4. 如图,扇形OBC,OAD的半径之间的关系是 $OB= \frac{1}{2}OA$,则弧BC的长是弧AD长的______.

$\frac{1}{2}$

设扇形的圆心角为$n^{\circ}$，$OB = r$，则$OA = 2r$。
弧$BC$的长为$\frac{n\pi r}{180}$，弧$AD$的长为$\frac{n\pi \cdot 2r}{180} = \frac{2n\pi r}{180}$。
$\frac{弧BC的长}{弧AD的长} = \frac{\frac{n\pi r}{180}}{\frac{2n\pi r}{180}} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$

5. 如图,正方形ABCD内接于⊙O,PA,PD分别与⊙O相切于点A和点D,PD的延长线与BC的延长线交于点E.已知AB= 2,则图中阴影部分的面积为______.
]

$5-\pi$

6. 如图,半圆的直径AB= 10,P为AB上一点,点C,D为半圆的三等分点,则阴影部分的面积等于______(平方单位).

$\frac{25}{6}\pi$

解：连接OC，OD，CD。
∵点C，D为半圆的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°。
∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD=60°。
∵∠AOC=60°，OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∴∠OAC=∠OCD，
∴CD//AB，
∴S△PCD=S△OCD，
∴阴影部分面积=S扇形OCD。
∵AB=10，
∴OA=5，即OC=5。
S扇形OCD=$\frac{60\pi×5^2}{360}=\frac{25\pi}{6}$。
故答案为：$\frac{25}{6}\pi$。

7. 如图,分别以等边三角形的每个顶点为圆心、一边长为半径在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧$\overgroup{AB}$,$\overgroup{BC}$,$\overgroup{AC}$围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为a,则勒洛三角形的周长为______.
]

$\pi a$

解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=a。
∵三段圆弧$\overgroup{AB}$，$\overgroup{BC}$，$\overgroup{AC}$的半径均为a，圆心角均为60°，
∴每段圆弧的长度为$\frac{60\pi a}{180}=\frac{\pi a}{3}$。
∴勒洛三角形的周长为$3×\frac{\pi a}{3}=\pi a$。
$\pi a$

8. 如图,在△ABC中,CA= CB,∠ACB= 90°,AB= 2,点D为AB的中点,以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰在$\overgroup{EF}$上,则图中阴影部分的面积为______.

$\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$

解：
∵在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠A=∠B=45°，
由勾股定理得：$CA^2 + CB^2 = AB^2$，又CA=CB，
∴$2CA^2 = 4$，解得$CA=CB=\sqrt{2}$，
点D为AB中点，
∴$AD=DB=1$，CD为斜边AB中线，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=1$（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
扇形DEF圆心角为90°，半径$DE=DF=CD=1$，
∴扇形DEF面积$S_{扇形}=\frac{90°}{360°}\pi r^2=\frac{1}{4}\pi×1^2=\frac{\pi}{4}$，
连接CD，易证△DCE≌△DBF（ASA），
∴$S_{阴影}=S_{扇形DEF}-S_{\triangle CDB}$，
$S_{\triangle CDB}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{1}{2}$，
∴$S_{阴影}=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$。
$\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$

9. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD为⊙O的直径,AC平分∠BAD,CD= 2$\sqrt{2}$,点E在BC的延长线上,连接DE.
(1)求直径BD的长；
(2)若BE= 5$\sqrt{2}$,计算图中阴影部分的面积.
]

(1) 4；
(2) 6.