表达式，算出点B的具体坐标；最后根据四个象限的坐标符号特征，判断点B所在的象限即可。
【解析】
因为点$A(-3,a)$在x轴上，而x轴上的点纵坐标为0，所以$a=0$。
将$a=0$代入点B的坐标得：
横坐标$a-1=0-1=-1$，纵坐标$a+2=0+2=2$，即点B的坐标为$(-1,2)$。
根据象限的坐标符号规律：第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，可知点B在第二象限。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
x轴上点的坐标特征；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平面直角坐标系中特殊位置点的坐标性质，熟练掌握坐标轴上点的坐标规律以及各象限内点的符号特点是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题的突破口是点A在x轴上这个已知条件，首先回忆x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标都为0，据此可以先求出a的值；再将a的值代入点B的横、纵坐标表达式，算出点B的具体坐标；最后根据四个象限的坐标符号特征，判断点B所在的象限即可。
【解析】
因为点$A(-3,a)$在x轴上，而x轴上的点纵坐标为0，所以$a=0$。
将$a=0$代入点B的坐标得：
横坐标$a-1=0-1=-1$，纵坐标$a+2=0+2=2$，即点B的坐标为$(-1,2)$。
根据象限的坐标符号规律：第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，可知点B在第二象限。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
x轴上点的坐标特征；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平面直角坐标系中特殊位置点的坐标性质，熟练掌握坐标轴上点的坐标规律以及各象限内点的符号特点是解题的关键。
【难度系数】
0.9
3[2025河南安阳期末]如图,在$△ ABC$中,点A的坐标为$(0,1)$,点B的坐标为$(0,4)$,点C的坐标为$(4,3)$,平面内有一点D(不与点C重合),使$△ ABD$与$△ ABC$全等,则点D的坐标为 (
A.$(-4,3)$
B.$(-4,2)$
C.$(-4,2)$或$(-4,3)$
D.$(4,2)$或$(-4,2)$或$(-4,3)$
D
)A.$(-4,3)$
B.$(-4,2)$
C.$(-4,2)$或$(-4,3)$
D.$(4,2)$或$(-4,2)$或$(-4,3)$
答案
3. D 【解析】如图,作直线$y=2$和直线$y=3$分别与$y$轴交于点$G,H$,当$△ABD_1≅△ABC$时,$△ABD_1$和$△ABC$关于$y$轴对称,所以点$D_1$的坐标为$(-4,3)$;当$△ABD_2≅△BAC$时,$CH=D_2G=4$,所以点$D_2$的坐标为$(-4,2)$;当$△ABD_3≅△BAC$时,$CH=D_3G=4$,所以点$D_3$的坐标为$(4,2)$. 综上可知,点D的坐标为$(4,2)$或$(-4,2)$或$(-4,3)$,故选D.
关键点拨
本题考查了坐标与图形,掌握全等三角形的对应高相等是解题关键.
解析
【分析】
解题时先观察到△ABD和△ABC有公共边AB，因此AB是两个全等三角形的公共边，只需考虑另外两组对应边的对应关系即可。首先AB在y轴上，点C到y轴的距离是其横坐标的绝对值4，因此点D到y轴的距离也为4，即D点横坐标为±4；接下来分三种全等对应情况讨论点D的纵坐标：第一种是D与C关于y轴对称；另外两种是三角形沿AB翻折后，D点的纵坐标对应变化，分别计算即可得到所有符合条件的D点坐标。
【解析】
已知点A(0,1)，B(0,4)，可知边AB在y轴上，长度为4-1=3，点C(4,3)到AB（y轴）的距离为4。
因为△ABD与△ABC全等，AB为公共边，因此点D到y轴的距离等于点C到y轴的距离，即D的横坐标为4或-4，分三种情况讨论：
1. 当△ABD₁≅△ABC时，D₁与C关于y轴对称，因此D₁的坐标为(-4,3)；
2. 当△ABD₂≅△BAC时，对应高相等，D₂的纵坐标为1+(4-3)=2，横坐标为-4，因此D₂的坐标为(-4,2)；
3. 当△ABD₃≅△BAC时，D₃的纵坐标为2，横坐标为4，因此D₃的坐标为(4,2)。
综上，点D的坐标为(4,2)或(-4,2)或(-4,3)，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 坐标与图形
3. 轴对称的性质
【点评】
本题是全等三角形与平面直角坐标系结合的典型题型，解题的核心是抓住公共边AB，分情况讨论全等的对应关系，避免出现漏解的情况，同时要熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，结合全等的性质快速计算点的坐标。
【难度系数】
0.65
解题时先观察到△ABD和△ABC有公共边AB，因此AB是两个全等三角形的公共边，只需考虑另外两组对应边的对应关系即可。首先AB在y轴上，点C到y轴的距离是其横坐标的绝对值4，因此点D到y轴的距离也为4，即D点横坐标为±4；接下来分三种全等对应情况讨论点D的纵坐标：第一种是D与C关于y轴对称；另外两种是三角形沿AB翻折后，D点的纵坐标对应变化，分别计算即可得到所有符合条件的D点坐标。
【解析】
已知点A(0,1)，B(0,4)，可知边AB在y轴上，长度为4-1=3，点C(4,3)到AB（y轴）的距离为4。
因为△ABD与△ABC全等，AB为公共边，因此点D到y轴的距离等于点C到y轴的距离，即D的横坐标为4或-4，分三种情况讨论：
1. 当△ABD₁≅△ABC时，D₁与C关于y轴对称，因此D₁的坐标为(-4,3)；
2. 当△ABD₂≅△BAC时，对应高相等，D₂的纵坐标为1+(4-3)=2，横坐标为-4，因此D₂的坐标为(-4,2)；
3. 当△ABD₃≅△BAC时，D₃的纵坐标为2，横坐标为4，因此D₃的坐标为(4,2)。
综上，点D的坐标为(4,2)或(-4,2)或(-4,3)，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 坐标与图形
3. 轴对称的性质
【点评】
本题是全等三角形与平面直角坐标系结合的典型题型，解题的核心是抓住公共边AB，分情况讨论全等的对应关系，避免出现漏解的情况，同时要熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，结合全等的性质快速计算点的坐标。
【难度系数】
0.65
4[2026浙江绍兴期末]已知三角形ABC是直角三角形，A点坐标是(4,5)，B点坐标是(7,5)，那么C点坐标不可能是 (
A.(9,5)
B.(4,6)
C.(4,2)
D.(7,2)
A
)A.(9,5)
B.(4,6)
C.(4,2)
D.(7,2)
答案
4. A 【解析】因为A点坐标是$(4,5)$,B点坐标是$(7,5)$,所以$AB=7-4=3$,且$AB//x$轴. 当C点坐标是$(9,5)$时,A,B,C三点共线,无法构成三角形,所以C点坐标不可能是$(9,5)$. 当C点坐标是$(4,6)$或$(4,2)$时,点C在点A的正上方或正下方,此时三角形ABC是直角三角形. 当C点坐标是$(7,2)$时,点C在点B的正下方,此时三角形ABC是直角三角形. 故选A.
解析
【分析】
解题时先从已知的A、B两点坐标入手，先分析AB边的位置特征：A、B两点纵坐标相等，可知AB是平行于x轴的水平线段。要得到直角三角形，首先要满足三点能构成三角形（即不共线），其次存在一个内角为直角。接下来逐一分析每个选项：先判断对应C点是否和A、B共线，若共线直接排除，若不共线再验证是否能形成直角即可。
【解析】
已知A(4,5)，B(7,5)，两点纵坐标相同，因此AB平行于x轴，AB的长度为7-4=3。
逐一分析选项：
A. 若C为(9,5)，C点纵坐标也为5，说明A、B、C三点都在直线y=5上，三点共线，无法构成三角形，更不可能是直角三角形，符合题意；
B. 若C为(4,6)，C点横坐标与A点相同，说明AC平行于y轴，因此AB⊥AC，∠A为直角，△ABC是直角三角形，不符合题意；
C. 若C为(4,2)，C点横坐标与A点相同，AC平行于y轴，AB⊥AC，∠A为直角，△ABC是直角三角形，不符合题意；
D. 若C为(7,2)，C点横坐标与B点相同，BC平行于y轴，因此AB⊥BC，∠B为直角，△ABC是直角三角形，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 平面直角坐标系坐标特征
2. 直角三角形的判定
3. 三角形构成条件
【点评】
本题将平面直角坐标系和几何图形性质结合考查，解题的关键是先明确AB边的位置特征，再结合三点共线的特点、直角的判定条件逐一分析选项，易错点是容易忽略三点共线无法构成三角形的情况。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的A、B两点坐标入手，先分析AB边的位置特征：A、B两点纵坐标相等，可知AB是平行于x轴的水平线段。要得到直角三角形，首先要满足三点能构成三角形（即不共线），其次存在一个内角为直角。接下来逐一分析每个选项：先判断对应C点是否和A、B共线，若共线直接排除，若不共线再验证是否能形成直角即可。
【解析】
已知A(4,5)，B(7,5)，两点纵坐标相同，因此AB平行于x轴，AB的长度为7-4=3。
逐一分析选项：
A. 若C为(9,5)，C点纵坐标也为5，说明A、B、C三点都在直线y=5上，三点共线，无法构成三角形，更不可能是直角三角形，符合题意；
B. 若C为(4,6)，C点横坐标与A点相同，说明AC平行于y轴，因此AB⊥AC，∠A为直角，△ABC是直角三角形，不符合题意；
C. 若C为(4,2)，C点横坐标与A点相同，AC平行于y轴，AB⊥AC，∠A为直角，△ABC是直角三角形，不符合题意；
D. 若C为(7,2)，C点横坐标与B点相同，BC平行于y轴，因此AB⊥BC，∠B为直角，△ABC是直角三角形，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 平面直角坐标系坐标特征
2. 直角三角形的判定
3. 三角形构成条件
【点评】
本题将平面直角坐标系和几何图形性质结合考查，解题的关键是先明确AB边的位置特征，再结合三点共线的特点、直角的判定条件逐一分析选项，易错点是容易忽略三点共线无法构成三角形的情况。
【难度系数】
0.8
5 [2025 安徽合肥期中]
如图,平面直角坐标系中长方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(-1,2),B(-1,-1),C(1,-1),D(1,2),点P从点A出发,沿长方形的边顺时针运动,速度为每秒2个单位长度,同时点Q从点A出发,沿长方形的边逆时针运动,速度为每秒3个单位长度,记P,Q在长方形边上第一次相遇时的点为$M_1$,第二次相遇时的点为$M_2$,第三次相遇时的点为$M_3$,…,则点$M_{2025}$的坐标为 (
A.(1,0)
B.(1,2)
C.(-1,2)
D.(0,-1)
如图,平面直角坐标系中长方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(-1,2),B(-1,-1),C(1,-1),D(1,2),点P从点A出发,沿长方形的边顺时针运动,速度为每秒2个单位长度,同时点Q从点A出发,沿长方形的边逆时针运动,速度为每秒3个单位长度,记P,Q在长方形边上第一次相遇时的点为$M_1$,第二次相遇时的点为$M_2$,第三次相遇时的点为$M_3$,…,则点$M_{2025}$的坐标为 (
C
)A.(1,0)
B.(1,2)
C.(-1,2)
D.(0,-1)
答案
5. C 【解析】因为长方形ABCD的四个顶点坐标分别为$A(-1,2),B(-1,-1),C(1,-1),D(1,2)$,所以$AB=CD=2-(-1)=3,AD=BC=1-(-1)=2$,所以长方形的周长为$(3+2)×2=10$. 设经过$t$秒P,Q第一次相遇,则P点走的路程为$2t$,Q点走的路程为$3t$,根据题意得$2t+3t=10$,解得$t=2$,所以当$t=2$时,P,Q第一次相遇,此时相遇点$M_1$的坐标为$(1,0)$;易得当$t=4$时,P,Q第二次相遇,此时相遇点$M_2$的坐标为$(-1,0)$;当$t=6$时,P,Q第三次相遇,此时相遇点$M_3$的坐标为$(1,2)$;当$t=8$时,P,Q第四次相遇,此时相遇点$M_4$的坐标为$(0,-1)$;当$t=10$时,P,Q第五次相遇,此时相遇点$M_5$的坐标为$(-1,2)$;当$t=12$时,P,Q第六次相遇,此时相遇点$M_6$的坐标为$(1,0)$,所以五次相遇为一循环. 又因为$2\ 025÷5=405$,所以点$M_{2025}$的坐标为$(-1,2)$. 故选C.
解析
【分析】
解题时首先根据长方形顶点坐标计算出长方形的边长与周长，由于点P、Q同时从A点出发反向运动，因此每次相遇时两人的路程和为长方形周长的整数倍；接下来算出每次相遇的运动时间，结合运动方向确定每次相遇点的坐标，找到相遇点的循环规律，最后根据2025除以循环周期的结果确定$M_{2025}$的坐标即可。
【解析】
1. 计算长方形的边长与周长：
已知$A(-1,2),B(-1,-1),C(1,-1),D(1,2)$，则$AB=CD=2-(-1)=3$，$AD=BC=1-(-1)=2$，长方形周长为$(3+2)×2=10$。
2. 推导相遇点规律：
点P速度为2单位/秒，点Q速度为3单位/秒，两人反向运动，每次相遇时路程和为周长的n倍（n为相遇次数）。
第1次相遇：$2t+3t=10$，解得$t=2$，相遇点$M_1(1,0)$；
第2次相遇：总路程和为20，$t=4$，相遇点$M_2(-1,0)$；
第3次相遇：总路程和为30，$t=6$，相遇点$M_3(1,2)$；
第4次相遇：总路程和为40，$t=8$，相遇点$M_4(0,-1)$；
第5次相遇：总路程和为50，$t=10$，相遇点$M_5(-1,2)$；
第6次相遇：总路程和为60，$t=12$，相遇点$M_6(1,0)$，与$M_1$重合，可知相遇点每5次为一个循环，循环顺序为$(1,0),(-1,0),(1,2),(0,-1),(-1,2)$。
3. 计算$M_{2025}$的坐标：
$2025÷5=405$，没有余数，说明$M_{2025}$对应循环的最后一个点，坐标为$(-1,2)$。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系，相遇问题，周期规律探究
【点评】
本题结合了坐标系动点、行程相遇和周期规律三类考点，需要学生具备路程计算能力和规律归纳能力，通过逐步推导相遇点坐标找到循环周期是解题的核心，能够很好地考察综合分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据长方形顶点坐标计算出长方形的边长与周长，由于点P、Q同时从A点出发反向运动，因此每次相遇时两人的路程和为长方形周长的整数倍；接下来算出每次相遇的运动时间，结合运动方向确定每次相遇点的坐标，找到相遇点的循环规律，最后根据2025除以循环周期的结果确定$M_{2025}$的坐标即可。
【解析】
1. 计算长方形的边长与周长：
已知$A(-1,2),B(-1,-1),C(1,-1),D(1,2)$，则$AB=CD=2-(-1)=3$，$AD=BC=1-(-1)=2$，长方形周长为$(3+2)×2=10$。
2. 推导相遇点规律：
点P速度为2单位/秒，点Q速度为3单位/秒，两人反向运动，每次相遇时路程和为周长的n倍（n为相遇次数）。
第1次相遇：$2t+3t=10$，解得$t=2$，相遇点$M_1(1,0)$；
第2次相遇：总路程和为20，$t=4$，相遇点$M_2(-1,0)$；
第3次相遇：总路程和为30，$t=6$，相遇点$M_3(1,2)$；
第4次相遇：总路程和为40，$t=8$，相遇点$M_4(0,-1)$；
第5次相遇：总路程和为50，$t=10$，相遇点$M_5(-1,2)$；
第6次相遇：总路程和为60，$t=12$，相遇点$M_6(1,0)$，与$M_1$重合，可知相遇点每5次为一个循环，循环顺序为$(1,0),(-1,0),(1,2),(0,-1),(-1,2)$。
3. 计算$M_{2025}$的坐标：
$2025÷5=405$，没有余数，说明$M_{2025}$对应循环的最后一个点，坐标为$(-1,2)$。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系，相遇问题，周期规律探究
【点评】
本题结合了坐标系动点、行程相遇和周期规律三类考点，需要学生具备路程计算能力和规律归纳能力，通过逐步推导相遇点坐标找到循环周期是解题的核心，能够很好地考察综合分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
二、填空题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)
6 在平面直角坐标系中,若点$A(a-1,b+1)$和$B(-3,a-3)$关于直线$x=1$对称,则$a+b=$
6 在平面直角坐标系中,若点$A(a-1,b+1)$和$B(-3,a-3)$关于直线$x=1$对称,则$a+b=$
8
.答案
6. 8 【解析】因为点$A(a-1,b+1)$和$B(-3,a-3)$关于直线$x=1$对称,所以$\frac{a-1-3}{2}=1,b+1=a-3$,解得$a=6,b=2$,则$a+b=6+2=8$.
解析
【分析】
解题时先回忆关于平行于y轴的直线（x=m）对称的点的坐标特征：①对称两点的纵坐标相等；②对称两点横坐标的平均值等于m。本题中对称轴是x=1，因此可根据这两个特征列出关于a、b的方程，解方程求出a、b的值，最后计算a+b即可。
【解析】
∵点$A(a-1,b+1)$和$B(-3,a-3)$关于直线$x=1$对称
∴根据对称性质可得：
1. 两点横坐标的平均值为1：$\frac{(a-1)+(-3)}{2}=1$
2. 两点纵坐标相等：$b+1=a-3$
先解第一个方程：
$\frac{a-4}{2}=1$
$a-4=2$
$a=6$
将$a=6$代入第二个方程：
$b+1=6-3$
$b+1=3$
$b=2$
则$a+b=6+2=8$
【答案】
8
【知识点】
关于x=m的点对称特征；一元一次方程求解；代数式求值
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的对称性质的应用，解题的核心是牢记对称点的坐标规律，通过列方程求解未知参数，整体计算难度低，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆关于平行于y轴的直线（x=m）对称的点的坐标特征：①对称两点的纵坐标相等；②对称两点横坐标的平均值等于m。本题中对称轴是x=1，因此可根据这两个特征列出关于a、b的方程，解方程求出a、b的值，最后计算a+b即可。
【解析】
∵点$A(a-1,b+1)$和$B(-3,a-3)$关于直线$x=1$对称
∴根据对称性质可得：
1. 两点横坐标的平均值为1：$\frac{(a-1)+(-3)}{2}=1$
2. 两点纵坐标相等：$b+1=a-3$
先解第一个方程：
$\frac{a-4}{2}=1$
$a-4=2$
$a=6$
将$a=6$代入第二个方程：
$b+1=6-3$
$b+1=3$
$b=2$
则$a+b=6+2=8$
【答案】
8
【知识点】
关于x=m的点对称特征；一元一次方程求解；代数式求值
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的对称性质的应用，解题的核心是牢记对称点的坐标规律，通过列方程求解未知参数，整体计算难度低，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
7 [2026湖北武汉期末]如图，在平面直角坐标系中，点B(0,-1),C(4,-4),E(0,4),BC=5，点A在x轴正半轴上，线段AB与线段CE交于点D。若△EBD与△ACD面积相等，则点A到直线BC的距离是
4
。答案
7. 4 【解析】因为点$B(0,-1),C(4,-4),E(0,4)$,所以$BE=4-(-1)=5$,$△EBC$中$BE$边上的高为4. 如
,过点A作$AM⊥BC$于点M. 因为$△EBD$与$△ACD$面积相等,所以$S_{△EBD}+S_{△BDC}=S_{△ACD}+S_{△DBC}$,即$S_{△EBC}=S_{△ABC}$. 因为$BC=5$,所以$\frac{1}{2}×5×4=\frac{1}{2}×5×AM$,解得$AM=4$,即点A到直线BC的距离是4,故答案为4.解析
【分析】
解题时首先观察已知面积相等的两个三角形的位置，发现二者均和△BDC相邻，给两个三角形同时加上公共部分△BDC的面积，可将面积相等的条件转化为△EBC和△ABC面积相等。接下来先计算△EBC的面积：点E、B都在y轴上，可直接通过纵坐标差求BE的长度，以BE为底时，△EBC的高为点C到y轴的水平距离，即点C的横坐标，由此可算出△EBC的面积。最后△ABC的面积可通过“底BC×点A到BC的距离÷2”计算，结合两个三角形面积相等、BC长度已知的条件，即可求出点A到直线BC的距离。
【解析】
解：已知点$B(0,-1)$，$E(0,4)$，均在y轴上，因此$BE=4-(-1)=5$。
△EBC以BE为底时，对应的高是点C到y轴的水平距离，即点C的横坐标4，因此：
$S_{△EBC}=\frac{1}{2}×BE×4=\frac{1}{2}×5×4=10$。
因为$S_{△EBD}=S_{△ACD}$，给等式两边同时加上$S_{△BDC}$，可得：
$S_{△EBD}+S_{△BDC}=S_{△ACD}+S_{△BDC}$，即$S_{△EBC}=S_{△ABC}=10$。
过点A作$AM⊥BC$于点M，AM即为点A到直线BC的距离。
△ABC的面积也可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AM$，已知$BC=5$，代入得：
$\frac{1}{2}×5×AM=10$，解得$AM=4$。
【答案】
4
【知识点】
等积变换，三角形面积计算，点到直线的距离
【点评】
本题的核心解题技巧是利用面积和差关系进行等积转化，将已知的小三角形面积相等的条件转化为两个大三角形面积相等，无需计算点A坐标、直线解析式等内容，大幅简化了计算步骤，是平面直角坐标系中面积类问题的常用考法。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察已知面积相等的两个三角形的位置，发现二者均和△BDC相邻，给两个三角形同时加上公共部分△BDC的面积，可将面积相等的条件转化为△EBC和△ABC面积相等。接下来先计算△EBC的面积：点E、B都在y轴上，可直接通过纵坐标差求BE的长度，以BE为底时，△EBC的高为点C到y轴的水平距离，即点C的横坐标，由此可算出△EBC的面积。最后△ABC的面积可通过“底BC×点A到BC的距离÷2”计算，结合两个三角形面积相等、BC长度已知的条件，即可求出点A到直线BC的距离。
【解析】
解：已知点$B(0,-1)$，$E(0,4)$，均在y轴上，因此$BE=4-(-1)=5$。
△EBC以BE为底时，对应的高是点C到y轴的水平距离，即点C的横坐标4，因此：
$S_{△EBC}=\frac{1}{2}×BE×4=\frac{1}{2}×5×4=10$。
因为$S_{△EBD}=S_{△ACD}$，给等式两边同时加上$S_{△BDC}$，可得：
$S_{△EBD}+S_{△BDC}=S_{△ACD}+S_{△BDC}$，即$S_{△EBC}=S_{△ABC}=10$。
过点A作$AM⊥BC$于点M，AM即为点A到直线BC的距离。
△ABC的面积也可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AM$，已知$BC=5$，代入得：
$\frac{1}{2}×5×AM=10$，解得$AM=4$。
【答案】
4
【知识点】
等积变换，三角形面积计算，点到直线的距离
【点评】
本题的核心解题技巧是利用面积和差关系进行等积转化，将已知的小三角形面积相等的条件转化为两个大三角形面积相等，无需计算点A坐标、直线解析式等内容，大幅简化了计算步骤，是平面直角坐标系中面积类问题的常用考法。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共30分)
8 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-1,0),C(-5,3).
(1)请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A₁B₁C₁(其中A₁,B₁,C₁分别是A,B,C的对应点,不写画法);
(2)直接写出A₁,B₁,C₁三点的坐标:
A₁( , ),B₁( , ),C₁( , ).
8 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-1,0),C(-5,3).
(1)请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A₁B₁C₁(其中A₁,B₁,C₁分别是A,B,C的对应点,不写画法);
(2)直接写出A₁,B₁,C₁三点的坐标:
A₁( , ),B₁( , ),C₁( , ).
答案
8. 【解】(1)如
所示,$△A_1B_1C_1$即为所求.(2)根据(1)的图形可知$A_1(1,5),B_1(1,0),C_1(5,3)$. 故答案为1,5,1,0,5,3.
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数。第(1)问先找到△ABC三个顶点关于y轴的对称点，再顺次连接三个对称点即可得到所求的△A₁B₁C₁；第(2)问直接应用上述坐标规律，或结合画出的图形读取对称点坐标即可。
【解析】
(1) 先根据对称规律计算三个顶点的对称点坐标：
点A(-1,5)关于y轴对称的点A₁坐标为(1,5)，
点B(-1,0)关于y轴对称的点B₁坐标为(1,0)，
点C(-5,3)关于y轴对称的点C₁坐标为(5,3)，
在坐标系中依次描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到的△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 根据关于y轴对称的点的坐标规律，结合画出的图形，可直接读取三个对应点的坐标。
【答案】
(1) 如所示，△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 1,5；1,0；5,3
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征，轴对称作图，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系中轴对称变换的基础题，重点考查关于y轴对称的点的坐标规律的应用，牢记“关于y轴对称，横坐标变相反数、纵坐标不变”的规律即可快速解题，作图时需注意对称点位置的准确性。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数。第(1)问先找到△ABC三个顶点关于y轴的对称点，再顺次连接三个对称点即可得到所求的△A₁B₁C₁；第(2)问直接应用上述坐标规律，或结合画出的图形读取对称点坐标即可。
【解析】
(1) 先根据对称规律计算三个顶点的对称点坐标：
点A(-1,5)关于y轴对称的点A₁坐标为(1,5)，
点B(-1,0)关于y轴对称的点B₁坐标为(1,0)，
点C(-5,3)关于y轴对称的点C₁坐标为(5,3)，
在坐标系中依次描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到的△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 根据关于y轴对称的点的坐标规律，结合画出的图形，可直接读取三个对应点的坐标。
【答案】
(1) 如
所示，△A₁B₁C₁即为所求。(2) 1,5；1,0；5,3
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征，轴对称作图，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系中轴对称变换的基础题，重点考查关于y轴对称的点的坐标规律的应用，牢记“关于y轴对称，横坐标变相反数、纵坐标不变”的规律即可快速解题，作图时需注意对称点位置的准确性。
【难度系数】
0.9
9 在平面直角坐标系$xOy$中,对于点$P(x,y)$,若点$Q$的坐标为$(ax+y,x+ay)$,则称点$Q$是点$P$的“$a$级关联点”(其中$a$为常数,且$a≠0$),例如,点$P(1,4)$的“$2$级关联点”为$Q(2×1+4,1+2×4)$,即$Q(6,9)$.
(1)若点$P$的坐标为$(-1,3)$,则它的“$1$级关联点”的坐标为
(2)若点$Q$是点$P(m-2,3m)$的“$-2$级关联点”,且点$Q$位于坐标轴上,求$m$的值.
(1)若点$P$的坐标为$(-1,3)$,则它的“$1$级关联点”的坐标为
(2,2)
;(2)若点$Q$是点$P(m-2,3m)$的“$-2$级关联点”,且点$Q$位于坐标轴上,求$m$的值.
答案
9. 【解】(1)若点P的坐标为$(-1,3)$,则它的“1级关联点”的坐标为$(1×(-1)+3,-1+1×3)$,即$(2,2)$. 故答案为$(2,2)$.
(2)点$P(m-2,3m)$的“-2级关联点”为$Q(-2(m-2)+3m,m-2+(-2)×3m)$,即$Q(m+4,-5m-2)$.
①Q位于x轴上时,$-5m-2=0$,解得$m=-\frac{2}{5}$;
②Q位于y轴上时,$m+4=0$,解得$m=-4$.
综上所述,$m$的值为$-\frac{2}{5}$或$-4$.
关键点拨
正确理解题目中对“a级关联点”的定义是解决此题的关键.
(2)点$P(m-2,3m)$的“-2级关联点”为$Q(-2(m-2)+3m,m-2+(-2)×3m)$,即$Q(m+4,-5m-2)$.
①Q位于x轴上时,$-5m-2=0$,解得$m=-\frac{2}{5}$;
②Q位于y轴上时,$m+4=0$,解得$m=-4$.
综上所述,$m$的值为$-\frac{2}{5}$或$-4$.
关键点拨
正确理解题目中对“a级关联点”的定义是解决此题的关键.
解析
【分析】
本题是新定义类题型，解题首先要准确理解“a级关联点”的定义：若点P坐标为$(x,y)$，则其a级关联点Q的坐标为$(ax+y,x+ay)$。（1）问直接将$a=1$、点P的横纵坐标代入对应公式计算，即可得到关联点坐标；（2）问先根据定义用含m的代数式表示出Q的坐标，再结合坐标轴上点的坐标特征分两种情况讨论：Q在x轴上时纵坐标为0，Q在y轴上时横坐标为0，分别列一元一次方程求解即可得到m的值，注意不要遗漏任何一种情况。
【解析】
（1）已知点P坐标为$(-1,3)$，$a=1$，根据“a级关联点”的定义：
关联点横坐标为$1×(-1)+3=2$，纵坐标为$-1+1×3=2$，即坐标为$(2,2)$。
（2）先求点$P(m-2,3m)$的“-2级关联点”Q的坐标：
横坐标：$-2(m-2)+3m=m+4$
纵坐标：$(m-2)+(-2)×3m=-5m-2$
即Q点坐标为$(m+4,-5m-2)$，分两种情况讨论：
① 当Q位于x轴上时，x轴上的点纵坐标为0，可得：
$-5m-2=0$，解得$m=-\frac{2}{5}$
② 当Q位于y轴上时，y轴上的点横坐标为0，可得：
$m+4=0$，解得$m=-4$
综上，m的值为$-\frac{2}{5}$或$-4$。
【答案】
（1）$\boxed{(2,2)}$；（2）$\boxed{-\dfrac{2}{5}}$或$\boxed{-4}$
【知识点】
新定义运算，坐标轴上点的坐标特征，解一元一次方程
【点评】
本题解题核心是正确理解新定义的运算规则，求解第二问时要注意坐标轴包含x轴和y轴两种情况，需分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题是新定义类题型，解题首先要准确理解“a级关联点”的定义：若点P坐标为$(x,y)$，则其a级关联点Q的坐标为$(ax+y,x+ay)$。（1）问直接将$a=1$、点P的横纵坐标代入对应公式计算，即可得到关联点坐标；（2）问先根据定义用含m的代数式表示出Q的坐标，再结合坐标轴上点的坐标特征分两种情况讨论：Q在x轴上时纵坐标为0，Q在y轴上时横坐标为0，分别列一元一次方程求解即可得到m的值，注意不要遗漏任何一种情况。
【解析】
（1）已知点P坐标为$(-1,3)$，$a=1$，根据“a级关联点”的定义：
关联点横坐标为$1×(-1)+3=2$，纵坐标为$-1+1×3=2$，即坐标为$(2,2)$。
（2）先求点$P(m-2,3m)$的“-2级关联点”Q的坐标：
横坐标：$-2(m-2)+3m=m+4$
纵坐标：$(m-2)+(-2)×3m=-5m-2$
即Q点坐标为$(m+4,-5m-2)$，分两种情况讨论：
① 当Q位于x轴上时，x轴上的点纵坐标为0，可得：
$-5m-2=0$，解得$m=-\frac{2}{5}$
② 当Q位于y轴上时，y轴上的点横坐标为0，可得：
$m+4=0$，解得$m=-4$
综上，m的值为$-\frac{2}{5}$或$-4$。
【答案】
（1）$\boxed{(2,2)}$；（2）$\boxed{-\dfrac{2}{5}}$或$\boxed{-4}$
【知识点】
新定义运算，坐标轴上点的坐标特征，解一元一次方程
【点评】
本题解题核心是正确理解新定义的运算规则，求解第二问时要注意坐标轴包含x轴和y轴两种情况，需分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
