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三、解答题
9. 已知 $x-\frac{1}{x}=3$，则 $4-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x$ 的值是多少？
9. 已知 $x-\frac{1}{x}=3$，则 $4-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x$ 的值是多少？
答案
解:$\because x-\frac{1}{x}=3,\therefore x^2-1=3x$,即$x^2-3x=1$,$\therefore 4-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x=4-\frac{1}{2}(x^2-3x)=4-\frac{1}{2}×1=\frac{7}{2}$。
解析
【分析】
本题已知含x的分式等式，求整式代数式的值，无需直接求解x的具体数值，解题思路如下：首先利用分式的基本性质，对已知等式去分母变形，得到x²与x的整式关系式；再观察所求代数式的结构，通过提取公因式将其变形为含有上述整式关系式的形式，最后采用整体代入法计算即可得到结果。
【解析】
解：已知$x-\frac{1}{x}=3$（由原式可知$x≠0$），
等式两边同时乘$x$得：$x^2 - 1 = 3x$，
移项整理得：$x^2 - 3x = 1$。
对所求代数式变形：
$4-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x = 4 - \frac{1}{2}(x^2 - 3x)$
将$x^2 - 3x = 1$代入上式得：
原式$= 4 - \frac{1}{2}×1 = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
分式基本性质、代数式化简求值、整体代入思想
【点评】
本题核心考查整体代入的思想在代数式求值中的应用，解题关键是对已知条件合理变形，将所求代数式凑出与已知结论相关的结构，能有效避免求解x的复杂运算，是代数求值类的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题已知含x的分式等式，求整式代数式的值，无需直接求解x的具体数值，解题思路如下：首先利用分式的基本性质，对已知等式去分母变形，得到x²与x的整式关系式；再观察所求代数式的结构，通过提取公因式将其变形为含有上述整式关系式的形式，最后采用整体代入法计算即可得到结果。
【解析】
解：已知$x-\frac{1}{x}=3$（由原式可知$x≠0$），
等式两边同时乘$x$得：$x^2 - 1 = 3x$，
移项整理得：$x^2 - 3x = 1$。
对所求代数式变形：
$4-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x = 4 - \frac{1}{2}(x^2 - 3x)$
将$x^2 - 3x = 1$代入上式得：
原式$= 4 - \frac{1}{2}×1 = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
分式基本性质、代数式化简求值、整体代入思想
【点评】
本题核心考查整体代入的思想在代数式求值中的应用，解题关键是对已知条件合理变形，将所求代数式凑出与已知结论相关的结构，能有效避免求解x的复杂运算，是代数求值类的典型题型。
【难度系数】
0.7
10.在一个暗箱中，放有大小和质量都相同的红球2个、黄球3个、绿球6个、黑球14个。每次限摸一个球，球摸出后仍放回箱内。如果摸出红球，得一等奖；摸出黄球，得二等奖；摸出绿球，得三等奖；摸出黑球不得奖。
(1)一、二、三等奖的中奖率分别是多少？
(2)这项活动的中奖率是多少？
(1)一、二、三等奖的中奖率分别是多少？
(2)这项活动的中奖率是多少？
答案
解:(1)一等奖的中奖率为:$\frac{2}{2+3+6+14}=\frac{2}{25}$;二等奖的中奖率为:$\frac{3}{2+3+6+14}=\frac{3}{25}$;三等奖的中奖率为:
$\frac{6}{2+3+6+14}=\frac{6}{25}$。
(2)这项活动的中奖率为:$\frac{2+3+6}{2+3+6+14}=\frac{11}{25}$。
$\frac{6}{2+3+6+14}=\frac{6}{25}$。
(2)这项活动的中奖率为:$\frac{2+3+6}{2+3+6+14}=\frac{11}{25}$。
解析
【分析】
解决这道题的核心是掌握等可能事件的概率计算方法：某事件发生的概率=该事件对应的数量÷总数量。由于摸球后放回，每次摸球时暗箱内总球数固定，所有球被摸到的可能性相等。第(1)问分别找到一、二、三等奖对应的球的数量，除以总球数就能得到各奖项的中奖率；第(2)问可以先求出所有中奖的球的总数量，再除以总球数，也可以将三个奖项的中奖率相加，得到总的中奖率。
【解析】
首先计算暗箱中球的总个数：$2+3+6+14=25$（个）
(1) 一等奖对应红球2个，因此一等奖中奖率为：$\frac{2}{2+3+6+14}=\frac{2}{25}$；
二等奖对应黄球3个，因此二等奖中奖率为：$\frac{3}{2+3+6+14}=\frac{3}{25}$；
三等奖对应绿球6个，因此三等奖中奖率为：$\frac{6}{2+3+6+14}=\frac{6}{25}$。
(2) 中奖的球包含红球、黄球、绿球，总个数为$2+3+6=11$（个），因此这项活动的中奖率为：$\frac{2+3+6}{2+3+6+14}=\frac{11}{25}$。
【答案】
(1) 一等奖中奖率$\frac{2}{25}$，二等奖中奖率$\frac{3}{25}$，三等奖中奖率$\frac{6}{25}$；
(2) 这项活动的中奖率为$\frac{11}{25}$。
【知识点】
等可能事件概率计算，概率加法运算
【点评】
本题属于概率基础题，主要考查对等可能事件概率公式的理解和运用，解题时只要找准对应事件的数量和总数量，细心计算就能正确解答。
【难度系数】
0.85
解决这道题的核心是掌握等可能事件的概率计算方法：某事件发生的概率=该事件对应的数量÷总数量。由于摸球后放回，每次摸球时暗箱内总球数固定，所有球被摸到的可能性相等。第(1)问分别找到一、二、三等奖对应的球的数量，除以总球数就能得到各奖项的中奖率；第(2)问可以先求出所有中奖的球的总数量，再除以总球数，也可以将三个奖项的中奖率相加，得到总的中奖率。
【解析】
首先计算暗箱中球的总个数：$2+3+6+14=25$（个）
(1) 一等奖对应红球2个，因此一等奖中奖率为：$\frac{2}{2+3+6+14}=\frac{2}{25}$；
二等奖对应黄球3个，因此二等奖中奖率为：$\frac{3}{2+3+6+14}=\frac{3}{25}$；
三等奖对应绿球6个，因此三等奖中奖率为：$\frac{6}{2+3+6+14}=\frac{6}{25}$。
(2) 中奖的球包含红球、黄球、绿球，总个数为$2+3+6=11$（个），因此这项活动的中奖率为：$\frac{2+3+6}{2+3+6+14}=\frac{11}{25}$。
【答案】
(1) 一等奖中奖率$\frac{2}{25}$，二等奖中奖率$\frac{3}{25}$，三等奖中奖率$\frac{6}{25}$；
(2) 这项活动的中奖率为$\frac{11}{25}$。
【知识点】
等可能事件概率计算，概率加法运算
【点评】
本题属于概率基础题，主要考查对等可能事件概率公式的理解和运用，解题时只要找准对应事件的数量和总数量，细心计算就能正确解答。
【难度系数】
0.85
