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1[2026河北唐山期中]如图,四边形$ABDE$和四边形$CBFG$都是矩形,且$DE = FG$.若$∠ BAC = 65°$,则$∠ DBF$的度数为（
A.$100°$
B.$115°$
C.$125°$
D.$130°$
（第1题图）
（第2题图）
D
）A.$100°$
B.$115°$
C.$125°$
D.$130°$
（第1题图）
（第2题图）
答案
1.D 【解析】
∵ 四边形ABDE和四边形CBFG都是矩形,
∴ AB = DE, BC = FG, ∠DBA = ∠FBC = 90°.
∵ DE=FG,
∴ BA = BC,
∴ ∠BAC = ∠BCA.
∵ ∠BAC = 65°,
∴ ∠BCA = 65°,
∴ ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠ACB=50°,
∴ ∠DBF = 360°-90°-90°-50° = 130°.故选 D.
∵ 四边形ABDE和四边形CBFG都是矩形,
∴ AB = DE, BC = FG, ∠DBA = ∠FBC = 90°.
∵ DE=FG,
∴ BA = BC,
∴ ∠BAC = ∠BCA.
∵ ∠BAC = 65°,
∴ ∠BCA = 65°,
∴ ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠ACB=50°,
∴ ∠DBF = 360°-90°-90°-50° = 130°.故选 D.
解析
【分析】
解题时先从已知的矩形条件入手，首先回忆矩形的性质：矩形对边相等，四个角都是直角。第一步由矩形对边相等可得AB=DE、BC=FG，结合已知DE=FG，可推出AB=BC，即△ABC是等腰三角形；第二步已知∠BAC=65°，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和为180°，即可算出∠ABC的度数；最后观察点B处四个角的和为周角360°，其中∠DBA和∠FBC都是矩形的内角为90°，代入已知角度就能求出∠DBF的度数。
【解析】
∵ 四边形ABDE和四边形CBFG都是矩形，
∴ AB = DE，BC = FG，∠DBA = ∠FBC = 90°，
又
∵ DE = FG，
∴ BA = BC，
∴ ∠BAC = ∠BCA，
∵ ∠BAC = 65°，
∴ ∠BCA = 65°，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ BAC - ∠ ACB = 180° - 65° - 65° = 50°$，
∵ 点B处四个角的和为周角$360°$，
∴ $∠ DBF = 360° - ∠ DBA - ∠ ABC - ∠ FBC = 360° - 90° - 50° - 90° = 130°$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握矩形和等腰三角形的相关性质，通过边的等量关系得到等腰三角形是解题的突破口，计算量较小，容易掌握。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的矩形条件入手，首先回忆矩形的性质：矩形对边相等，四个角都是直角。第一步由矩形对边相等可得AB=DE、BC=FG，结合已知DE=FG，可推出AB=BC，即△ABC是等腰三角形；第二步已知∠BAC=65°，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和为180°，即可算出∠ABC的度数；最后观察点B处四个角的和为周角360°，其中∠DBA和∠FBC都是矩形的内角为90°，代入已知角度就能求出∠DBF的度数。
【解析】
∵ 四边形ABDE和四边形CBFG都是矩形，
∴ AB = DE，BC = FG，∠DBA = ∠FBC = 90°，
又
∵ DE = FG，
∴ BA = BC，
∴ ∠BAC = ∠BCA，
∵ ∠BAC = 65°，
∴ ∠BCA = 65°，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ BAC - ∠ ACB = 180° - 65° - 65° = 50°$，
∵ 点B处四个角的和为周角$360°$，
∴ $∠ DBF = 360° - ∠ DBA - ∠ ABC - ∠ FBC = 360° - 90° - 50° - 90° = 130°$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握矩形和等腰三角形的相关性质，通过边的等量关系得到等腰三角形是解题的突破口，计算量较小，容易掌握。
【难度系数】
0.8
2[2026广东佛山质检]如图,在矩形OABC中,点B的坐标是(5,4),连接AC,则AC的长是（
A.3
B.41
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{41}$
D
）A.3
B.41
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{41}$
答案
2.D 【解析】如图,连接 OB,过点 B 作 BD ⊥ x 轴于点 D.
∵ 点 B 的坐标是(5,4),
∴ OD = 5, BD = 4,
∴ OB = $\sqrt{OD^2+BD^2}$ = $\sqrt{5^2+4^2}$ = $\sqrt{41}$. 又
∵ 四边形 ABCO 是矩形,
∴ AC = OB = $\sqrt{41}$. 故选 D.
解析
【分析】
要求矩形中对角线AC的长度，首先回忆矩形的性质：矩形的两条对角线相等，因此AC和另一对角线OB长度相等，可将求AC的长转化为求OB的长。已知点B的坐标，过点B作x轴的垂线，即可得到以OB为斜边的直角三角形，结合平面直角坐标系中点的坐标的几何意义得到两条直角边的长度，再利用勾股定理计算出OB的长度，即可得到AC的长度。
【解析】
如图，连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D。
∵点B的坐标是(5,4)，
∴OD=5，BD=4，
在Rt△OBD中，根据勾股定理可得：
$OB=\sqrt{OD^2+BD^2}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$。
又
∵四边形OABC是矩形，矩形的对角线相等，
∴AC=OB=$\sqrt{41}$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，点的坐标的几何意义
【点评】
本题属于基础类题目，解题的关键是利用矩形对角线相等的性质，将求未知线段AC的长度转化为求易计算的线段OB的长度，熟练掌握相关性质定理就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要求矩形中对角线AC的长度，首先回忆矩形的性质：矩形的两条对角线相等，因此AC和另一对角线OB长度相等，可将求AC的长转化为求OB的长。已知点B的坐标，过点B作x轴的垂线，即可得到以OB为斜边的直角三角形，结合平面直角坐标系中点的坐标的几何意义得到两条直角边的长度，再利用勾股定理计算出OB的长度，即可得到AC的长度。
【解析】
如图，连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D。
∵点B的坐标是(5,4)，
∴OD=5，BD=4，
在Rt△OBD中，根据勾股定理可得：
$OB=\sqrt{OD^2+BD^2}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$。
又
∵四边形OABC是矩形，矩形的对角线相等，
∴AC=OB=$\sqrt{41}$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，点的坐标的几何意义
【点评】
本题属于基础类题目，解题的关键是利用矩形对角线相等的性质，将求未知线段AC的长度转化为求易计算的线段OB的长度，熟练掌握相关性质定理就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3[2026广东珠海香洲区期中]如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AC于点E,∠AOD=120°,则∠CDE的大小是 (
A.55°
B.40°
C.30°
D.20°
(第3题图)
(第4题图)
C
)A.55°
B.40°
C.30°
D.20°
(第3题图)
(第4题图)
答案
3.C 【解析】
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ OA=OC,OB=OD,
∴ OD=OC,
∴ ∠ODC = ∠OCD.
∵ ∠AOD = 120°,
∴ ∠COD = 180° - 120° = 60°,
∴ ∠OCD = $\frac{180°-60°}{2}$ = 60°.
∵ DE ⊥ AC 于点 E,
∴ ∠DEC=90°,
∴ ∠CDE=90°-∠ECD=90°-60°=30°. 故选 C.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ OA=OC,OB=OD,
∴ OD=OC,
∴ ∠ODC = ∠OCD.
∵ ∠AOD = 120°,
∴ ∠COD = 180° - 120° = 60°,
∴ ∠OCD = $\frac{180°-60°}{2}$ = 60°.
∵ DE ⊥ AC 于点 E,
∴ ∠DEC=90°,
∴ ∠CDE=90°-∠ECD=90°-60°=30°. 故选 C.
解析
【分析】
解题时首先从矩形的性质入手，矩形的对角线相等且互相平分，因此可得OD=OC，即△ODC为等腰三角形；其次，已知∠AOD=120°，根据邻补角的和为180°，可求出∠COD的度数；再利用等腰三角形内角和为180°，计算出底角∠OCD的度数；最后结合DE⊥AC的条件，可知△DEC是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，即可求出∠CDE的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA=OC，OB=OD，且AC=BD，
∴ OD=OC，
∴ ∠ODC = ∠OCD。
∵ ∠AOD = 120°，∠AOD与∠COD互为邻补角，
∴ ∠COD = 180° - 120° = 60°，
在△ODC中，$∠ OCD=\frac{180°-∠ COD}{2}=\frac{180°-60°}{2}=60°$。
∵ DE ⊥ AC于点E，
∴ ∠DEC=90°，
在Rt△DEC中，∠CDE=90°-∠ECD=90°-60°=30°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，解题的核心是熟练运用矩形对角线的性质推导等腰三角形，再结合邻补角、直角三角形的角度关系逐步计算，掌握特殊四边形的基本性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先从矩形的性质入手，矩形的对角线相等且互相平分，因此可得OD=OC，即△ODC为等腰三角形；其次，已知∠AOD=120°，根据邻补角的和为180°，可求出∠COD的度数；再利用等腰三角形内角和为180°，计算出底角∠OCD的度数；最后结合DE⊥AC的条件，可知△DEC是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，即可求出∠CDE的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA=OC，OB=OD，且AC=BD，
∴ OD=OC，
∴ ∠ODC = ∠OCD。
∵ ∠AOD = 120°，∠AOD与∠COD互为邻补角，
∴ ∠COD = 180° - 120° = 60°，
在△ODC中，$∠ OCD=\frac{180°-∠ COD}{2}=\frac{180°-60°}{2}=60°$。
∵ DE ⊥ AC于点E，
∴ ∠DEC=90°，
在Rt△DEC中，∠CDE=90°-∠ECD=90°-60°=30°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，解题的核心是熟练运用矩形对角线的性质推导等腰三角形，再结合邻补角、直角三角形的角度关系逐步计算，掌握特殊四边形的基本性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
4[2026重庆铜梁区期中]如图,将矩形ABCD绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形A'BC'D',若∠A'BC = 132°,则∠ABC'的度数是
48°
.答案
4.48° 【解析】
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠ABC = 90°.
∵ 将矩形 ABCD 绕点 B 按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形 A'BC'D',
∴ ∠A'BC' = ∠ABC = 90°.
∵ ∠A' BC = 132°,
∴ ∠CBC' = ∠A' BC - ∠A'BC' = 42°,
∴ ∠ABC' = ∠ABC - ∠CBC' = 48°,故答案为 48°.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠ABC = 90°.
∵ 将矩形 ABCD 绕点 B 按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形 A'BC'D',
∴ ∠A'BC' = ∠ABC = 90°.
∵ ∠A' BC = 132°,
∴ ∠CBC' = ∠A' BC - ∠A'BC' = 42°,
∴ ∠ABC' = ∠ABC - ∠CBC' = 48°,故答案为 48°.
解析
【分析】
解题时首先结合已知图形回忆相关性质：第一，矩形的四个内角都是直角，可先得到∠ABC的度数；第二，旋转前后图形的对应角相等，因此旋转后得到的∠A'BC'和原矩形的∠ABC度数相等。接下来观察各角的位置关系，已知∠A'BC的度数，先通过∠A'BC与∠A'BC'的差求出∠CBC'的度数，最后用∠ABC减去∠CBC'即可求出∠ABC'的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC = 90°。
∵ 矩形ABCD绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形A'BC'D'，
∴ ∠A'BC' = ∠ABC = 90°。
已知∠A'BC = 132°，
∴ ∠CBC' = ∠A'BC - ∠A'BC' = 132° - 90° = 42°，
∴ ∠ABC' = ∠ABC - ∠CBC' = 90° - 42° = 48°。
【答案】
48°
【知识点】
矩形的性质，旋转的性质，角度计算
【点评】
本题是基础类几何计算题，核心考查旋转前后对应角相等的性质以及矩形内角为直角的性质，解题关键是准确识别各角之间的和差关系，理清计算逻辑即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知图形回忆相关性质：第一，矩形的四个内角都是直角，可先得到∠ABC的度数；第二，旋转前后图形的对应角相等，因此旋转后得到的∠A'BC'和原矩形的∠ABC度数相等。接下来观察各角的位置关系，已知∠A'BC的度数，先通过∠A'BC与∠A'BC'的差求出∠CBC'的度数，最后用∠ABC减去∠CBC'即可求出∠ABC'的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC = 90°。
∵ 矩形ABCD绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形A'BC'D'，
∴ ∠A'BC' = ∠ABC = 90°。
已知∠A'BC = 132°，
∴ ∠CBC' = ∠A'BC - ∠A'BC' = 132° - 90° = 42°，
∴ ∠ABC' = ∠ABC - ∠CBC' = 90° - 42° = 48°。
【答案】
48°
【知识点】
矩形的性质，旋转的性质，角度计算
【点评】
本题是基础类几何计算题，核心考查旋转前后对应角相等的性质以及矩形内角为直角的性质，解题关键是准确识别各角之间的和差关系，理清计算逻辑即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
5 [2026 湖南长沙期中]如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB=2，∠ABE=45°，则DE的长是
$2\sqrt{2}-2$
。答案
5.$2\sqrt{2}-2$ 【解析】
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ AD//BC,AD = BC, ∠A = 90°.
∵ AB = 2, ∠ABE = 45°,
∴ ∠AEB=45°,
∴ ∠ABE = ∠AEB,
∴ AE = AB = 2,
∴ BE = $\sqrt{AB^2+AE^2}$ = $2\sqrt{2}$.
∵ AD//BC,
∴ ∠DEC = ∠ECB.
∵ EC 平分 ∠BED,
∴ ∠BEC = ∠DEC,
∴ ∠BEC=∠ECB,
∴ BC = BE = $2\sqrt{2}$,
∴ AD = $2\sqrt{2}$,
∴ DE=AD-AE=$2\sqrt{2}-2$,故答案为 $2\sqrt{2}-2$.
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ AD//BC,AD = BC, ∠A = 90°.
∵ AB = 2, ∠ABE = 45°,
∴ ∠AEB=45°,
∴ ∠ABE = ∠AEB,
∴ AE = AB = 2,
∴ BE = $\sqrt{AB^2+AE^2}$ = $2\sqrt{2}$.
∵ AD//BC,
∴ ∠DEC = ∠ECB.
∵ EC 平分 ∠BED,
∴ ∠BEC = ∠DEC,
∴ ∠BEC=∠ECB,
∴ BC = BE = $2\sqrt{2}$,
∴ AD = $2\sqrt{2}$,
∴ DE=AD-AE=$2\sqrt{2}-2$,故答案为 $2\sqrt{2}-2$.
解析
【分析】
解题时首先结合矩形的性质与已知的45°角，判断△ABE为等腰直角三角形，先求出AE和BE的长度；再利用EC平分∠BED，结合AD//BC的性质推出∠BEC=∠ECB，得到等腰△BEC，进而求出BC（即AD）的长度；最后用AD的长度减去AE的长度即可得到DE的长。
【解析】
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD//BC，AD = BC，∠A = 90°。
∵ AB = 2，∠ABE = 45°，
∴ ∠AEB=90°-∠ABE=45°，
∴ ∠ABE = ∠AEB，
∴ AE = AB = 2，
由勾股定理得：$BE = \sqrt{AB^2+AE^2} = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2}$。
∵ AD//BC，
∴ ∠DEC = ∠ECB。
∵ EC平分∠BED，
∴ ∠BEC = ∠DEC，
∴ ∠BEC=∠ECB，
∴ BC = BE = $2\sqrt{2}$，
∴ AD = BC = $2\sqrt{2}$，
∴ DE=AD-AE=$2\sqrt{2}-2$。
【答案】
$2\sqrt{2}-2$
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，同时识别“平行线+角平分线”的模型可推导出等腰三角形，这类模型在几何计算和证明中十分常用，需牢固掌握。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合矩形的性质与已知的45°角，判断△ABE为等腰直角三角形，先求出AE和BE的长度；再利用EC平分∠BED，结合AD//BC的性质推出∠BEC=∠ECB，得到等腰△BEC，进而求出BC（即AD）的长度；最后用AD的长度减去AE的长度即可得到DE的长。
【解析】
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD//BC，AD = BC，∠A = 90°。
∵ AB = 2，∠ABE = 45°，
∴ ∠AEB=90°-∠ABE=45°，
∴ ∠ABE = ∠AEB，
∴ AE = AB = 2，
由勾股定理得：$BE = \sqrt{AB^2+AE^2} = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2}$。
∵ AD//BC，
∴ ∠DEC = ∠ECB。
∵ EC平分∠BED，
∴ ∠BEC = ∠DEC，
∴ ∠BEC=∠ECB，
∴ BC = BE = $2\sqrt{2}$，
∴ AD = BC = $2\sqrt{2}$，
∴ DE=AD-AE=$2\sqrt{2}-2$。
【答案】
$2\sqrt{2}-2$
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，同时识别“平行线+角平分线”的模型可推导出等腰三角形，这类模型在几何计算和证明中十分常用，需牢固掌握。
【难度系数】
0.7
6 如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.
(1)求证:AE=CF;
(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.
(1)求证:AE=CF;
(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.
答案
6.(1)【证明】
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ OA = OC, OB=OD,AC=BD,∠ABC=90°.
∵ BE=DF,
∴ OE=OF.在△AOE 和△COF 中,$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠AOE=∠COF, \\ OE=OF, \end{cases}$
∴ △AOE≌△COF(SAS),
∴ AE=CF.(2)【解】
∵ OA=OC,OB=OD,AC=BD,
∴ OA=OB.
∵ ∠AOB = ∠COD = 60°,
∴ △AOB 是等边三角形,
∴ OA=AB=6,
∴ AC=2OA=12.在Rt△ABC 中,BC=$\sqrt{AC^2-AB^2}$=$6\sqrt{3}$,
∴ 矩形 ABCD 的面积为 AB · BC=6×$6\sqrt{3}$=$36\sqrt{3}$.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ OA = OC, OB=OD,AC=BD,∠ABC=90°.
∵ BE=DF,
∴ OE=OF.在△AOE 和△COF 中,$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠AOE=∠COF, \\ OE=OF, \end{cases}$
∴ △AOE≌△COF(SAS),
∴ AE=CF.(2)【解】
∵ OA=OC,OB=OD,AC=BD,
∴ OA=OB.
∵ ∠AOB = ∠COD = 60°,
∴ △AOB 是等边三角形,
∴ OA=AB=6,
∴ AC=2OA=12.在Rt△ABC 中,BC=$\sqrt{AC^2-AB^2}$=$6\sqrt{3}$,
∴ 矩形 ABCD 的面积为 AB · BC=6×$6\sqrt{3}$=$36\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证明AE=CF，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先利用矩形对角线互相平分的性质，得到OA=OC、OB=OD，结合已知BE=DF可推出OE=OF，再结合对顶角相等，即可用SAS判定△AOE和△COF全等，从而得到AE=CF。
(2) 求矩形面积需要知道相邻两边的长度，已知AB=6，仅需求出BC的长度即可。由矩形对角线相等且互相平分的性质可得OA=OB，结合对顶角相等得∠AOB=∠COD=60°，可判定△AOB是等边三角形，进而求出对角线AC的长度，再在Rt△ABC中用勾股定理求出BC的长度，最后代入矩形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA = OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，
∵ BE=DF，
∴ OB - BE = OD - DF，即OE=OF。
在△AOE 和△COF 中，
$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠AOE=∠COF, \\ OE=OF, \end{cases}$
∴ △AOE≌△COF(SAS)，
∴ AE=CF。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴ OA=OB，
∵ ∠AOB = ∠COD = 60°，
∴ △AOB 是等边三角形，
∴ OA=AB=6，
∴ AC=2OA=12。
在Rt△ABC 中，BC=$\sqrt{AC^2-AB^2}$=$\sqrt{12^2 - 6^2}$=$6\sqrt{3}$，
∴ 矩形ABCD的面积为 AB · BC=6×$6\sqrt{3}$=$36\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $36\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于矩形性质的基础应用题，解题核心是熟练运用矩形对角线相等且互相平分的性质，第一问通过构造全等三角形证明线段相等，第二问结合等边三角形判定和勾股定理求解边长，是矩形章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AE=CF，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先利用矩形对角线互相平分的性质，得到OA=OC、OB=OD，结合已知BE=DF可推出OE=OF，再结合对顶角相等，即可用SAS判定△AOE和△COF全等，从而得到AE=CF。
(2) 求矩形面积需要知道相邻两边的长度，已知AB=6，仅需求出BC的长度即可。由矩形对角线相等且互相平分的性质可得OA=OB，结合对顶角相等得∠AOB=∠COD=60°，可判定△AOB是等边三角形，进而求出对角线AC的长度，再在Rt△ABC中用勾股定理求出BC的长度，最后代入矩形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA = OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，
∵ BE=DF，
∴ OB - BE = OD - DF，即OE=OF。
在△AOE 和△COF 中，
$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠AOE=∠COF, \\ OE=OF, \end{cases}$
∴ △AOE≌△COF(SAS)，
∴ AE=CF。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴ OA=OB，
∵ ∠AOB = ∠COD = 60°，
∴ △AOB 是等边三角形，
∴ OA=AB=6，
∴ AC=2OA=12。
在Rt△ABC 中，BC=$\sqrt{AC^2-AB^2}$=$\sqrt{12^2 - 6^2}$=$6\sqrt{3}$，
∴ 矩形ABCD的面积为 AB · BC=6×$6\sqrt{3}$=$36\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $36\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于矩形性质的基础应用题，解题核心是熟练运用矩形对角线相等且互相平分的性质，第一问通过构造全等三角形证明线段相等，第二问结合等边三角形判定和勾股定理求解边长，是矩形章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
7[2025陕西宝鸡质检]如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙OP上，OA=12 m，OB=5 m.若梯子顶端A沿墙下滑a m到A'的位置，则此时梯子的中点M'到墙角O的距离为（
A.5.5 m
B.6 m
C.6.5 m
D.7 m
（第7题图）
（第8题图）
C
）A.5.5 m
B.6 m
C.6.5 m
D.7 m
（第7题图）
（第8题图）
答案
7.C 【解析】连接 OM'.
∵ OA = 12 m, OB = 5 m,
∴ AB=$\sqrt{OA^2+OB^2}$=$\sqrt{12^2+5^2}$=13 ( m ),
∴ A'B' = AB=13 m.
∵ M' 为 A'B' 的中点,△A'OB' 是直角三角形,
∴ OM' = $\frac{1}{2}$ A'B' = 6.5 m. 故选 C.
思路分析：根据勾股定理求出 AB 的长,即可得出 A'B' 的长,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可.
∵ OA = 12 m, OB = 5 m,
∴ AB=$\sqrt{OA^2+OB^2}$=$\sqrt{12^2+5^2}$=13 ( m ),
∴ A'B' = AB=13 m.
∵ M' 为 A'B' 的中点,△A'OB' 是直角三角形,
∴ OM' = $\frac{1}{2}$ A'B' = 6.5 m. 故选 C.
思路分析：根据勾股定理求出 AB 的长,即可得出 A'B' 的长,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可.
解析
【分析】
解题时首先要抓住隐含条件：梯子的长度是固定的，即下滑前后$A'B'=AB$。第一步，在$Rt△ AOB$中，已知两条直角边$OA$、$OB$的长度，可通过勾股定理求出斜边$AB$的长度，也就得到了$A'B'$的长度；第二步，$△ A'OB'$始终是直角三角形，$M'$是斜边$A'B'$的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，即可求出$M'$到墙角$O$的距离。
【解析】
连接$OM'$，
$\because ∠ AOB=90°$，$OA=12\ \mathrm{m}$，$OB=5\ \mathrm{m}$，
$\therefore$由勾股定理得，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13(\mathrm{m})$，
$\because$梯子长度不变，$\therefore A'B'=AB=13\ \mathrm{m}$，
又$\because ∠ A'OB'=90°$，$M'$是$A'B'$的中点，
$\therefore$根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得$OM'=\frac{1}{2}A'B'=\frac{1}{2}×13=6.5(\mathrm{m})$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题结合生活中梯子下滑的实际场景考查几何性质应用，解题的关键是明确梯子长度为定值，再结合相关定理和性质计算即可，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要抓住隐含条件：梯子的长度是固定的，即下滑前后$A'B'=AB$。第一步，在$Rt△ AOB$中，已知两条直角边$OA$、$OB$的长度，可通过勾股定理求出斜边$AB$的长度，也就得到了$A'B'$的长度；第二步，$△ A'OB'$始终是直角三角形，$M'$是斜边$A'B'$的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，即可求出$M'$到墙角$O$的距离。
【解析】
连接$OM'$，
$\because ∠ AOB=90°$，$OA=12\ \mathrm{m}$，$OB=5\ \mathrm{m}$，
$\therefore$由勾股定理得，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13(\mathrm{m})$，
$\because$梯子长度不变，$\therefore A'B'=AB=13\ \mathrm{m}$，
又$\because ∠ A'OB'=90°$，$M'$是$A'B'$的中点，
$\therefore$根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得$OM'=\frac{1}{2}A'B'=\frac{1}{2}×13=6.5(\mathrm{m})$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题结合生活中梯子下滑的实际场景考查几何性质应用，解题的关键是明确梯子长度为定值，再结合相关定理和性质计算即可，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
8[2025宁夏吴忠质检]如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（
A.17
B.18
C.19
D.20
D
）A.17
B.18
C.19
D.20
答案
8.D 【解析】
∵ O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点,M 是 AD 的中点,
∴ OM 为 △ACD 的中位线,
∴ OM = $\frac{1}{2}$ CD = $\frac{1}{2}$ AB = 2.5, AM = $\frac{1}{2}$ AD = 6.
∵ AB = 5,AD=BC=12,∠ABC=90°,
∴ AC=$\sqrt{5^2+12^2}$=13.
∵ O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点,
∴ BO = $\frac{1}{2}$ AC=6.5,
∴ 四边形 ABOM 的周长为 AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20. 故选 D.
∵ O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点,M 是 AD 的中点,
∴ OM 为 △ACD 的中位线,
∴ OM = $\frac{1}{2}$ CD = $\frac{1}{2}$ AB = 2.5, AM = $\frac{1}{2}$ AD = 6.
∵ AB = 5,AD=BC=12,∠ABC=90°,
∴ AC=$\sqrt{5^2+12^2}$=13.
∵ O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点,
∴ BO = $\frac{1}{2}$ AC=6.5,
∴ 四边形 ABOM 的周长为 AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20. 故选 D.
解析
【分析】
要计算四边形ABOM的周长，需分别求出四条边AB、AM、BO、OM的长度再相加。首先，已知AB=5，M是AD中点，可直接得到AM为AD的一半；其次O是AC中点、M是AD中点，可知OM是△ACD的中位线，根据中位线性质可求出OM的长度；再利用矩形的直角属性，通过勾股定理算出对角线AC的长，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求出BO的长度；最后将四条边长度求和即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=5，BC=AD=12，∠ABC=90°，
∵M是AD的中点，
∴$AM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×12=6$，
∵O是AC的中点，M是AD的中点，
∴OM是△ACD的中位线，
∴$OM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×5=2.5$，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
∵O是AC中点，△ABC是直角三角形，
∴$BO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×13=6.5$，
∴四边形ABOM的周长$=AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质、三角形中位线定理、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，将四边形周长拆解为四条线段求和，结合矩形性质、中位线定理和勾股定理逐一计算线段长度即可求解，是矩形性质应用的典型常考题。
【难度系数】
0.7
要计算四边形ABOM的周长，需分别求出四条边AB、AM、BO、OM的长度再相加。首先，已知AB=5，M是AD中点，可直接得到AM为AD的一半；其次O是AC中点、M是AD中点，可知OM是△ACD的中位线，根据中位线性质可求出OM的长度；再利用矩形的直角属性，通过勾股定理算出对角线AC的长，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求出BO的长度；最后将四条边长度求和即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=5，BC=AD=12，∠ABC=90°，
∵M是AD的中点，
∴$AM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×12=6$，
∵O是AC的中点，M是AD的中点，
∴OM是△ACD的中位线，
∴$OM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×5=2.5$，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
∵O是AC中点，△ABC是直角三角形，
∴$BO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×13=6.5$，
∴四边形ABOM的周长$=AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质、三角形中位线定理、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，将四边形周长拆解为四条线段求和，结合矩形性质、中位线定理和勾股定理逐一计算线段长度即可求解，是矩形性质应用的典型常考题。
【难度系数】
0.7
9 [2026 江苏南京质检]如图，△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD=BD，AD，CE相交于点F，若∠B=20°，则∠DFE=
60°
。答案
9.60° 【解析】
∵ ∠ACB = 90°,点 E 为 AB 的中点,
∴ CE = $\frac{1}{2}$ AB = BE,
∴ ∠ECB = ∠B = 20°.
∵ AD = BD,
∴ ∠BAD = ∠B = 20°,
∴ ∠ADC = ∠BAD+∠B = 40°,
∴ ∠DFE = ∠ADC+∠ECB = 40°+20° = 60°,故答案为 60°.
∵ ∠ACB = 90°,点 E 为 AB 的中点,
∴ CE = $\frac{1}{2}$ AB = BE,
∴ ∠ECB = ∠B = 20°.
∵ AD = BD,
∴ ∠BAD = ∠B = 20°,
∴ ∠ADC = ∠BAD+∠B = 40°,
∴ ∠DFE = ∠ADC+∠ECB = 40°+20° = 60°,故答案为 60°.
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，看到直角三角形斜边的中点，优先联想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半，由此可推出CE=BE，得到∠ECB与∠B相等；再根据AD=BD的等腰三角形条件，可得∠BAD=∠B；接着利用三角形外角的性质，求出∠ADC的度数；最后结合角的数量关系，即可求出∠DFE的度数。
【解析】
∵ ∠ACB = 90°，点E为AB的中点，
∴ CE = $\frac{1}{2}$AB = BE，
∴ ∠ECB = ∠B = 20°。
∵ AD = BD，
∴ ∠BAD = ∠B = 20°，
∴ ∠ADC = ∠BAD+∠B = 40°，
∴ ∠DFE = ∠ADC+∠ECB = 40°+20° = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，综合考查了三角形相关的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形、等腰三角形的性质以及三角形外角定理，准确梳理角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题干条件，看到直角三角形斜边的中点，优先联想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半，由此可推出CE=BE，得到∠ECB与∠B相等；再根据AD=BD的等腰三角形条件，可得∠BAD=∠B；接着利用三角形外角的性质，求出∠ADC的度数；最后结合角的数量关系，即可求出∠DFE的度数。
【解析】
∵ ∠ACB = 90°，点E为AB的中点，
∴ CE = $\frac{1}{2}$AB = BE，
∴ ∠ECB = ∠B = 20°。
∵ AD = BD，
∴ ∠BAD = ∠B = 20°，
∴ ∠ADC = ∠BAD+∠B = 40°，
∴ ∠DFE = ∠ADC+∠ECB = 40°+20° = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，综合考查了三角形相关的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形、等腰三角形的性质以及三角形外角定理，准确梳理角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
