例题 如图1，长方形ABCD的长、宽分别为a,b，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)若用四个完全相同的长方形ABCD拼成如图2的正方形，请写出下列三个代数式$(a+b)^2,(a-b)^2,ab$之间的一个等量关系式。
(2)根据(1)中的等量关系，解决如下问题：若$x+y=7,xy=6$，求$x-y$的值。
(3)若将长方形ABCD的各边向外作正方形(如图3)，且四个正方形周长之和为32，四个正方形面积之和为20，求出长方形ABCD的面积。


拆解剖析
解:(1)图2中,大正方形的边长为$a+b$,因此面积为$(a+b)^2$,阴影部分是边长为$a-b$的正方形,因此面积为$(a-b)^2$,周围4个长方形的面积和为$4ab$,所以有$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$。
(2)因为$x+y=7,xy=6$,所以$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=49-24=25$,所以$x-y=\pm5$。
(3)设长方形ABCD的长$AB=m$,宽$BC=n$,由四个正方形周长之和为32,四个正方形面积之和为20得,$4m×2+4n×2=32,2m^2+2n^2=20$,即$m+n=4,m^2+n^2=10$,由$(m+n)^2=m^2+n^2+2mn$得,$mn=\frac{(m+n)^2-(m^2+n^2)}{2}=\frac{16-10}{2}=3$,即长方形ABCD的面积为3。

解：
(1) 图2中大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，阴影部分小正方形边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，4个长方形的面积和为$4ab$，因此可得等量关系：
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2) 已知$x+y=7$，$xy=6$，由(1)的等式变形得：
$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$
代入数值计算：
$(x-y)^2=7^2-4×6=49-24=25$
解得$x-y=\pm5$。
(3) 设长方形$ABCD$的长为$m$，宽为$n$，根据题意：
四个正方形周长之和为32，即$2×4m + 2×4n=32$，化简得$m+n=4$；
四个正方形面积之和为20，即$2m^2+2n^2=20$，化简得$m^2+n^2=10$。
由完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，变形得：
$mn=\frac{(m+n)^2-(m^2+n^2)}{2}=\frac{4^2-10}{2}=\frac{16-10}{2}=3$
答：长方形$ABCD$的面积为3。