1[2026江苏淮安调研,中]下列说法:①从一点引出的两条射线所组成的图形是角;②互为余角的两个角不可能相等;③一个角的补角一定大于这个角;④若$∠1+∠2+∠3=90°$,则$∠1,∠2,∠3$互余.其中不正确的说法有 ()

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

1.B
【解析】从一点引出的两条射线所组成的图形是角,故①正确;互为余角的两个角能相等,故②错误;一个角的补角不一定大于这个角,例如90°的补角是90°,故③错误;互余是指两个角之间的关系,故④错误.故不正确的说法有3个.故选B.

2[2026山东日照期中,中]若∠1和∠2互补,且∠1＞∠2,则下列式子中:①$90° - ∠2$;②$∠2 - 90°$;③$\frac{1}{2}(∠1 + ∠2)$;④$\frac{1}{2}(∠2 - ∠1)$,能正确表示∠1的余角的有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

2.B
【解析】因为∠1和∠2互补,所以∠1+∠2=180°,所以∠2=180°-∠1.∠1的余角为90°-∠1.①∠1≠∠2,即90°-∠2≠90°-∠1,故不符合题意;②∠2-90°=(180°-∠1)-90°=90°-∠1,故符合题意;③$\frac{1}{2}(∠1+∠2)=\frac{1}{2}×180°=90°≠90°-∠1$,故不符合题意;④$\frac{1}{2}(∠2-∠1)=\frac{1}{2}(180°-∠1-∠1)=\frac{1}{2}(180°-2∠1)=90°-∠1$,故符合题意.所以②④符合题意,共2个.故选B.

3[2026江苏无锡调研,较难]如图,点O是量角器的中心点,射线OM经过刻度线90.若$∠ AOB=∠ COD$,射线OA,OB分别经过刻度线40和60,$∠ COD$在射线OM的右侧.下列结论:①$∠ AOC=∠ BOD$;②若$∠ AOC$与$∠ BOC$互补,则射线OD经过刻度线165;③若$∠ MOC=3∠ COD$,则图中共有6对角互为余角.其中正确的结论有 ()

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

(第3题图)
(第4题图)

3.C
【解析】①因为∠AOB=∠COD,所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,所以∠AOC=∠BOD,故正确.②由题意可得,∠AOB=60°-40°=20°=∠COD.因为∠AOC+∠BOC=180°,所以∠AOB+∠BOC+∠BOC=180°,即20°+∠BOC+∠BOC=180°,所以∠BOC=80°.因为60°+80°+20°=160°,所以射线OD经过刻度线160,故错误.③如图.因为∠MOC=3∠COD=60°,∠MOB=90°-60°=30°,所以∠BOC=90°,所以∠BOM和∠COM互为余角.因为射线OM经过刻度线90,所以∠EOM=∠FOM=90°,所以∠AOE和∠AOM,∠BOE和∠BOM,∠COM和∠COF,∠DOM和∠DOF,∠BOE和∠COF互为余角,即共有6对角互为余角,故正确.所以正确的结论有①③,共2个.故选C.

4[2026安徽芜湖期中，中]如图，在$△ ABC$中，若$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$于点$D$，$∠ A=(3m+15)°$，$∠ BCD=(m+45)°$，则$m=$。

4.15
【解析】因为∠ACB=90°,CD⊥AB,所以∠ACD+∠BCD=90°,∠ACD+∠CAD=90°,所以∠BCD=∠CAD,即(3m+15)°=(m+45)°,解得m=15.故答案为15.

5[2026山东临沂期末,中]如图(1),已知锐角∠AOB,把一个三角尺的直角顶点与点O重合,一条直角边和OA重合,沿另一条直角边在射线OB的同侧画射线OD,再用量角器画出∠BOD的平分线OC,此时∠AOC与∠BOC互余.
(1)请你画出图形,用所学知识说明∠AOC与∠BOC互余.
(2)请你仿照上面的画法,在图(2)中画出一个∠NPH,使∠NPH与∠MPH互补,并简要说明画图方法.若∠MPN=120°,求∠NPH的度数.

5.【解】(1)如图.
因为OC平分∠BOD,所以∠BOC=∠DOC.因为∠AOD=90°,所以∠COD+∠AOC=90°,所以∠BOC+∠AOC=90°,即∠AOC与∠BOC互余.
(2)如图,作MP的延长线PQ,作∠NPQ的平分线PH,此时∠NPH与∠MPH互补.
因为PH平分∠NPQ,所以∠NPH=∠HPQ.因为∠MPQ=180°,所以∠MPH+∠HPQ=180°,所以∠MPH+∠NPH=180°,即∠NPH与∠MPH互补.
因为∠MPN+∠NPQ=180°,∠MPN=120°,所以∠NPQ=60°.又因为PH平分∠NPQ,所以∠NPH=$\frac{1}{2}∠NPQ=\frac{1}{2}×60°=30°$.

6[2026陕西西安质检,较难]【问题发现】
如图(1),将一副三角尺的直角顶点重合在点O处.
(1)①∠AOD与∠BOC的数量关系是.
②∠AOC与∠BOD的数量关系是.
【问题探究】
(2)若将这副三角尺按图(2)摆放,三角尺的直角顶点重合在点O处.
①∠AOD和∠BOC有怎样的数量关系?说明理由.
②∠AOC和∠BOD有怎样的数量关系?说明理由.

6.【解】(1)①由题意可知∠AOB=∠COD=90°.因为∠AOD=∠AOB+∠BOD,∠BOC=∠COD+∠BOD,所以∠AOD=∠BOC.故答案为∠AOD=∠BOC.
②由题意可知∠AOB=∠COD=90°.因为∠AOC+∠AOB+∠BOD+∠COD=360°,∠AOB+∠COD=180°,所以∠AOC+∠BOD=180°.故答案为∠AOC+∠BOD=180°.
(2)①∠AOD=∠BOC.理由:由题意可知∠AOB=∠COD=90°.因为∠AOD=∠AOB-∠BOD,∠BOC=∠COD-∠BOD,所以∠AOD=∠BOC.
②∠AOC+∠BOD=180°.理由:由题意可知∠AOB=∠COD=90°.因为∠AOC=∠AOB+∠BOC,∠BOD=∠COD-∠BOC,所以∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠BOC+∠COD-∠BOC=∠AOB+∠COD=180°.