登录
1. 我们可以用符号$f(a)$表示代数式，$a$是正整数.我们规定:当$a$为奇数时，$f(a)=3a+1$，当$a$为偶数时，$f(a)=\dfrac{1}{2}a$.例如：
$f(1)=3× 1+1=4$，$f(10)=\dfrac{1}{2}× 10=5$.
设$a_1=16$，$a_2=f(a_1)$，$a_3=f(a_2)$，$\dots$，$a_n=f(a_{n-1})$.依此规律，则$a_{{2026}}$的值为（
A.1
B.2
C.4
D.8
$f(1)=3× 1+1=4$，$f(10)=\dfrac{1}{2}× 10=5$.
设$a_1=16$，$a_2=f(a_1)$，$a_3=f(a_2)$，$\dots$，$a_n=f(a_{n-1})$.依此规律，则$a_{{2026}}$的值为（
B
）A.1
B.2
C.4
D.8
答案
1. B 提示:因为 $a_1=16$,所以 $a_2=f(a_1)=f(16)=\frac{1}{2}×16=8$,所以 $a_3=f(a_2)=f(8)=\frac{1}{2}×8=4$,所以 $a_4=f(a_3)=f(4)=\frac{1}{2}×4=2$,所以 $a_5=f(a_4)=f(2)=\frac{1}{2}×2=1$,所以 $a_6=f(a_5)=f(1)=3×1+1=4$,所以 $a_7=f(a_6)=2,a_8=f(a_7)=1······$所以从 $a_3$ 开始,该组数以“4,2,1”为周期循环. 因为$2026-2=2024,2024÷3=674······2$,所以 $a_{2026}$ 对应循环节的第2项,为2.
解析
【分析】
这是一道新定义运算结合数列规律探究的题目，解题思路非常明确：首先严格按照题目给出的f(a)运算规则，从已知的a₁=16出发，依次计算出后续的前若干项，观察数列的变化特征；接着通过枚举的结果找到数列开始重复循环的位置，确定循环节的内容和周期长度；最后用目标项的序号减去循环前的非循环项总数，除以周期得到余数，根据余数对应循环节里的元素即可得到结果，完全不需要硬算到第2026项。
【解析】
解：已知a₁=16，根据题目给定的f(a)运算规则依次计算各项：
1. 逐项计算前序项：
a₂ = f(a₁) = f(16)，16是偶数，因此$a_2=\frac{1}{2}×16=8$
a₃ = f(a₂) = f(8)，8是偶数，因此$a_3=\frac{1}{2}×8=4$
a₄ = f(a₃) = f(4)，4是偶数，因此$a_4=\frac{1}{2}×4=2$
a₅ = f(a₄) = f(2)，2是偶数，因此$a_5=\frac{1}{2}×2=1$
a₆ = f(a₅) = f(1)，1是奇数，因此$a_6=3×1+1=4$
a₇ = f(a₆) = f(4) = 2
a₈ = f(a₇) = f(2) = 1
……
2. 确定循环规律：
可以发现从a₃开始，数列按照4、2、1的顺序不断重复，即循环节为"4,2,1"，周期长度为3，前2项a₁=16、a₂=8不参与循环。
3. 计算目标项对应位置：
先减去前2个非循环项：2026 - 2 = 2024
计算2024除以周期3的结果：$2024÷3=674······2$
说明a₂₀₂₆对应循环节的第2个元素，值为2。
【答案】B
【知识点】新定义运算，数列周期规律
【点评】本题属于新定义类的规律探究题，核心考查学生通过枚举前项发现周期、简化大数运算的能力，易错点是误判循环的起始位置，导致后续余数对应关系出错，解题时要注意区分非循环的前导项和后续的循环部分。
【难度系数】0.7
这是一道新定义运算结合数列规律探究的题目，解题思路非常明确：首先严格按照题目给出的f(a)运算规则，从已知的a₁=16出发，依次计算出后续的前若干项，观察数列的变化特征；接着通过枚举的结果找到数列开始重复循环的位置，确定循环节的内容和周期长度；最后用目标项的序号减去循环前的非循环项总数，除以周期得到余数，根据余数对应循环节里的元素即可得到结果，完全不需要硬算到第2026项。
【解析】
解：已知a₁=16，根据题目给定的f(a)运算规则依次计算各项：
1. 逐项计算前序项：
a₂ = f(a₁) = f(16)，16是偶数，因此$a_2=\frac{1}{2}×16=8$
a₃ = f(a₂) = f(8)，8是偶数，因此$a_3=\frac{1}{2}×8=4$
a₄ = f(a₃) = f(4)，4是偶数，因此$a_4=\frac{1}{2}×4=2$
a₅ = f(a₄) = f(2)，2是偶数，因此$a_5=\frac{1}{2}×2=1$
a₆ = f(a₅) = f(1)，1是奇数，因此$a_6=3×1+1=4$
a₇ = f(a₆) = f(4) = 2
a₈ = f(a₇) = f(2) = 1
……
2. 确定循环规律：
可以发现从a₃开始，数列按照4、2、1的顺序不断重复，即循环节为"4,2,1"，周期长度为3，前2项a₁=16、a₂=8不参与循环。
3. 计算目标项对应位置：
先减去前2个非循环项：2026 - 2 = 2024
计算2024除以周期3的结果：$2024÷3=674······2$
说明a₂₀₂₆对应循环节的第2个元素，值为2。
【答案】B
【知识点】新定义运算，数列周期规律
【点评】本题属于新定义类的规律探究题，核心考查学生通过枚举前项发现周期、简化大数运算的能力，易错点是误判循环的起始位置，导致后续余数对应关系出错，解题时要注意区分非循环的前导项和后续的循环部分。
【难度系数】0.7
2. 如图,在三角形$ABC$中,$∠ ABC=90°$,$∠ A=48°$,$D$是边$AC$的中点,$E$是射线$CB$上的一点,连接$DE$,将三角形$CDE$沿$DE$翻折得到三角形$FDE$.当$DF// AB$时,$∠ DEB$的度数为
66°或24°
.答案
2. $66°$或 $24°$ 提示:因为在三角形 $ABC$ 中$∠ ABC=90°,∠ A=48°$,所以 $∠ C=90°-48°=42°$. 因为三角形 $CDE$ 沿 $DE$ 翻折得到三角形 $FDE$,所以$∠ CDE=∠ FDE,∠ C=∠ F=42°$. 分两种情况讨论
①如图1,当点 $E$ 在线段 $CB$ 上时,因为 $DF// AB$,所以$∠ CDF=∠ A=48°$,所以 $∠ CDE=\frac{1}{2}∠ CDF=\frac{1}{2}×48°=24°$,所以 $∠ DEB=∠ CDE+∠ C=24°+42°=66°$. ②如图2,当点 $E$ 在 $CB$ 的延长线上时,设$∠ DEB=x$, 因为 $DF// AB$, 所以 $∠ ADF=∠ A=48°$. 因为$∠ ADE=∠ C+∠ DEB=42°+x$, 所以 $∠ EDF=∠ ADE+∠ ADF=42°+x+48°=90°+x$,即$∠ CDE=∠ EDF=90°+x$. 在三角形 $CDE$ 中,$∠ CDE+∠ C+∠ DEB=180°$,所以 $90°+x+42°+x=180°$,解得 $x=24°$. 综上,$∠ DEB$ 的度数为 $66°$或 $24°$.
解析
【分析】
首先从已知的直角△ABC出发，利用直角三角形两锐角互余先计算出∠C的度数；再根据折叠的性质，得到翻折前后对应角相等，即∠CDE=∠FDE，∠F=∠C。注意题目中E是射线CB上的点，因此需要分两种位置讨论：E在线段CB上、E在CB的延长线上，结合DF//AB的平行线性质得到相关角的等量关系，再利用三角形外角性质、三角形内角和定理分别计算两种情况下的∠DEB，避免漏解。
【解析】
1. 计算∠C的度数：
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=48°，根据直角三角形两锐角互余，可得∠C=90°-∠A=90°-48°=42°。
2. 由折叠性质得：
将△CDE沿DE翻折得到△FDE，因此对应角相等，即∠CDE=∠FDE，∠F=∠C=42°。
3. 分两种情况求解：
① 当点E在线段CB上时：
因为DF//AB，由两直线平行同位角相等，得∠CDF=∠A=48°，因此∠CDE=1/2∠CDF=1/2×48°=24°。
根据三角形外角性质，∠DEB是△CDE的外角，因此∠DEB=∠C+∠CDE=42°+24°=66°。
② 当点E在CB的延长线上时：
设∠DEB=x，因为DF//AB，由两直线平行内错角相等，得∠ADF=∠A=48°。
由三角形外角性质，∠ADE=∠C+∠DEB=42°+x，因此∠EDF=∠ADE+∠ADF=42°+x+48°=90°+x。
由折叠性质∠CDE=∠EDF=90°+x，在△CDE中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠CDE + ∠C + ∠DEB = 180°
代入得：90°+x +42° +x =180°
解得x=24°。
综上，∠DEB的度数为66°或24°。
【答案】
$66°$或$24°$
【知识点】
直角三角形性质；折叠的性质；平行线的性质
【点评】
本题的核心易错点是忽略“E是射线CB上的点”的条件，仅考虑E在线段CB上的情况导致漏解，解题时需要主动建立分类讨论的思路，结合折叠的全等性质、平行线的角度关系，灵活运用三角形外角与内角和定理完成计算，重点考察分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.3
首先从已知的直角△ABC出发，利用直角三角形两锐角互余先计算出∠C的度数；再根据折叠的性质，得到翻折前后对应角相等，即∠CDE=∠FDE，∠F=∠C。注意题目中E是射线CB上的点，因此需要分两种位置讨论：E在线段CB上、E在CB的延长线上，结合DF//AB的平行线性质得到相关角的等量关系，再利用三角形外角性质、三角形内角和定理分别计算两种情况下的∠DEB，避免漏解。
【解析】
1. 计算∠C的度数：
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=48°，根据直角三角形两锐角互余，可得∠C=90°-∠A=90°-48°=42°。
2. 由折叠性质得：
将△CDE沿DE翻折得到△FDE，因此对应角相等，即∠CDE=∠FDE，∠F=∠C=42°。
3. 分两种情况求解：
① 当点E在线段CB上时：
因为DF//AB，由两直线平行同位角相等，得∠CDF=∠A=48°，因此∠CDE=1/2∠CDF=1/2×48°=24°。
根据三角形外角性质，∠DEB是△CDE的外角，因此∠DEB=∠C+∠CDE=42°+24°=66°。
② 当点E在CB的延长线上时：
设∠DEB=x，因为DF//AB，由两直线平行内错角相等，得∠ADF=∠A=48°。
由三角形外角性质，∠ADE=∠C+∠DEB=42°+x，因此∠EDF=∠ADE+∠ADF=42°+x+48°=90°+x。
由折叠性质∠CDE=∠EDF=90°+x，在△CDE中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠CDE + ∠C + ∠DEB = 180°
代入得：90°+x +42° +x =180°
解得x=24°。
综上，∠DEB的度数为66°或24°。
【答案】
$66°$或$24°$
【知识点】
直角三角形性质；折叠的性质；平行线的性质
【点评】
本题的核心易错点是忽略“E是射线CB上的点”的条件，仅考虑E在线段CB上的情况导致漏解，解题时需要主动建立分类讨论的思路，结合折叠的全等性质、平行线的角度关系，灵活运用三角形外角与内角和定理完成计算，重点考察分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.3
3. 通过本学期的学习,我们已经知道“如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等角,那么这条射线叫作这个角的平分线.”类似地,我们规定:“如果从角的顶点出发的两条射线把这个角分成三个相等角,那么这两条射线都称为这个角的三等分线.”例如:如图1,射线OM,ON在$∠ AOB$内部,且$∠ AOM = ∠ MON = ∠ NOB$,那么OM是$∠ AOB$的三等分线,ON也是$∠ AOB$的三等分线.
(1) 如图2,$∠ AOB = 135°$,$OC ⊥ OA$,判断OC是否是$∠ AOB$的三等分线,并说明理由.
(2) 在(1)的条件下,若OD是$∠ AOC$的三等分线,求$∠ BOD$的度数.
(3) 在(1)的条件下,如图3,射线OP从OA出发,以每秒$5°$的速度绕点O逆时针旋转,到达OC后停止.在射线OP出发10 s后,射线OQ从OB出发,以每秒$9°$的速度绕点O顺时针旋转,到达OC后立即绕点O逆时针旋转,速度不变,到达OB后停止运动.当OP从OA出发时,开始计时,设旋转时间为t s.当OQ为$∠ BOP$的三等分线时,直接写出t的值.
(1) 如图2,$∠ AOB = 135°$,$OC ⊥ OA$,判断OC是否是$∠ AOB$的三等分线,并说明理由.
(2) 在(1)的条件下,若OD是$∠ AOC$的三等分线,求$∠ BOD$的度数.
(3) 在(1)的条件下,如图3,射线OP从OA出发,以每秒$5°$的速度绕点O逆时针旋转,到达OC后停止.在射线OP出发10 s后,射线OQ从OB出发,以每秒$9°$的速度绕点O顺时针旋转,到达OC后立即绕点O逆时针旋转,速度不变,到达OB后停止运动.当OP从OA出发时,开始计时,设旋转时间为t s.当OQ为$∠ BOP$的三等分线时,直接写出t的值.
答案
3. 解:(1) $OC$ 是$∠ AOB$的三等分线.理由如下:
因为 $OC ⊥ OA$,所以 $∠ AOC=90°$,所以$∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=135°-90°=45°$,所以 $∠ BOC=\frac{1}{3}∠ AOB$,所以 $OC$ 是 $∠ AOB$的三等分线.
(2) 由(1),得$∠ AOC=90°,∠ BOC=45°$.
①如图1,当$∠ COD=\frac{1}{3}∠ AOC=30°$时,$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=45°+30°=75°$;
②如图2,当$∠ AOD=\frac{1}{3}∠ AOC=30°$时,所以 $∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=135°-30°=105°$.
综上所述,$∠ BOD$ 的度数为 $75°$或 $105°$.
(3) $t$ 的值为$\frac{405}{32}$或$\frac{540}{37}$或$\frac{270}{17}$或$\frac{55}{3}$. 提示:依题意,得 $∠ AOP=5t°$,所以 $∠ BOP=∠ AOB-∠ AOP=(135-5t)°$. 当 $OQ,OP$ 未到达 $OC$,即 $10≤ t＜15$ 时,$∠ BOQ=9°(t-10)$.
①当 $∠ BOQ=\frac{1}{3}∠ BOP$ 时,即 $9(t-10)=\frac{1}{3}(135-5t)$,解得 $t=\frac{405}{32}$;
②当 $∠ BOQ=\frac{2}{3}∠ BOP$ 时,即 $9(t-10)=\frac{2}{3}(135-5t)$,解得 $t=\frac{540}{37}$.
当 $OQ$ 从 $OC$ 转向 $OB$ 且 $OP$ 未达到 $OC$,即 $15≤ t＜18$ 时,$∠ BOQ=45°-9°(t-10-5)=(180-9t)°$.
③ 当 $∠ BOQ=\frac{1}{3}∠ BOP$ 时,即 $180-9t=\frac{1}{3}(135-5t)$,解得 $t=\frac{405}{22}＞18$,舍去;
④ 当 $∠ BOQ=\frac{2}{3}∠ BOP$ 时,即 $180-9t=\frac{2}{3}(135-5t)$,解得 $t=\frac{270}{17}$.
当 $OQ$ 从 $OC$ 转向 $OB$ 且 $OP$ 已达到 $OC$,即 $18≤ t≤20$ 时,$∠ BOQ=45°-9°(t-10-5)=(180-9t)°$,此时$∠ BOP=45°$.
⑤当 $∠ BOQ=\frac{1}{3}∠ BOP$ 时,即 $180-9t=\frac{1}{3}×45$,解得 $t=\frac{55}{3}$;
⑥当 $∠ BOQ=\frac{2}{3}∠ BOP$ 时,即 $180-9t=\frac{2}{3}×45$,解得 $t=\frac{50}{3}＜18$,舍去.
综上所述,$t$ 的值为 $\frac{405}{32}$或$\frac{540}{37}$或$\frac{270}{17}$或$\frac{55}{3}$.
解析
【分析】
这是一道新定义结合角度运算的综合题，解题思路梳理如下：
1. 第(1)问：紧扣题目给出的三等分线定义，要判断OC是否为∠AOB的三等分线，只需验证OC分割∠AOB得到的两个角中，是否存在一个角等于∠AOB的1/3即可。由OC⊥OA直接得到∠AOC=90°，结合已知∠AOB=135°，可算出∠BOC=45°，恰好是135°的1/3，即可完成判断。
2. 第(2)问：注意一个角的三等分线有两条，因此OD的位置分两种情况：一种是靠近OA，分出30°的∠AOD；另一种是靠近OC，分出30°的∠COD，结合已知的∠BOC=45°分别计算∠BOD的度数即可。
3. 第(3)问：属于动点旋转类角度问题，首先梳理两条射线的运动时间节点：OP从OA到OC总耗时90°÷5°/s=18s，18s后停止；OQ在t=10s才从OB出发，到OC耗时45°÷9°/s=5s，即t=15s时到达OC，之后掉头返回OB，t=20s时停止。据此将运动过程分为三个时间段讨论，每个时间段内根据三等分线的条件，分∠BOQ=1/3∠BOP和∠BOQ=2/3∠BOP两种情况列方程求解，舍去不在对应时间范围内的增根，即可得到所有符合条件的t值。
【解析】
(1) OC是∠AOB的三等分线，理由如下：
因为 $OC ⊥ OA$，所以 $∠ AOC=90°$，
所以$∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=135°-90°=45°$，
所以 $∠ BOC=\frac{1}{3}∠ AOB$，符合三等分线的定义，因此OC是$∠ AOB$的三等分线。
(2) 由(1),得$∠ AOC=90°,∠ BOC=45°$.
①当$∠ COD=\frac{1}{3}∠ AOC=30°$时,$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=45°+30°=75°$;
②当$∠ AOD=\frac{1}{3}∠ AOC=30°$时, 所以 $∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=135°-30°=105°$.
(3) 依题意,得 $∠ AOP=5t°$,所以 $∠ BOP=∠ AOB-∠ AOP=(135-5t)°$.
当 $OQ,OP$ 未到达 $OC$,即 $10≤ t＜15$ 时,$∠ BOQ=9°(t-10)$.
①当 $∠ BOQ=\frac{1}{3}∠ BOP$ 时,即 $9(t-10)=\frac{1}{3}(135-5t)$,解得 $t=\frac{405}{32}$;
②当 $∠ BOQ=\frac{2}{3}∠ BOP$ 时,即 $9(t-10)=\frac{2}{3}(135-5t)$,解得 $t=\frac{540}{37}$.
当 $OQ$ 从 $OC$ 转向 $OB$ 且 $OP$ 未达到 $OC$,即 $15≤ t＜18$ 时,$∠ BOQ=45°-9°(t-10-5)=(180-9t)°$.
③ 当 $∠ BOQ=\frac{1}{3}∠ BOP$ 时,即 $180-9t=\frac{1}{3}(135-5t)$,解得 $t=\frac{405}{22}＞18$,舍去;
④ 当 $∠ BOQ=\frac{2}{3}∠ BOP$ 时,即 $180-9t=\frac{2}{3}(135-5t)$,解得 $t=\frac{270}{17}$.
当 $OQ$ 从 $OC$ 转向 $OB$ 且 $OP$ 已达到 $OC$,即 $18≤ t≤20$ 时,$∠ BOQ=45°-9°(t-10-5)=(180-9t)°$,此时$∠ BOP=45°$.
⑤当 $∠ BOQ=\frac{1}{3}∠ BOP$ 时,即 $180-9t=\frac{1}{3}×45$,解得 $t=\frac{55}{3}$;
⑥当 $∠ BOQ=\frac{2}{3}∠ BOP$ 时,即 $180-9t=\frac{2}{3}×45$,解得 $t=\frac{50}{3}＜18$,舍去.
综上得到所有符合条件的t值。
【答案】
(1) OC是$∠ AOB$的三等分线，理由见解析；
(2) $∠ BOD$ 的度数为 $75°$或 $105°$.
(3) $t$ 的值为$\frac{405}{32}$或$\frac{540}{37}$或$\frac{270}{17}$或$\frac{55}{3}$.
【知识点】
角的三等分线定义，垂直的性质，动点角度计算
【点评】
本题从学生已掌握的角平分线知识出发，迁移出新定义“角的三等分线”，既考查了学生对新定义的快速理解和迁移应用能力，又结合动态旋转场景设置角度计算问题，要求学生准确划分运动的时间节点，分多类情况讨论求解。解题时需要对得到的解进行范围校验，舍去不符合运动阶段的增根，避免漏解和错解，对分类讨论的逻辑能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
这是一道新定义结合角度运算的综合题，解题思路梳理如下：
1. 第(1)问：紧扣题目给出的三等分线定义，要判断OC是否为∠AOB的三等分线，只需验证OC分割∠AOB得到的两个角中，是否存在一个角等于∠AOB的1/3即可。由OC⊥OA直接得到∠AOC=90°，结合已知∠AOB=135°，可算出∠BOC=45°，恰好是135°的1/3，即可完成判断。
2. 第(2)问：注意一个角的三等分线有两条，因此OD的位置分两种情况：一种是靠近OA，分出30°的∠AOD；另一种是靠近OC，分出30°的∠COD，结合已知的∠BOC=45°分别计算∠BOD的度数即可。
3. 第(3)问：属于动点旋转类角度问题，首先梳理两条射线的运动时间节点：OP从OA到OC总耗时90°÷5°/s=18s，18s后停止；OQ在t=10s才从OB出发，到OC耗时45°÷9°/s=5s，即t=15s时到达OC，之后掉头返回OB，t=20s时停止。据此将运动过程分为三个时间段讨论，每个时间段内根据三等分线的条件，分∠BOQ=1/3∠BOP和∠BOQ=2/3∠BOP两种情况列方程求解，舍去不在对应时间范围内的增根，即可得到所有符合条件的t值。
【解析】
(1) OC是∠AOB的三等分线，理由如下：
因为 $OC ⊥ OA$，所以 $∠ AOC=90°$，
所以$∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=135°-90°=45°$，
所以 $∠ BOC=\frac{1}{3}∠ AOB$，符合三等分线的定义，因此OC是$∠ AOB$的三等分线。
(2) 由(1),得$∠ AOC=90°,∠ BOC=45°$.
①当$∠ COD=\frac{1}{3}∠ AOC=30°$时,$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=45°+30°=75°$;
②当$∠ AOD=\frac{1}{3}∠ AOC=30°$时, 所以 $∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=135°-30°=105°$.
(3) 依题意,得 $∠ AOP=5t°$,所以 $∠ BOP=∠ AOB-∠ AOP=(135-5t)°$.
当 $OQ,OP$ 未到达 $OC$,即 $10≤ t＜15$ 时,$∠ BOQ=9°(t-10)$.
①当 $∠ BOQ=\frac{1}{3}∠ BOP$ 时,即 $9(t-10)=\frac{1}{3}(135-5t)$,解得 $t=\frac{405}{32}$;
②当 $∠ BOQ=\frac{2}{3}∠ BOP$ 时,即 $9(t-10)=\frac{2}{3}(135-5t)$,解得 $t=\frac{540}{37}$.
当 $OQ$ 从 $OC$ 转向 $OB$ 且 $OP$ 未达到 $OC$,即 $15≤ t＜18$ 时,$∠ BOQ=45°-9°(t-10-5)=(180-9t)°$.
③ 当 $∠ BOQ=\frac{1}{3}∠ BOP$ 时,即 $180-9t=\frac{1}{3}(135-5t)$,解得 $t=\frac{405}{22}＞18$,舍去;
④ 当 $∠ BOQ=\frac{2}{3}∠ BOP$ 时,即 $180-9t=\frac{2}{3}(135-5t)$,解得 $t=\frac{270}{17}$.
当 $OQ$ 从 $OC$ 转向 $OB$ 且 $OP$ 已达到 $OC$,即 $18≤ t≤20$ 时,$∠ BOQ=45°-9°(t-10-5)=(180-9t)°$,此时$∠ BOP=45°$.
⑤当 $∠ BOQ=\frac{1}{3}∠ BOP$ 时,即 $180-9t=\frac{1}{3}×45$,解得 $t=\frac{55}{3}$;
⑥当 $∠ BOQ=\frac{2}{3}∠ BOP$ 时,即 $180-9t=\frac{2}{3}×45$,解得 $t=\frac{50}{3}＜18$,舍去.
综上得到所有符合条件的t值。
【答案】
(1) OC是$∠ AOB$的三等分线，理由见解析；
(2) $∠ BOD$ 的度数为 $75°$或 $105°$.
(3) $t$ 的值为$\frac{405}{32}$或$\frac{540}{37}$或$\frac{270}{17}$或$\frac{55}{3}$.
【知识点】
角的三等分线定义，垂直的性质，动点角度计算
【点评】
本题从学生已掌握的角平分线知识出发，迁移出新定义“角的三等分线”，既考查了学生对新定义的快速理解和迁移应用能力，又结合动态旋转场景设置角度计算问题，要求学生准确划分运动的时间节点，分多类情况讨论求解。解题时需要对得到的解进行范围校验，舍去不符合运动阶段的增根，避免漏解和错解，对分类讨论的逻辑能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
