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一、填空题
1. 如图，甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向山峰进发，甲队从距大本营1 km 的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km 的二号营地出发，每小时行进0.8 km. 经过
1. 如图，甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向山峰进发，甲队从距大本营1 km 的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km 的二号营地出发，每小时行进0.8 km. 经过
5
h后，甲队在途中追上乙队.答案
1. 5
解析
【分析】
这是一道行程类追及问题，解题核心是找到甲队追上乙队时的等量关系：此时两队距离大本营的总路程相等。我们可以先设经过的时间为未知数，再分别用含未知数的式子表示出x小时后甲、乙两队距离大本营的路程，令两个式子相等列出一元一次方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设经过$x$小时后，甲队在途中追上乙队。
$x$小时后甲队距大本营的总路程为：初始距离+行进路程，即$1+1.2x$（km）；
$x$小时后乙队距大本营的总路程为：初始距离+行进路程，即$3+0.8x$（km）。
甲追上乙时两队距大本营的路程相等，可列方程：
$1 + 1.2x = 3 + 0.8x$
移项得：$1.2x - 0.8x = 3 - 1$
合并同类项得：$0.4x = 2$
系数化为1得：$x = 5$
经检验，$x=5$符合实际题意。
【答案】
5
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程追及问题
【点评】
本题是基础的行程类应用题，解题关键是抓住追及状态下两队的路程等量关系，结合“路程=速度×时间”的关系列方程求解即可，熟练掌握追及问题的等量特征能快速解题。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类追及问题，解题核心是找到甲队追上乙队时的等量关系：此时两队距离大本营的总路程相等。我们可以先设经过的时间为未知数，再分别用含未知数的式子表示出x小时后甲、乙两队距离大本营的路程，令两个式子相等列出一元一次方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设经过$x$小时后，甲队在途中追上乙队。
$x$小时后甲队距大本营的总路程为：初始距离+行进路程，即$1+1.2x$（km）；
$x$小时后乙队距大本营的总路程为：初始距离+行进路程，即$3+0.8x$（km）。
甲追上乙时两队距大本营的路程相等，可列方程：
$1 + 1.2x = 3 + 0.8x$
移项得：$1.2x - 0.8x = 3 - 1$
合并同类项得：$0.4x = 2$
系数化为1得：$x = 5$
经检验，$x=5$符合实际题意。
【答案】
5
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程追及问题
【点评】
本题是基础的行程类应用题，解题关键是抓住追及状态下两队的路程等量关系，结合“路程=速度×时间”的关系列方程求解即可，熟练掌握追及问题的等量特征能快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，七个相同的小长方形拼成一个大长方形，若大长方形的宽是14 cm，则大长方形的面积为
280
cm²。答案
2. 280
解析
【分析】
解决本题的核心是先找到小长方形长和宽的等量关系：首先观察拼接特征，一是大长方形的宽等于1个小长方形的长加1个小长方形的宽，即长+宽=14cm；二是大长方形的长既等于2个小长方形的长之和，也等于5个小长方形的宽之和，即2×小长方形长=5×小长方形宽。我们可以设小长方形的宽为未知数，用含未知数的式子表示出小长方形的长，再结合第一个等量关系列一元一次方程求解，最后计算大长方形的面积即可。
【解析】
设小长方形的宽为$ x $ cm，根据“2个小长方形的长等于5个小长方形的宽”，可得小长方形的长为$ \frac{5}{2}x $ cm。
已知大长方形的宽是14cm，即小长方形的长与宽的和为14cm，列方程：
$ x + \frac{5}{2}x = 14 $
合并同类项得：$ \frac{7}{2}x = 14 $
解得：$ x = 4 $
则小长方形的长为$ \frac{5}{2} × 4 = 10 $ cm，大长方形的长为$ 2 × 10 = 20 $ cm。
大长方形的面积为：$ 20 × 14 = 280 $（$ \mathrm{cm}^2 $）
【答案】
280
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形面积计算
【点评】
本题是数形结合的典型题型，解题关键是通过观察图形拼接的特征，挖掘出隐藏的长、宽等量关系，再结合方程求解，能很好地考查学生的观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先找到小长方形长和宽的等量关系：首先观察拼接特征，一是大长方形的宽等于1个小长方形的长加1个小长方形的宽，即长+宽=14cm；二是大长方形的长既等于2个小长方形的长之和，也等于5个小长方形的宽之和，即2×小长方形长=5×小长方形宽。我们可以设小长方形的宽为未知数，用含未知数的式子表示出小长方形的长，再结合第一个等量关系列一元一次方程求解，最后计算大长方形的面积即可。
【解析】
设小长方形的宽为$ x $ cm，根据“2个小长方形的长等于5个小长方形的宽”，可得小长方形的长为$ \frac{5}{2}x $ cm。
已知大长方形的宽是14cm，即小长方形的长与宽的和为14cm，列方程：
$ x + \frac{5}{2}x = 14 $
合并同类项得：$ \frac{7}{2}x = 14 $
解得：$ x = 4 $
则小长方形的长为$ \frac{5}{2} × 4 = 10 $ cm，大长方形的长为$ 2 × 10 = 20 $ cm。
大长方形的面积为：$ 20 × 14 = 280 $（$ \mathrm{cm}^2 $）
【答案】
280
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形面积计算
【点评】
本题是数形结合的典型题型，解题关键是通过观察图形拼接的特征，挖掘出隐藏的长、宽等量关系，再结合方程求解，能很好地考查学生的观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
3. 一辆汽车从 A 城沿直线去 B 城,行驶了 90 km 时,离 A,B 两城中间点的距离是全程的$\frac{1}{8}$,则 A 城与 B 城相距
240或144
km.答案
3. 240 或 144
解析:设 A 城与 B 城相距 s km,则中间点距离 A 城 $\frac{s}{2}$ km. 若汽车行驶 90 km 经过了中间点,则离中间点的距离为 $(90-\frac{s}{2})$km. 根据题意,得 $90-\frac{s}{2}=\frac{s}{8}$, 解得 $s=144$;
若汽车行驶 90 km 未经过中间点,则离中间点的距离为$(\frac{s}{2}-90)$km. 根据题意,得$\frac{s}{2}-90=\frac{s}{8}$,解得$s=240$. 所以 A 城与 B 城相距 240 km 或144 km.
解析:设 A 城与 B 城相距 s km,则中间点距离 A 城 $\frac{s}{2}$ km. 若汽车行驶 90 km 经过了中间点,则离中间点的距离为 $(90-\frac{s}{2})$km. 根据题意,得 $90-\frac{s}{2}=\frac{s}{8}$, 解得 $s=144$;
若汽车行驶 90 km 未经过中间点,则离中间点的距离为$(\frac{s}{2}-90)$km. 根据题意,得$\frac{s}{2}-90=\frac{s}{8}$,解得$s=240$. 所以 A 城与 B 城相距 240 km 或144 km.
解析
【分析】
这道题是一元一次方程在路程问题中的应用，解题时首先要明确存在两种情况：一是汽车行驶90km后还未到达A、B两城的中点，二是汽车行驶90km后已经驶过中点。我们可以先设全程距离为未知数，再根据两种情况下“离中点的距离是全程的$\frac{1}{8}$”这一等量关系分别列方程求解即可，注意两种情况都要考虑，不能漏解。
【解析】
解：设A城与B城相距$s$ km，则A、B两城的中点距离A城$\frac{s}{2}$ km。
情况1：汽车行驶90km时未经过中点，此时离中点的距离为$(\frac{s}{2}-90)$ km。
根据题意列方程：$\frac{s}{2}-90=\frac{1}{8}s$
移项得：$\frac{s}{2}-\frac{s}{8}=90$
合并同类项得：$\frac{3s}{8}=90$
系数化为1得：$s=240$
情况2：汽车行驶90km时已经过了中点，此时离中点的距离为$(90-\frac{s}{2})$ km。
根据题意列方程：$90-\frac{s}{2}=\frac{1}{8}s$
移项得：$\frac{s}{2}+\frac{s}{8}=90$
合并同类项得：$\frac{5s}{8}=90$
系数化为1得：$s=144$
两种情况均符合实际意义，因此全程距离为240km或144km。
【答案】240或144
【知识点】
一元一次方程应用；分类讨论思想；路程问题计算
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，只考虑其中一种位置情况导致漏解，解题时要结合实际行程的位置可能性全面分析，根据等量关系列一元一次方程即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
这道题是一元一次方程在路程问题中的应用，解题时首先要明确存在两种情况：一是汽车行驶90km后还未到达A、B两城的中点，二是汽车行驶90km后已经驶过中点。我们可以先设全程距离为未知数，再根据两种情况下“离中点的距离是全程的$\frac{1}{8}$”这一等量关系分别列方程求解即可，注意两种情况都要考虑，不能漏解。
【解析】
解：设A城与B城相距$s$ km，则A、B两城的中点距离A城$\frac{s}{2}$ km。
情况1：汽车行驶90km时未经过中点，此时离中点的距离为$(\frac{s}{2}-90)$ km。
根据题意列方程：$\frac{s}{2}-90=\frac{1}{8}s$
移项得：$\frac{s}{2}-\frac{s}{8}=90$
合并同类项得：$\frac{3s}{8}=90$
系数化为1得：$s=240$
情况2：汽车行驶90km时已经过了中点，此时离中点的距离为$(90-\frac{s}{2})$ km。
根据题意列方程：$90-\frac{s}{2}=\frac{1}{8}s$
移项得：$\frac{s}{2}+\frac{s}{8}=90$
合并同类项得：$\frac{5s}{8}=90$
系数化为1得：$s=144$
两种情况均符合实际意义，因此全程距离为240km或144km。
【答案】240或144
【知识点】
一元一次方程应用；分类讨论思想；路程问题计算
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，只考虑其中一种位置情况导致漏解，解题时要结合实际行程的位置可能性全面分析，根据等量关系列一元一次方程即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
4. 如图,将图①中的大正方形剪成4个相同的小长方形和一个小正方形,并将它们无重叠地放入到图②的大长方形中,若图②中未被覆盖的涂色部分的周长为30,则由此可知图①中小长方形的长为
5
.答案
4. 5
解析:设题图①中小长方形的长为 x,宽为 y. 由题意,得 $2(x+2y-y+x+x-y)=30$,整理,得 6x=30,解得 x=5,即题图①中小长方形的长为5.
解析:设题图①中小长方形的长为 x,宽为 y. 由题意,得 $2(x+2y-y+x+x-y)=30$,整理,得 6x=30,解得 x=5,即题图①中小长方形的长为5.
解析
【分析】
遇到这类几何拼接求边长的问题，我们可以按以下思路思考：第一步，设出小长方形的长和宽两个未知数，方便表示各段边长；第二步，观察图②中涂色部分的周长构成，把周长用含未知数的式子表示出来；第三步，根据给出的周长数值列方程，化简后会发现宽的未知量会抵消，直接求解就能得到小长方形的长。
【解析】
设图①中小长方形的长为$ x $，宽为$ y $。
根据图②中未被覆盖的涂色部分周长为30，可列方程：
$ 2[(x + 2y - y) + x + (x - y)] = 30 $
化简方程：
括号内合并同类项得$ x + 2y - y + x + x - y = 3x $
因此原式可转化为$ 2 × 3x = 30 $，即$ 6x = 30 $
解得$ x = 5 $
【答案】
5
【知识点】
方程的应用，周长计算，整式化简
【点评】
本题将几何图形拼接和方程应用相结合，解题的核心是准确观察图形得到涂色部分周长的表达式，无需单独求解小长方形的宽，侧重考查图形边长关系的分析能力和方程的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
遇到这类几何拼接求边长的问题，我们可以按以下思路思考：第一步，设出小长方形的长和宽两个未知数，方便表示各段边长；第二步，观察图②中涂色部分的周长构成，把周长用含未知数的式子表示出来；第三步，根据给出的周长数值列方程，化简后会发现宽的未知量会抵消，直接求解就能得到小长方形的长。
【解析】
设图①中小长方形的长为$ x $，宽为$ y $。
根据图②中未被覆盖的涂色部分周长为30，可列方程：
$ 2[(x + 2y - y) + x + (x - y)] = 30 $
化简方程：
括号内合并同类项得$ x + 2y - y + x + x - y = 3x $
因此原式可转化为$ 2 × 3x = 30 $，即$ 6x = 30 $
解得$ x = 5 $
【答案】
5
【知识点】
方程的应用，周长计算，整式化简
【点评】
本题将几何图形拼接和方程应用相结合，解题的核心是准确观察图形得到涂色部分周长的表达式，无需单独求解小长方形的宽，侧重考查图形边长关系的分析能力和方程的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
二、解答题
5. 如图,将一张正方形纸片剪去一个宽为5 cm 的长方形纸条,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为3 cm 的长方形纸条.
(1) 如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍,求原正方形纸片的边长.
(2) 第一次剪下的长方形纸条的面积可以是第二次剪下的长方形纸条面积的2倍吗?如果可以,请求出正方形纸片的面积;如果不可以,请说明理由.
5. 如图,将一张正方形纸片剪去一个宽为5 cm 的长方形纸条,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为3 cm 的长方形纸条.
(1) 如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍,求原正方形纸片的边长.
(2) 第一次剪下的长方形纸条的面积可以是第二次剪下的长方形纸条面积的2倍吗?如果可以,请求出正方形纸片的面积;如果不可以,请说明理由.
答案
5. 设原正方形纸片的边长为 x cm. (1) 根据题意,得 $2(x+5)=2×2(x-5+3)$,解得 x=9.
所以原正方形纸片的边长为 9 cm (2) 可以
当第一次剪下的长方形纸条的面积是第二次剪下的长方形纸条面积的 2 倍时,$5x=2×3×(x-5)$,解得 x=30. 经检验, x=30 符合题意. 所以第一次剪下的长方形纸条的面积可以是第二次剪下的长方形纸条面积的 2 倍,此时正方形纸片的面积是 $30×30=900(\mathrm{cm}^2)$
所以原正方形纸片的边长为 9 cm (2) 可以
当第一次剪下的长方形纸条的面积是第二次剪下的长方形纸条面积的 2 倍时,$5x=2×3×(x-5)$,解得 x=30. 经检验, x=30 符合题意. 所以第一次剪下的长方形纸条的面积可以是第二次剪下的长方形纸条面积的 2 倍,此时正方形纸片的面积是 $30×30=900(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
解决本题首先设原正方形纸片的边长为x cm。第一问先分别表示出两次剪下的长方形纸条的长和宽，再根据长方形周长公式写出两者的周长，结合“第一次剪下的周长是第二次的2倍”这一等量关系列方程求解即可。第二问先根据长方形面积公式分别表示两次剪下的纸条面积，假设存在满足条件的边长，根据“第一次面积是第二次的2倍”列方程，若解出的边长为正数且符合实际，则假设成立，再计算正方形面积即可。
【解析】
设原正方形纸片的边长为x cm。
(1) 第一次剪下的宽为5cm的长方形纸条，长为x cm，周长为$2(x+5)$；
剪完第一次后剩下的长方形的长为x cm，宽为$(x-5)$cm，因此第二次剪下的宽为3cm的长方形纸条，长为$(x-5)$cm，周长为$2[(x-5)+3]$。
根据题意列方程：
$2(x+5)=2×2(x-5+3)$
化简得：$x+5=2(x-2)$
去括号：$x+5=2x-4$
移项解得：$x=9$
(2) 可以，理由如下：
第一次剪下的长方形纸条面积为$5x\ \mathrm{cm}^2$，第二次剪下的长方形纸条面积为$3(x-5)\ \mathrm{cm}^2$。
若第一次面积是第二次的2倍，可列方程：
$5x=2×3(x-5)$
化简得：$5x=6x-30$
移项解得：$x=30$
经检验，$x=30$符合实际裁剪的要求，此时正方形纸片的面积为$30×30=900(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) 原正方形纸片的边长为9 cm；
(2) 可以，此时正方形纸片的面积为$900\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形周长计算；长方形面积计算
【点评】
本题属于方程与几何图形结合的应用题，解题的核心是结合图形裁剪的特点，准确表示出两次裁剪得到的长方形的长、宽，再根据题干给出的等量关系列方程求解，同时要注意方程的解需要符合实际几何意义。
【难度系数】
0.7
解决本题首先设原正方形纸片的边长为x cm。第一问先分别表示出两次剪下的长方形纸条的长和宽，再根据长方形周长公式写出两者的周长，结合“第一次剪下的周长是第二次的2倍”这一等量关系列方程求解即可。第二问先根据长方形面积公式分别表示两次剪下的纸条面积，假设存在满足条件的边长，根据“第一次面积是第二次的2倍”列方程，若解出的边长为正数且符合实际，则假设成立，再计算正方形面积即可。
【解析】
设原正方形纸片的边长为x cm。
(1) 第一次剪下的宽为5cm的长方形纸条，长为x cm，周长为$2(x+5)$；
剪完第一次后剩下的长方形的长为x cm，宽为$(x-5)$cm，因此第二次剪下的宽为3cm的长方形纸条，长为$(x-5)$cm，周长为$2[(x-5)+3]$。
根据题意列方程：
$2(x+5)=2×2(x-5+3)$
化简得：$x+5=2(x-2)$
去括号：$x+5=2x-4$
移项解得：$x=9$
(2) 可以，理由如下：
第一次剪下的长方形纸条面积为$5x\ \mathrm{cm}^2$，第二次剪下的长方形纸条面积为$3(x-5)\ \mathrm{cm}^2$。
若第一次面积是第二次的2倍，可列方程：
$5x=2×3(x-5)$
化简得：$5x=6x-30$
移项解得：$x=30$
经检验，$x=30$符合实际裁剪的要求，此时正方形纸片的面积为$30×30=900(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) 原正方形纸片的边长为9 cm；
(2) 可以，此时正方形纸片的面积为$900\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形周长计算；长方形面积计算
【点评】
本题属于方程与几何图形结合的应用题，解题的核心是结合图形裁剪的特点，准确表示出两次裁剪得到的长方形的长、宽，再根据题干给出的等量关系列方程求解，同时要注意方程的解需要符合实际几何意义。
【难度系数】
0.7
