登录
1.〔西安市〕若$(m-3)x^{|m-1|}-x-5=0$是关于$x$的一元二次方程，则$m$的值为 (
A.$-1$
B.3
C.1
D.$\pm \sqrt{3}$
A
)A.$-1$
B.3
C.1
D.$\pm \sqrt{3}$
答案
1.A
解析
因为方程$(m - 3)x^{|m - 1|} - x - 5 = 0$是关于$x$的一元二次方程，所以需满足：
1. 未知数最高次数为$2$，即$|m - 1| = 2$，解得$m - 1 = 2$或$m - 1=-2$，$m = 3$或$m=-1$；
2. 二次项系数不为$0$，即$m - 3\neq0$，$m\neq3$。
综上，$m=-1$。
A
1. 未知数最高次数为$2$，即$|m - 1| = 2$，解得$m - 1 = 2$或$m - 1=-2$，$m = 3$或$m=-1$；
2. 二次项系数不为$0$，即$m - 3\neq0$，$m\neq3$。
综上，$m=-1$。
A
2.〔武汉模拟〕一元二次方程$(3x-1)^2=5x$化成一般形式后，二次项系数为9，其一次项系数为 (
A.1
B.$-1$
C.$-11$
D.11
C
)A.1
B.$-1$
C.$-11$
D.11
答案
2.C
解析
解：$(3x - 1)^2 = 5x$
$9x^2 - 6x + 1 = 5x$
$9x^2 - 11x + 1 = 0$
一次项系数为$-11$，答案选C。
$9x^2 - 6x + 1 = 5x$
$9x^2 - 11x + 1 = 0$
一次项系数为$-11$，答案选C。
3.〔东莞市〕若$x=2$是方程$x^2-x+a=0$的一个根，则 (
A.$a=1$
B.$a=2$
C.$a=-1$
D.$a=-2$
D
)A.$a=1$
B.$a=2$
C.$a=-1$
D.$a=-2$
答案
3.D
解析
将$x=2$代入方程$x^2 - x + a = 0$，得$2^2 - 2 + a = 0$，即$4 - 2 + a = 0$，$2 + a = 0$，解得$a = -2$。D
4.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是 (
A.$x^2+6x+9=0$
B.$x^2=x$
C.$x^2+3=2x$
D.$(x-1)^2+1=0$
B
)A.$x^2+6x+9=0$
B.$x^2=x$
C.$x^2+3=2x$
D.$(x-1)^2+1=0$
答案
4.B
解析
A.$x^2+6x+9=0$，$\Delta=6^2-4×1×9=0$，有两个相等的实数根；
B.$x^2=x$，$x^2-x=0$，$\Delta=(-1)^2-4×1×0=1＞0$，有两个不相等的实数根；
C.$x^2+3=2x$，$x^2-2x+3=0$，$\Delta=(-2)^2-4×1×3=-8＜0$，没有实数根；
D.$(x-1)^2+1=0$，$x^2-2x+2=0$，$\Delta=(-2)^2-4×1×2=-4＜0$，没有实数根；
B
B.$x^2=x$，$x^2-x=0$，$\Delta=(-1)^2-4×1×0=1＞0$，有两个不相等的实数根；
C.$x^2+3=2x$，$x^2-2x+3=0$，$\Delta=(-2)^2-4×1×3=-8＜0$，没有实数根；
D.$(x-1)^2+1=0$，$x^2-2x+2=0$，$\Delta=(-2)^2-4×1×2=-4＜0$，没有实数根；
B
5.〔兰州中考〕一元二次方程$x(x-2)=x-2$的解是 (
A.$x_1=x_2=0$
B.$x_1=x_2=1$
C.$x_1=0,x_2=2$
D.$x_1=1,x_2=2$
D
)A.$x_1=x_2=0$
B.$x_1=x_2=1$
C.$x_1=0,x_2=2$
D.$x_1=1,x_2=2$
答案
5.D
解析
解：$x(x-2)=x-2$
$x(x-2)-(x-2)=0$
$(x-2)(x-1)=0$
$x-2=0$或$x-1=0$
$x_1=2$，$x_2=1$
答案：D
$x(x-2)-(x-2)=0$
$(x-2)(x-1)=0$
$x-2=0$或$x-1=0$
$x_1=2$，$x_2=1$
答案：D
6.〔长沙市改编〕已知方程$2x^2-x-1=0$的两根分别是$x_1$和$x_2$，则$x_1· x_2$的值等于 (
A.2
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-1$
B
)A.2
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-1$
答案
6.B
解析
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），两根之积为$\frac{c}{a}$。
在方程$2x^2 - x - 1 = 0$中，$a = 2$，$c=-1$，所以$x_1·x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
B
在方程$2x^2 - x - 1 = 0$中，$a = 2$，$c=-1$，所以$x_1·x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
B
7.若方程$x^2-6x-5=0$用配方法可配成$(x+p)^2=q$的形式，则直线$y=px+q$不经过 (
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
7.C 【解析】$x^{2}-6x-5=0$,移项,得$x^{2}-6x=5$.配方,得$x^{2}-6x + 9 = 5 + 9$,$(x - 3)^{2}=14.\therefore p=-3＜0,q = 14＞0.\therefore$直线$y = px + q$经过第一、二、四象限,不经过第三象限.故选C.
8.若$a+c=b$，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a \neq 0)$必有一根是 (
A.$x=2$
B.$x=1$
C.$x=-1$
D.$x=0$
C
)A.$x=2$
B.$x=1$
C.$x=-1$
D.$x=0$
答案
8.C
解析
当$x=-1$时，方程左边$=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c$。
因为$a + c = b$，所以$a - b + c = 0$，即左边=右边。
故方程必有一根是$x=-1$。
C
因为$a + c = b$，所以$a - b + c = 0$，即左边=右边。
故方程必有一根是$x=-1$。
C
9.“一题多解”是培养数学思维的重要方式，对于下面的题目，甲、乙、丙三名同学都用方程来解决。每人给出了一种解法
A.只有甲同学
B.只有乙同学
C.只有甲同学和乙同学
D.甲、乙、丙三名同学
设小路的宽度为$x$m.
甲：$(16 - 2x)(9 - x) = 16×9 - 40$.
乙：$9×2x + (16 - 2x)x = 40$.
丙：$9×2x + 16x - x^{2} = 40$.
其中正确的是 (C
)A.只有甲同学
B.只有乙同学
C.只有甲同学和乙同学
D.甲、乙、丙三名同学
答案
9.C
解析
解：设小路的宽度为$x$ m。
甲同学的方程：$(16 - 2x)(9 - x) = 16×9 - 40$，正确，因为剩余种植花草面积等于总面积减去小路面积，剩余部分可看作长为$(16 - 2x)$ m、宽为$(9 - x)$ m的矩形面积。
乙同学的方程：$9×2x + (16 - 2x)x = 40$，正确，其中$9×2x$为两条与短边平行小路面积，$(16 - 2x)x$为与长边平行小路面积（需减去重叠部分）。
丙同学的方程：$9×2x + 16x - x^2 = 40$，错误，重叠部分面积为$2x^2$而非$x^2$。
综上，正确的是甲和乙同学。
答案：C
甲同学的方程：$(16 - 2x)(9 - x) = 16×9 - 40$，正确，因为剩余种植花草面积等于总面积减去小路面积，剩余部分可看作长为$(16 - 2x)$ m、宽为$(9 - x)$ m的矩形面积。
乙同学的方程：$9×2x + (16 - 2x)x = 40$，正确，其中$9×2x$为两条与短边平行小路面积，$(16 - 2x)x$为与长边平行小路面积（需减去重叠部分）。
丙同学的方程：$9×2x + 16x - x^2 = 40$，错误，重叠部分面积为$2x^2$而非$x^2$。
综上，正确的是甲和乙同学。
答案：C
