1 已知$\sin A = 0.9816$，运用计算器求锐角$A$时（在开机状态下），按下的第一个键是（）

A.$\boxed{\sin}$
B.$\boxed{AC}$

C.$\boxed{a^b/c}$
D.$\boxed{SHIFT}$

D

已知sinA=0.9816求锐角A，需要调用计算器的反正弦功能，反正弦是sin键的第二功能，开机状态下需先按SHIFT键切换至第二功能模式，因此按下的第一个键是SHIFT。

2 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC:AC=4:5$，运用计算器计算$∠ A$的度数约为(精确到$1°$) ()

A.$38°$
B.$39°$
C.$51°$
D.$53°$

B

在Rt△ABC中，∠C=90°，由正切的定义可得$\tan A=\frac{BC}{AC}$。已知$BC:AC=4:5$，因此$\tan A=\frac{4}{5}=0.8$。使用计算器计算反正切得$∠ A=\arctan0.8\approx38.66°$，精确到$1°$约为$39°$。

3 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C=90°$.若 $3AB=2\sqrt{3}AC$，则 $∠ B=$ $°$.

$\boldsymbol{60}$

解：
∵ $3AB=2\sqrt{3}AC$，
∴ $\frac{AC}{AB}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵ $∠ B$是直角三角形的锐角，
∴ $∠ B=60°$。
最终

4 设α为锐角，若$\tan(α - 15°)=1.4378$，则$α \approx$（精确到$0.1°$）。

$\boldsymbol{70.2°}$

解：∵ $\tan(α - 15°) = 1.4378$
∴ 利用计算器求反三角函数可得 $α - 15° \approx 55.2°$
∴ $α \approx 55.2° + 15° = 70.2°$
最终

5 教材变式题 求满足下面各等式的锐角θ的度数.
(1) $\sin^2θ - \sqrt{2}\sinθ + \frac{1}{2} = 0$;
(2) $2\cos^2θ - 5\cosθ + 2 = 0$.

解：
(1) 原方程可变形为：
$(\sinθ - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 0$
解得 $\sinθ = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
∵ θ是锐角，
∴ $θ = 45°$。
(2) 对$2\cos^2θ -5\cosθ +2=0$因式分解，得：
$(2\cosθ -1)(\cosθ -2)=0$
∴ $2\cosθ -1=0$ 或 $\cosθ -2=0$，
解得 $\cosθ=\frac{1}{2}$ 或 $\cosθ=2$。
∵ $-1≤\cosθ≤1$，$\cosθ=2$不符合实际，舍去，
又∵ θ是锐角，
∴ $θ=60°$。

6 如图,将不透明的圆锥放在直线 BP 所在的水平面上,且 BP 过圆锥底面圆的圆心,圆锥的高为$2\sqrt{3}$ m,底面圆的半径为2 m.某光源位于点 A 处照射圆锥,此时圆锥在水平面上留下的影长$BE=4$ m.
(1) 求$∠ ABC$的度数;
(2) 若$∠ ACP=2∠ ABC$,求光源所在的点 A 处距水平面的高度.

解：
(1) 过点D作$DF ⊥ BP$于点F，
由题意得，圆锥的高$DF=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，底面圆半径为2 m，故$EF=FC=2\ \mathrm{m}$。
已知$BE=4\ \mathrm{m}$，则$BF=BE+EF=4+2=6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，
$\tan∠ ABC=\dfrac{DF}{BF}=\dfrac{2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore ∠ ABC=30°$。
(2) 过点A作$AH ⊥ BP$于点H，
$\because ∠ ACP=2∠ ABC$，$\therefore ∠ ACP=60°$。
设$AH=h\ \mathrm{m}$，$CH=x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$\tan60°=\dfrac{AH}{CH}$，即$\sqrt{3}=\dfrac{h}{x}$，得$h=\sqrt{3}x$，即$x=\dfrac{h}{\sqrt{3}}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，$\tan30°=\dfrac{AH}{BH}$，即$\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{h}{BH}$，得$BH=\sqrt{3}h$。
又$BH=BE+EC+CH=4+4+x=8+x$，将$x=\dfrac{h}{\sqrt{3}}$代入得：
$\sqrt{3}h=8+\dfrac{h}{\sqrt{3}}$，
两边同乘$\sqrt{3}$整理得$3h=8\sqrt{3}+h$，
解得$h=4\sqrt{3}$。
答：光源所在的点A处距水平面的高度为$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。

7 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=2$，$BC=\sqrt{3}$，则$\tan \dfrac{A}{2}$的值为（）

A.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$2-\sqrt{3}$

C

在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1$。
由直角三角形性质可知，直角边AC长度为斜边AB的一半，因此AC所对的∠B=30°，可得∠A=90°-30°=60°，则$\frac{A}{2}=30°$。
所以$\tan\frac{A}{2}=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

8 若锐角α满足$\cosα≤\frac{1}{2}$，则α的取值范围是（）

A.$0°＜α≤60°$
B.$60°≤α＜90°$
C.$0°＜α≤30°$
D.$30°≤α＜90°$

B

首先明确特殊角的余弦值：$\cos60°=\frac{1}{2}$。对于锐角$α$，余弦函数的值随角度增大而减小，且锐角本身满足$0°＜α＜90°$。由$\cosα≤\frac{1}{2}$可得$\cosα≤\cos60°$，结合余弦函数在$0°∼90°$的递减性质，可推出$α≥60°$，因此$α$的取值范围是$60°≤α＜90°$。