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1. [2026湖南师大附中月考]某平原有一条很直的小河和两个村庄,要在此小河边的某处修建一个向这两个村庄供水的水泵站.某同学用直线l(虚线)表示小河,用P,Q两点表示村庄,线段(实线)表示铺设的管道,画出了如下四个示意图,则所需管道最短的是 (
C
)答案
1 C
解析
【分析】
要解决在小河l上修建水泵站M使到两个村庄P、Q的管道总长最短的问题，本质是在直线l上找一点M，使得PM+MQ的和最小。解题思路是利用轴对称性质，将同侧两点的线段和问题转化为异侧两点的线段问题：先作其中一个点关于直线l的对称点，再连接对称点与另一个点，该连线与直线l的交点就是所求的M点，根据两点之间线段最短，此时PM+MQ的和最小。
【解析】
我们的目标是在直线l上选取点M，使PM+QM的长度和最小，对应“将军饮马”最短路径模型：
1. 作点P关于直线l的对称点P'，根据轴对称性质，可得PM=P'M，因此PM+QM=P'M+QM；
2. 根据两点之间线段最短，当P'、M、Q三点共线时，P'M+QM的和最小，等于P'Q的长度，此时M为P'Q与直线l的交点。
逐一判断选项：
选项A：M为PQ的垂直平分线与l的交点，不符合上述最短路径作图，无法保证PM+QM最短，错误；
选项B：M是点P向l作垂线的垂足，不符合最短路径的作图要求，管道总长不是最短，错误；
选项C：符合“作P的对称点后连接对称点与Q，交l于M”的作图，此时管道总长最短，正确；
选项D：M是点Q向l作垂线的垂足，不符合最短路径的作图要求，管道总长不是最短，错误。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的实际应用问题，核心是掌握“将军饮马”模型的作图原理，通过轴对称实现线段的等量转化，结合两点之间线段最短的结论即可快速判断。
【难度系数】
0.7
要解决在小河l上修建水泵站M使到两个村庄P、Q的管道总长最短的问题，本质是在直线l上找一点M，使得PM+MQ的和最小。解题思路是利用轴对称性质，将同侧两点的线段和问题转化为异侧两点的线段问题：先作其中一个点关于直线l的对称点，再连接对称点与另一个点，该连线与直线l的交点就是所求的M点，根据两点之间线段最短，此时PM+MQ的和最小。
【解析】
我们的目标是在直线l上选取点M，使PM+QM的长度和最小，对应“将军饮马”最短路径模型：
1. 作点P关于直线l的对称点P'，根据轴对称性质，可得PM=P'M，因此PM+QM=P'M+QM；
2. 根据两点之间线段最短，当P'、M、Q三点共线时，P'M+QM的和最小，等于P'Q的长度，此时M为P'Q与直线l的交点。
逐一判断选项：
选项A：M为PQ的垂直平分线与l的交点，不符合上述最短路径作图，无法保证PM+QM最短，错误；
选项B：M是点P向l作垂线的垂足，不符合最短路径的作图要求，管道总长不是最短，错误；
选项C：符合“作P的对称点后连接对称点与Q，交l于M”的作图，此时管道总长最短，正确；
选项D：M是点Q向l作垂线的垂足，不符合最短路径的作图要求，管道总长不是最短，错误。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的实际应用问题，核心是掌握“将军饮马”模型的作图原理，通过轴对称实现线段的等量转化，结合两点之间线段最短的结论即可快速判断。
【难度系数】
0.7
2. [2025 马鞍山七中期末]如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,4),(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A,B,C三点不在同一条直线上.当△ABC的周长最小时,点C的坐标是 (
A.(0,0)
B.(0,1)
C.(0,2)
D.(0,3)
D
)A.(0,0)
B.(0,1)
C.(0,2)
D.(0,3)
答案
2 D 作点B关于y轴的对称点B',连接AB'交y轴于点C,此时△ABC的周长最小.
∵ 点B的坐标为(3,0),
∴ 点B'的坐标为(-3,0),设直线AB'的函数表达式为y = kx + b,则
$\begin{cases}k + b = 4,\\-3k + b = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 1,\\b = 3,\end{cases}$
∴ y = x + 3,当x = 0时,y = 3,
∴ 点C的坐标是(0,3).
∵ 点B的坐标为(3,0),
∴ 点B'的坐标为(-3,0),设直线AB'的函数表达式为y = kx + b,则
$\begin{cases}k + b = 4,\\-3k + b = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 1,\\b = 3,\end{cases}$
∴ y = x + 3,当x = 0时,y = 3,
∴ 点C的坐标是(0,3).
解析
【分析】
要使△ABC的周长最小，由于A、B是定点，线段AB的长度为固定值，因此只需满足AC + BC的长度和最小即可，属于典型的“将军饮马”最短路径问题。解题思路为：先作点B关于y轴的对称点B'，根据轴对称性质可知BC = B'C，因此AC + BC可转化为AC + B'C，当A、C、B'三点共线时，AC + B'C的和最小，此时AB'与y轴的交点就是所求的点C，最后求出直线AB'的解析式，计算它与y轴的交点坐标即可。
【解析】
∵ 点A、B为定点，
∴ 线段AB的长度为定值，要使△ABC周长最小，只需AC + BC的和最小。
作点B关于y轴的对称点B'，连接AB'交y轴于点C，此时AC + BC最小，即△ABC周长最小。
已知点B坐标为(3,0)，根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相等，可得B'坐标为(-3,0)。
设直线AB'的函数表达式为$y = kx + b$，将$A(1,4)$、$B'(-3,0)$代入得：
$\begin{cases}k + b = 4\\-3k + b = 0\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得$4k=4$，解得$k=1$，
将$k=1$代入$k + b = 4$，得$b=3$，
∴ 直线AB'的解析式为$y = x + 3$。
y轴上点的横坐标为0，令$x=0$，得$y=0+3=3$，
∴ 点C的坐标为$(0,3)$。
【答案】D
【知识点】
轴对称最短路径；待定系数法求一次函数解析式；一次函数点的坐标特征
【点评】
本题是最短路径问题与一次函数的综合基础题，解题核心是利用轴对称将两条线段和的最小值问题转化为两点之间线段最短的问题，再结合一次函数知识求解交点，是几何最值类的典型考法。
【难度系数】
0.7
要使△ABC的周长最小，由于A、B是定点，线段AB的长度为固定值，因此只需满足AC + BC的长度和最小即可，属于典型的“将军饮马”最短路径问题。解题思路为：先作点B关于y轴的对称点B'，根据轴对称性质可知BC = B'C，因此AC + BC可转化为AC + B'C，当A、C、B'三点共线时，AC + B'C的和最小，此时AB'与y轴的交点就是所求的点C，最后求出直线AB'的解析式，计算它与y轴的交点坐标即可。
【解析】
∵ 点A、B为定点，
∴ 线段AB的长度为定值，要使△ABC周长最小，只需AC + BC的和最小。
作点B关于y轴的对称点B'，连接AB'交y轴于点C，此时AC + BC最小，即△ABC周长最小。
已知点B坐标为(3,0)，根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相等，可得B'坐标为(-3,0)。
设直线AB'的函数表达式为$y = kx + b$，将$A(1,4)$、$B'(-3,0)$代入得：
$\begin{cases}k + b = 4\\-3k + b = 0\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得$4k=4$，解得$k=1$，
将$k=1$代入$k + b = 4$，得$b=3$，
∴ 直线AB'的解析式为$y = x + 3$。
y轴上点的横坐标为0，令$x=0$，得$y=0+3=3$，
∴ 点C的坐标为$(0,3)$。
【答案】D
【知识点】
轴对称最短路径；待定系数法求一次函数解析式；一次函数点的坐标特征
【点评】
本题是最短路径问题与一次函数的综合基础题，解题核心是利用轴对称将两条线段和的最小值问题转化为两点之间线段最短的问题，再结合一次函数知识求解交点，是几何最值类的典型考法。
【难度系数】
0.7
3. [2026 湛江期中] 如图,在四边形ABCD中,∠DAB=130°,∠D=∠B=90°,点M,N分别是BC,CD上的两个动点,当△AMN的周长最小时,∠AMN + ∠ANM =
100
°.答案
3 100 如图,分别作点A关于直线BC的对称点A',关于直线CD的对称点A'',连接A'A'',分别与BC,CD交于点M,N,此时△AMN的周长最小 .
∵ ∠DAB = 130°,
∴ ∠A' + ∠A'' = 180° - 130° = 50°.由题意,得AB = A'B,AM = A'M,BM = BM,
∴ △ABM ≌ △A' BM ( SSS ),
∴ ∠A' = ∠A' AM. 同理∠A'' = ∠A''AN.
∵ ∠AMN = ∠A' + ∠A' AM = 2∠A', ∠ANM = ∠A'' + ∠A''AN = 2∠A'',
∴ ∠AMN + ∠ANM = 2∠A' + 2∠A'' = 2( ∠A' + ∠A'' ) = 2 × 50° = 100°.
解析
【分析】
要解决本题，需分两步思考：第一步先确定△AMN周长最小时M、N的位置：根据“两点之间线段最短”，利用轴对称变换将三角形的三条边转化为两点之间的线段，即分别作点A关于BC、CD的对称点A'、A''，连接A'A''与BC、CD的交点就是所求的M、N，此时周长最小。第二步计算角度：利用轴对称的性质得到对应角相等，再结合三角形外角的性质，把待求的∠AMN+∠ANM转化为∠A'与∠A''之和的2倍，最后结合已知∠DAB的度数求出结果即可。
【解析】
分别作点A关于直线BC的对称点A'，关于直线CD的对称点A''，连接A'A''，分别与BC、CD交于点M、N，此时△AMN的周长最小。
已知∠DAB=130°，∠B和∠D均为直角，因此∠A'+∠A''=180°-130°=50°。
由轴对称性质可得AB=A'B，AM=A'M，又BM为公共边，因此△ABM≌△A'BM（SSS），可得∠A'=∠A'AM。同理可证∠A''=∠A''AN。
根据三角形外角的性质：∠AMN是△A'AM的外角，故∠AMN=∠A'+∠A'AM=2∠A'；∠ANM是△A''AN的外角，故∠ANM=∠A''+∠A''AN=2∠A''。
因此∠AMN+∠ANM=2∠A'+2∠A''=2(∠A'+∠A'')=2×50°=100°。
【答案】
100
【知识点】
轴对称的性质、最短路径问题、三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了最短路径的求解和角度的计算，解题的核心是正确通过作对称点确定动点的位置，同时要能灵活运用轴对称的性质和三角形的相关性质推导角度关系，是轴对称应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需分两步思考：第一步先确定△AMN周长最小时M、N的位置：根据“两点之间线段最短”，利用轴对称变换将三角形的三条边转化为两点之间的线段，即分别作点A关于BC、CD的对称点A'、A''，连接A'A''与BC、CD的交点就是所求的M、N，此时周长最小。第二步计算角度：利用轴对称的性质得到对应角相等，再结合三角形外角的性质，把待求的∠AMN+∠ANM转化为∠A'与∠A''之和的2倍，最后结合已知∠DAB的度数求出结果即可。
【解析】
分别作点A关于直线BC的对称点A'，关于直线CD的对称点A''，连接A'A''，分别与BC、CD交于点M、N，此时△AMN的周长最小。
已知∠DAB=130°，∠B和∠D均为直角，因此∠A'+∠A''=180°-130°=50°。
由轴对称性质可得AB=A'B，AM=A'M，又BM为公共边，因此△ABM≌△A'BM（SSS），可得∠A'=∠A'AM。同理可证∠A''=∠A''AN。
根据三角形外角的性质：∠AMN是△A'AM的外角，故∠AMN=∠A'+∠A'AM=2∠A'；∠ANM是△A''AN的外角，故∠ANM=∠A''+∠A''AN=2∠A''。
因此∠AMN+∠ANM=2∠A'+2∠A''=2(∠A'+∠A'')=2×50°=100°。
【答案】
100
【知识点】
轴对称的性质、最短路径问题、三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了最短路径的求解和角度的计算，解题的核心是正确通过作对称点确定动点的位置，同时要能灵活运用轴对称的性质和三角形的相关性质推导角度关系，是轴对称应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
4. [2025宿州期中]如图,在$△ ABC$中,AD是$△ ABC$的角平分线,点E,F分别是AD,AB上的动点,$∠ BAC = 60°$,当$BE + EF$的值最小时,$∠ AEB$的度数为(
A.$105°$
B.$115°$
C.$120°$
D.$130°$
C
)A.$105°$
B.$115°$
C.$120°$
D.$130°$
答案
4 C 如图,过点B作BB'⊥AD于点G,交AC于点B',过点B'作B'F'⊥AB于点F',与AD交于点E',连接BE',B'E.
∵ AD是△ABC的角平分线,
∴ ∠BAD = ∠B'AD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 30°.
∵ BB'⊥AD,
∴ ∠AGB = ∠AGB' = 90°.又
∵ AG = AG,
∴ △ABG≌△AB'G(ASA),
∴ BG = B'G,AB = AB',
∴ AD 垂直平分 BB',
∴ BE = B'E,
∴ EF + BE = EF + B'E,
∴ 当点E在点E'处,点F在点F'处时,EF + BE 的值最小.
∵ AB = AB',AE' = AE',
B E' = B' E',
∴ △ABE'≌ △AB' E' ( SSS ),
∴ ∠AE' B = ∠AE'B'.
∵ B'F'⊥AB,
∴ ∠AF'B' = 90°.
∵ ∠AE'B' = ∠BAD + ∠AF'B' = 30° + 90° = 120°,
∴ ∠AE'B = 120°,即当 BE + EF的值最小时,∠AEB 的度数为 120°.
解析
【分析】
本题属于最短路径结合角度计算的几何题，解题思路如下：要使BE+EF的值最小，需利用轴对称性质转化线段：AD是∠BAC的角平分线，因此点B关于AD的对称点落在AC上，记为B'，此时BE=B'E，BE+EF可转化为B'E+EF；根据“垂线段最短”，当B'、E、F三点共线且B'F垂直AB时，B'E+EF的值最小，最后结合全等三角形性质和三角形外角性质即可求出∠AEB的度数。
【解析】
如图，过点B作BB'⊥AD于点G，交AC于点B'，过点B'作B'F'⊥AB于点F'，与AD交于点E'，连接BE'，B'E。
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠B'AD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}×60°=30°$。
∵ BB'⊥AD，
∴ ∠AGB = ∠AGB' = 90°，
又
∵ AG = AG，
∴ △ABG≌△AB'G(ASA)，
∴ BG = B'G，AB = AB'，
∴ AD垂直平分BB'，
∴ BE = B'E，
∴ EF + BE = EF + B'E，
∴ 当点E在点E'处，点F在点F'处时，EF + BE的值最小。
∵ AB = AB'，AE' = AE'，BE' = B'E'，
∴ △ABE'≌ △AB' E' (SSS)，
∴ ∠AE' B = ∠AE'B'。
∵ B'F'⊥AB，
∴ ∠AF'B' = 90°。
∵ ∠AE'B'是△AF'E'的外角，
∴ ∠AE'B' = ∠BAD + ∠AF'B' = 30° + 90° = 120°，
∴ ∠AE'B = 120°，即当 BE + EF的值最小时，∠AEB 的度数为 120°。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是轴对称最值问题的典型考法，解题核心是利用角平分线的对称性作对称点，将两条线段的和转化为可求最小值的线段组合，再结合三角形的相关性质计算角度，能够很好地考查学生的转化思维和几何性质综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题属于最短路径结合角度计算的几何题，解题思路如下：要使BE+EF的值最小，需利用轴对称性质转化线段：AD是∠BAC的角平分线，因此点B关于AD的对称点落在AC上，记为B'，此时BE=B'E，BE+EF可转化为B'E+EF；根据“垂线段最短”，当B'、E、F三点共线且B'F垂直AB时，B'E+EF的值最小，最后结合全等三角形性质和三角形外角性质即可求出∠AEB的度数。
【解析】
如图，过点B作BB'⊥AD于点G，交AC于点B'，过点B'作B'F'⊥AB于点F'，与AD交于点E'，连接BE'，B'E。
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠B'AD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}×60°=30°$。
∵ BB'⊥AD，
∴ ∠AGB = ∠AGB' = 90°，
又
∵ AG = AG，
∴ △ABG≌△AB'G(ASA)，
∴ BG = B'G，AB = AB'，
∴ AD垂直平分BB'，
∴ BE = B'E，
∴ EF + BE = EF + B'E，
∴ 当点E在点E'处，点F在点F'处时，EF + BE的值最小。
∵ AB = AB'，AE' = AE'，BE' = B'E'，
∴ △ABE'≌ △AB' E' (SSS)，
∴ ∠AE' B = ∠AE'B'。
∵ B'F'⊥AB，
∴ ∠AF'B' = 90°。
∵ ∠AE'B'是△AF'E'的外角，
∴ ∠AE'B' = ∠BAD + ∠AF'B' = 30° + 90° = 120°，
∴ ∠AE'B = 120°，即当 BE + EF的值最小时，∠AEB 的度数为 120°。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是轴对称最值问题的典型考法，解题核心是利用角平分线的对称性作对称点，将两条线段的和转化为可求最小值的线段组合，再结合三角形的相关性质计算角度，能够很好地考查学生的转化思维和几何性质综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5. [2026六安金安区期末]如图，$∠ AOB = 45°$,点$M,N$分别在射线$OA,OB$上,$MN = 8$, $△ OMN$的面积为12,$P$是直线$MN$上的动点,点$P$关于$OA$对称的点为$P_1$,点$P$关于$OB$对称的点为$P_2$,当点$P$在直线$NM$上运动时,$△ OP_1P_2$的面积的最小值为
$\frac{9}{2}$
.答案
5 $\frac{9}{2}$ 解题思路:连接OP,根据轴对称的性质可得∠AOP = ∠AOP₁,∠BOP = ∠BOP₂,OP₁ = OP = OP₂,从而可得∠P₁OP₂ = 90°,然后利用三角形的面积公式可得△OP₁P₂的面积为$\frac{1}{2}OP^2$,可知当OP取最小值时,△OP₁P₂的面积最小.
过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H,可知当点P与点H重合时,OP取得最小值,利用面积求出OH,△OP₁P₂的面积的最小值即可得解.
如图,连接OP.
∵ 点P关于OA对称的点为P₁,点P关于OB对称的点为P₂,
∴ ∠AOP = ∠AOP₁,∠BOP = ∠BOP₂,OP₁ = OP = OP₂,
∴ ∠P₁OP₂ = 2( ∠AOP + ∠BOP ) = 2∠AOB = 90°,
∴ △OP₁P₂的面积为$\frac{1}{2}OP_1 · OP_2 = \frac{1}{2}OP^2$,故当OP取最小值时,△OP₁P₂的面积最小. 过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H,由垂线段最短可知,当点P与点H重合时,OP取得最小值.
∵ $S_{△ OMN} = \frac{1}{2}MN · OH = 12$,且MN = 8,
∴ OH = 3,
即OP的最小值为3,
∴ △OP₁P₂的面积的最小值为$\frac{1}{2} × 3^2 = \frac{9}{2}$.
解析
【分析】
遇到点关于直线对称的问题，首先结合轴对称的性质分析：连接OP，可得对称点到O点的距离相等，即$OP_1=OP=OP_2$，且对应角相等，进而推出$∠ P_1OP_2=2∠ AOB=90°$，可知$△ OP_1P_2$是等腰直角三角形，其面积可表示为$\frac{1}{2}OP^2$，因此要让$△ OP_1P_2$面积最小，只需让OP长度最小。再根据垂线段最短，OP的最小值为点O到直线MN的垂线段长度，利用$△ OMN$的面积即可求出该垂线段长度，最终代入公式得到面积最小值。
【解析】
解：连接OP，
∵ 点P关于OA对称的点为$P_1$，点P关于OB对称的点为$P_2$，
∴ $∠ AOP = ∠ AOP_1$，$∠ BOP = ∠ BOP_2$，$OP_1 = OP = OP_2$，
∴ $∠ P_1OP_2 = 2(∠ AOP + ∠ BOP) = 2∠ AOB$，
∵ $∠ AOB=45°$，
∴ $∠ P_1OP_2=2×45°=90°$，
∴ $△ OP_1P_2$的面积$S=\frac{1}{2}· OP_1· OP_2=\frac{1}{2}OP^2$，因此当OP取最小值时，$△ OP_1P_2$的面积最小。
根据垂线段最短，过点O作$OH⊥ MN$交NM的延长线于H，当点P与H重合时，OP取得最小值，最小值为OH的长度。
已知$S_{△ OMN}=\frac{1}{2}· MN· OH=12$，$MN=8$，
代入得$\frac{1}{2}×8× OH=12$，解得$OH=3$，即OP的最小值为3，
∴ $△ OP_1P_2$的面积的最小值为$\frac{1}{2}×3^2=\frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
轴对称的性质，垂线段最短，三角形面积计算
【点评】
本题是对称类最值问题的典型考法，核心是通过轴对称性质将待求三角形的面积转化为与OP长度相关的表达式，把陌生的最值问题转化为点到直线最短距离的常见问题，考查几何性质的综合运用和转化思想。
【难度系数】
0.6
遇到点关于直线对称的问题，首先结合轴对称的性质分析：连接OP，可得对称点到O点的距离相等，即$OP_1=OP=OP_2$，且对应角相等，进而推出$∠ P_1OP_2=2∠ AOB=90°$，可知$△ OP_1P_2$是等腰直角三角形，其面积可表示为$\frac{1}{2}OP^2$，因此要让$△ OP_1P_2$面积最小，只需让OP长度最小。再根据垂线段最短，OP的最小值为点O到直线MN的垂线段长度，利用$△ OMN$的面积即可求出该垂线段长度，最终代入公式得到面积最小值。
【解析】
解：连接OP，
∵ 点P关于OA对称的点为$P_1$，点P关于OB对称的点为$P_2$，
∴ $∠ AOP = ∠ AOP_1$，$∠ BOP = ∠ BOP_2$，$OP_1 = OP = OP_2$，
∴ $∠ P_1OP_2 = 2(∠ AOP + ∠ BOP) = 2∠ AOB$，
∵ $∠ AOB=45°$，
∴ $∠ P_1OP_2=2×45°=90°$，
∴ $△ OP_1P_2$的面积$S=\frac{1}{2}· OP_1· OP_2=\frac{1}{2}OP^2$，因此当OP取最小值时，$△ OP_1P_2$的面积最小。
根据垂线段最短，过点O作$OH⊥ MN$交NM的延长线于H，当点P与H重合时，OP取得最小值，最小值为OH的长度。
已知$S_{△ OMN}=\frac{1}{2}· MN· OH=12$，$MN=8$，
代入得$\frac{1}{2}×8× OH=12$，解得$OH=3$，即OP的最小值为3，
∴ $△ OP_1P_2$的面积的最小值为$\frac{1}{2}×3^2=\frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
轴对称的性质，垂线段最短，三角形面积计算
【点评】
本题是对称类最值问题的典型考法，核心是通过轴对称性质将待求三角形的面积转化为与OP长度相关的表达式，把陌生的最值问题转化为点到直线最短距离的常见问题，考查几何性质的综合运用和转化思想。
【难度系数】
0.6
