登录
阅读材料并回答问题.
[方法呈现]
(1)我们把多项式$a^2+2ab+b^2$及$a^2-2ab+b^2$叫作完全平方式.在运用完全平方公式进行因式分解时,关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式.借助完全平方公式,把一个多项式进行局部因式分解可以解决代数式值的最小或最大问题.
例如,$x^2+2x+3=(x^2+2x+1)+2=(x+1)^2+2$.
$\because (x+1)^2≥0,\therefore (x+1)^2+2≥2$.
代数式$x^2+2x+3$的最小值是
[类比迁移]
(2)求代数式$-x^2+16x+20$的最小或最大值,并写出相应的$x$的值.
[学以致用]
(3)在紧靠围墙的空地上,利用围墙(墙长不限)及一段长为40米的木栅栏,围成一个长方形花圃ABCD(如图),此长方形花圃的一边为围墙的一部分,其余三边为木栅栏,为了设计一个面积尽可能大的花圃,设长方形花圃垂直于墙的一边AB的长为x米,x取何值时,花圃的面积最大?最大面积是多少平方米?
[拓展延伸]
(4)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长,满足$a^2+b^2=10a+8b-41$,且$△ ABC$中最长边的长为$c$,求$c$的取值范围.
[方法呈现]
(1)我们把多项式$a^2+2ab+b^2$及$a^2-2ab+b^2$叫作完全平方式.在运用完全平方公式进行因式分解时,关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式.借助完全平方公式,把一个多项式进行局部因式分解可以解决代数式值的最小或最大问题.
例如,$x^2+2x+3=(x^2+2x+1)+2=(x+1)^2+2$.
$\because (x+1)^2≥0,\therefore (x+1)^2+2≥2$.
代数式$x^2+2x+3$的最小值是
2
,这时相应的$x$的值是-1
.[类比迁移]
(2)求代数式$-x^2+16x+20$的最小或最大值,并写出相应的$x$的值.
[学以致用]
(3)在紧靠围墙的空地上,利用围墙(墙长不限)及一段长为40米的木栅栏,围成一个长方形花圃ABCD(如图),此长方形花圃的一边为围墙的一部分,其余三边为木栅栏,为了设计一个面积尽可能大的花圃,设长方形花圃垂直于墙的一边AB的长为x米,x取何值时,花圃的面积最大?最大面积是多少平方米?
[拓展延伸]
(4)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长,满足$a^2+b^2=10a+8b-41$,且$△ ABC$中最长边的长为$c$,求$c$的取值范围.
答案
(1)2 -1
(2)代数式$-x^2+16x+20$的最大值是84,这时相应的$x$的值为8
(3)当$x=10$时,花圃的面积最大,最大面积是200平方米
(4)$5＜c＜9$
(2)代数式$-x^2+16x+20$的最大值是84,这时相应的$x$的值为8
(3)当$x=10$时,花圃的面积最大,最大面积是200平方米
(4)$5＜c＜9$
解析
【分析】
本题围绕配方法结合完全平方公式的非负性求解代数式最值，同时结合实际应用与三角形三边关系考查知识迁移能力。解题思路：(1)直接根据给出的配方结果，利用平方的非负性，当平方项为0时代数式取最小值，对应求出x即可；(2)对于二次项系数为负的代数式，先提取负号，再对剩余部分配方，结合平方非负性判断最大值及对应x值；(3)先根据题意用x表示出花圃的面积表达式，再配方求最值；(4)先将等式移项配方，利用非负性求出a、b的值，再结合三角形三边关系及最长边的条件求出c的范围。
【解析】
(1) 由配方结果$x^2+2x+3=(x+1)^2+2$，$\because (x+1)^2≥0$，$\therefore$当$(x+1)^2=0$时，代数式取最小值，最小值为$0+2=2$，此时$x+1=0$，解得$x=-1$。
(2) 对$-x^2+16x+20$配方：
首先提取负号：$-x^2+16x+20=-(x^2-16x)+20$
配方得：$-(x^2-16x+64-64)+20=-(x-8)^2+64+20=-(x-8)^2+84$
$\because (x-8)^2≥0$，$\therefore -(x-8)^2≤0$，当$-(x-8)^2=0$时，代数式取最大值，最大值为$0+84=84$，此时$x-8=0$，解得$x=8$。
(3) 已知AB长为x米（垂直于墙），则平行于墙的BC边长为$(40-2x)$米，花圃面积$S=x(40-2x)$
展开并配方：$S=-2x^2+40x=-2(x^2-20x)=-2(x^2-20x+100-100)=-2(x-10)^2+200$
$\because -2(x-10)^2≤0$，$\therefore$当$-2(x-10)^2=0$时，S取最大值，最大值为200平方米，此时$x-10=0$，解得$x=10$。
(4) 对$a^2+b^2=10a+8b-41$移项得：$a^2-10a+b^2-8b+41=0$
配方：$(a^2-10a+25)+(b^2-8b+16)=0$，即$(a-5)^2+(b-4)^2=0$
$\because$平方具有非负性，$\therefore a-5=0$，$b-4=0$，解得$a=5$，$b=4$。
$\because c$是$△ ABC$最长边，$\therefore c＞a=5$，又根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，$\therefore c＜a+b=5+4=9$，故$5＜c＜9$。
【答案】
(1) 2，-1
(2) 代数式$-x^2+16x+20$的最大值是84，这时相应的$x$的值为8
(3) 当$x=10$时，花圃的面积最大，最大面积是200平方米
(4) $5＜c＜9$
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，三角形三边关系
【点评】
本题将配方法、完全平方公式的非负性与代数式最值求解、实际生活应用、几何三角形三边关系相结合，既考查基础配方能力，也考查知识迁移与综合应用的能力，解题的核心是掌握配方技巧，灵活运用平方的非负性分析问题。
【难度系数】
0.7
本题围绕配方法结合完全平方公式的非负性求解代数式最值，同时结合实际应用与三角形三边关系考查知识迁移能力。解题思路：(1)直接根据给出的配方结果，利用平方的非负性，当平方项为0时代数式取最小值，对应求出x即可；(2)对于二次项系数为负的代数式，先提取负号，再对剩余部分配方，结合平方非负性判断最大值及对应x值；(3)先根据题意用x表示出花圃的面积表达式，再配方求最值；(4)先将等式移项配方，利用非负性求出a、b的值，再结合三角形三边关系及最长边的条件求出c的范围。
【解析】
(1) 由配方结果$x^2+2x+3=(x+1)^2+2$，$\because (x+1)^2≥0$，$\therefore$当$(x+1)^2=0$时，代数式取最小值，最小值为$0+2=2$，此时$x+1=0$，解得$x=-1$。
(2) 对$-x^2+16x+20$配方：
首先提取负号：$-x^2+16x+20=-(x^2-16x)+20$
配方得：$-(x^2-16x+64-64)+20=-(x-8)^2+64+20=-(x-8)^2+84$
$\because (x-8)^2≥0$，$\therefore -(x-8)^2≤0$，当$-(x-8)^2=0$时，代数式取最大值，最大值为$0+84=84$，此时$x-8=0$，解得$x=8$。
(3) 已知AB长为x米（垂直于墙），则平行于墙的BC边长为$(40-2x)$米，花圃面积$S=x(40-2x)$
展开并配方：$S=-2x^2+40x=-2(x^2-20x)=-2(x^2-20x+100-100)=-2(x-10)^2+200$
$\because -2(x-10)^2≤0$，$\therefore$当$-2(x-10)^2=0$时，S取最大值，最大值为200平方米，此时$x-10=0$，解得$x=10$。
(4) 对$a^2+b^2=10a+8b-41$移项得：$a^2-10a+b^2-8b+41=0$
配方：$(a^2-10a+25)+(b^2-8b+16)=0$，即$(a-5)^2+(b-4)^2=0$
$\because$平方具有非负性，$\therefore a-5=0$，$b-4=0$，解得$a=5$，$b=4$。
$\because c$是$△ ABC$最长边，$\therefore c＞a=5$，又根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，$\therefore c＜a+b=5+4=9$，故$5＜c＜9$。
【答案】
(1) 2，-1
(2) 代数式$-x^2+16x+20$的最大值是84，这时相应的$x$的值为8
(3) 当$x=10$时，花圃的面积最大，最大面积是200平方米
(4) $5＜c＜9$
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，三角形三边关系
【点评】
本题将配方法、完全平方公式的非负性与代数式最值求解、实际生活应用、几何三角形三边关系相结合，既考查基础配方能力，也考查知识迁移与综合应用的能力，解题的核心是掌握配方技巧，灵活运用平方的非负性分析问题。
【难度系数】
0.7
