9. 已知点 $ P(x_0,y_0) $ 到直线 $ y = kx + b $ 的距离可表示为 $ d = \frac{|kx_0 + b - y_0|}{\sqrt{1 + k^2}} $,例如：点 $ (0,1) $ 到直线 $ y = 2x + 6 $ 的距离 $ d = \frac{|2 × 0 + 6 - 1|}{\sqrt{1 + 2^2}} = \sqrt{5} $. 据此进一步可得两条平行线 $ y = x $ 和 $ y = x - 4 $ 之间的距离为.

$2\sqrt{2}$

在直线$y = x$上任取一点，不妨取点$(0,0)$。两条平行线之间的距离等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，所以点$(0,0)$到直线$y = x - 4$的距离即为所求。
直线$y = x - 4$可化为$x - y - 4 = 0$，根据距离公式$d = \frac{|kx_0 + b - y_0|}{\sqrt{1 + k^2}}$，这里$k = 1$，$b = -4$，$x_0 = 0$，$y_0 = 0$，则$d = \frac{|1×0 + (-4) - 0|}{\sqrt{1 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$。

10. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $ y = kx + 5 $ 的图象与 $ y $ 轴的交点为点 $ A $,与正比例函数 $ y = \frac{4}{3}x $ 的图象交于点 $ P $.
(1) 若点 $ P $ 的坐标为 $ (6,a) $.
① 求出 $ a $ 和 $ k $ 的值；
② 求 $ \triangle OAP $ 的面积.
(2) 若 $ \triangle APO $ 为等腰三角形,请直接写出所有满足条件的点 $ P $ 的坐标.

(1)①
因为点$P(6,a)$在正比例函数$y = \frac{4}{3}x$的图象上，
将$x = 6$代入$y=\frac{4}{3}x$，得$y=\frac{4}{3}×6 = 8$，所以$a = 8$。
又因为点$P(6,8)$在一次函数$y = kx + 5$的图象上，
把$P(6,8)$代入$y = kx + 5$，得$8 = 6k+5$，
移项可得$6k=3$，解得$k=\frac{1}{2}$。
②
在一次函数$y=\frac{1}{2}x + 5$中，令$x = 0$，则$y = 5$，所以$A(0,5)$，即$OA = 5$。
已知$P(6,8)$，则$\triangle OAP$中，以$OA$为底，$P$点横坐标的绝对值为高。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得${S}_{\triangle OAP}=\frac{1}{2}× OA×6=\frac{1}{2}×5×6 = 15$。
(2)
设$P(m,\frac{4}{3}m)$，已知$A(0,5)$，$O(0,0)$，则$OA = 5$，$OP=\sqrt{{m}^{2}+(\frac{4}{3}m{)}^{2}}=\frac{5}{3}|m|$，$AP=\sqrt{{m}^{2}+(\frac{4}{3}m - 5{)}^{2}}$。
当$OA=OP$时，$\frac{5}{3}|m| = 5$，
即$|m| = 3$，解得$m = 3$或$m=-3$，
当$m = 3$时，$\frac{4}{3}m = 4$；当$m=-3$时，$\frac{4}{3}m=-4$，此时$P(3,4)$或$P(-3,-4)$。
当$OA = AP$时，$\sqrt{{m}^{2}+(\frac{4}{3}m - 5{)}^{2}}=5$，
${m}^{2}+(\frac{4}{3}m - 5{)}^{2}=25$，
${m}^{2}+\frac{16}{9}{m}^{2}-\frac{40}{3}m + 25 = 25$，
$\frac{25}{9}{m}^{2}-\frac{40}{3}m=0$，
$25{m}^{2}-120m = 0$，
$5m(5m - 24)=0$，
解得$m = 0$（此时$P$与$O$重合，舍去）或$m=\frac{24}{5}$，
当$m=\frac{24}{5}$时，$\frac{4}{3}m=\frac{32}{5}$，所以$P(\frac{24}{5},\frac{32}{5})$。
当$OP = AP$时，$\frac{5}{3}|m|=\sqrt{{m}^{2}+(\frac{4}{3}m - 5{)}^{2}}$，
$\frac{25}{9}{m}^{2}={m}^{2}+\frac{16}{9}{m}^{2}-\frac{40}{3}m + 25$，
$\frac{25}{9}{m}^{2}-\frac{25}{9}{m}^{2}+\frac{40}{3}m - 25 = 0$，
$\frac{40}{3}m=25$，
解得$m=\frac{15}{8}$，
当$m=\frac{15}{8}$时，$\frac{4}{3}m=\frac{5}{2}$，所以$P(\frac{15}{8},\frac{5}{2})$。
综上，$P$点坐标为$(3,4)$或$(-3,-4)$或$(\frac{24}{5},\frac{32}{5})$或$(\frac{15}{8},\frac{5}{2})$。
故答案为：(1)①$a = 8$，$k=\frac{1}{2}$；②$15$；(2)$(3,4)$，$(-3,-4)$，$(\frac{24}{5},\frac{32}{5})$，$(\frac{15}{8},\frac{5}{2})$。

11. 如图,直线 $ y = kx + b $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $,$ B $,点 $ C $ 在线段 $ AO $ 上,将 $ \triangle ABC $ 沿 $ BC $ 所在直线折叠后,点 $ A $ 恰好落在 $ y $ 轴上的点 $ D $ 处,若 $ OA = 4 $,$ OD = 2 $.
(1) 求直线 $ AB $ 的函数表达式；
(2) 求 $ S_{\triangle ABC}:S_{\triangle OCD} $ 的值；
(3) 直线 $ CD $ 上是否存在点 $ P $ 使得 $ \angle PBC = 45° $？若存在,请直接写出点 $ P $ 的坐标；若不存在,说明理由.

(1) y=-3/4x-3；(2) 5:2；(3) 存在，(-3,-2)或(3,6)。

(1) 由题意得，点$ A(-4,0) $。设点$ B(0,b) $，$ b＜0 $，则$ OB=-b $，$ BD=AB=\sqrt{OA^2 + OB^2}=\sqrt{16 + b^2} $。$ OD=2 $，$ D(0,2) $，$ BD=OD - OB=2 - b $。$\sqrt{16 + b^2}=2 - b$，解得$ b=-3 $。$ B(0,-3) $。将$ A(-4,0) $，$ B(0,-3) $代入$ y=kx + b $，得$\begin{cases}-4k + b=0\\b=-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{3}{4}\\b=-3\end{cases}$。直线$ AB $的函数表达式为$ y=-\dfrac{3}{4}x - 3 $。
(2) 设$ C(m,0) $，$ -4 ＜ m ＜ 0 $，$ OC=-m $，$ AC=-4 - m $。折叠后$ DC=AC=-4 - m $。在$ Rt\triangle OCD $中，$ OC^2 + OD^2=DC^2 $，$(-m)^2 + 2^2=(-4 - m)^2$，解得$ m=-\dfrac{3}{2} $。$ C\left(-\dfrac{3}{2},0\right) $。$ S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}× AC× OB=\dfrac{1}{2}×\left(-4 + \dfrac{3}{2}\right)× 3=\dfrac{15}{4}$，$ S_{\triangle OCD}=\dfrac{1}{2}× OC× OD=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}× 2=\dfrac{3}{2}$。$ S_{\triangle ABC}:S_{\triangle OCD}=\dfrac{15}{4}:\dfrac{3}{2}=5:2 $。
(3) 直线$ CD $的解析式为$ y=-\dfrac{4}{3}x + 2 $。设$ P\left(t,-\dfrac{4}{3}t + 2\right) $，$ B(0,-3) $，$ C\left(-\dfrac{3}{2},0\right) $。$ BC $的斜率为$-2$，$ BP $的斜率为$\dfrac{-\dfrac{4}{3}t + 5}{t}$。由夹角公式$\left|\dfrac{k_{BP}-k_{BC}}{1 + k_{BP}k_{BC}}\right|=\tan45^{\circ}=1$，解得$ t=-\dfrac{9}{2} $或$ t=\dfrac{3}{2} $。点$ P $的坐标为$\left(-\dfrac{9}{2},8\right)$或$\left(\dfrac{3}{2},0\right)$。