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21.(本题8分)淘宝、唯品会、京东、美团等公司的崛起，催生了快递行业的高速发展。据调查，某市一家小型快递公司今年4月和6月完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件。
(1)求该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率；
(2)已知该快递公司投递业务员平均每人每月最多可投递快递0.4万件，若以今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率作为6月至7月投递快递总件数的月增长率，那么该公司现有的31名快递投递业务员能否完成今年7月的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名投递业务员？(假设增加的业务员与现有的业务员投递效率相等)
(1)求该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率；
(2)已知该快递公司投递业务员平均每人每月最多可投递快递0.4万件，若以今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率作为6月至7月投递快递总件数的月增长率，那么该公司现有的31名快递投递业务员能否完成今年7月的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名投递业务员？(假设增加的业务员与现有的业务员投递效率相等)
答案
21.解:(1)设该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为$x$,由题意,得$10(1+x)^2=12.1$,解得$x_1=-2.1$(舍去),$x_2=0.1$,故该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为10%；(2)$12.1×(1+10\%)=13.31$,$31×0.4=12.4＜13.31$,故不能;设增加$m$名投递业务员,由题意,得$12.4+0.4m＞13.31$,解得$m＞2.275$,因$m$是正整数,故至少需要增加3名投递业务员。
解析
【分析】
第(1)问是增长率问题，核心公式为“初始量×(1+增长率)^时间间隔=终量”，设月平均增长率为x，代入4月、6月的投递量列一元二次方程，解出后舍去负的不合理根即可；第(2)问先利用第(1)问的增长率算出7月投递量，再对比现有业务员的总投递量判断能否完成，若不能，设需增加的业务员数为m，根据“增加后总投递量≥7月任务量”列一元一次不等式，结合m为正整数的条件求解。
【解析】
(1)设该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为$x$，
由题意得：$10(1+x)^2 = 12.1$，
解方程：$(1+x)^2 = 1.21$，
开方得：$1+x = ±1.1$，
解得$x_1 = -2.1$（增长率不能为负，舍去），$x_2 = 0.1 = 10\%$，
故月平均增长率为10%；
(2)7月投递总件数：$12.1×(1+10\%) = 13.31$（万件），
现有31名业务员每月最多投递：$31×0.4 = 12.4$（万件），
因为$12.4 ＜ 13.31$，所以不能完成任务；
设需要增加$m$名投递业务员，
由题意得：$12.4 + 0.4m ≥ 13.31$，
解得：$m ≥ 2.275$，
因$m$为正整数，故$m$最小取3，即至少需要增加3名投递业务员。
【答案】
(1)该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为10%；(2)该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，至少需要增加3名投递业务员。
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际快递投递场景，考查增长率的一元二次方程应用和实际问题中的不等式求解，需注意舍去不符合实际意义的解，以及人数为正整数的隐含条件，侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
第(1)问是增长率问题，核心公式为“初始量×(1+增长率)^时间间隔=终量”，设月平均增长率为x，代入4月、6月的投递量列一元二次方程，解出后舍去负的不合理根即可；第(2)问先利用第(1)问的增长率算出7月投递量，再对比现有业务员的总投递量判断能否完成，若不能，设需增加的业务员数为m，根据“增加后总投递量≥7月任务量”列一元一次不等式，结合m为正整数的条件求解。
【解析】
(1)设该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为$x$，
由题意得：$10(1+x)^2 = 12.1$，
解方程：$(1+x)^2 = 1.21$，
开方得：$1+x = ±1.1$，
解得$x_1 = -2.1$（增长率不能为负，舍去），$x_2 = 0.1 = 10\%$，
故月平均增长率为10%；
(2)7月投递总件数：$12.1×(1+10\%) = 13.31$（万件），
现有31名业务员每月最多投递：$31×0.4 = 12.4$（万件），
因为$12.4 ＜ 13.31$，所以不能完成任务；
设需要增加$m$名投递业务员，
由题意得：$12.4 + 0.4m ≥ 13.31$，
解得：$m ≥ 2.275$，
因$m$为正整数，故$m$最小取3，即至少需要增加3名投递业务员。
【答案】
(1)该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为10%；(2)该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，至少需要增加3名投递业务员。
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际快递投递场景，考查增长率的一元二次方程应用和实际问题中的不等式求解，需注意舍去不符合实际意义的解，以及人数为正整数的隐含条件，侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
22.(本题10分)如图,在菱形ABCD中,$60°＜∠A＜90°$。点E,F分别在边AB,AD上,连结DE,CF,交于点G,且满足$∠CGE+∠B=180°$。
(1)若$∠A=70°,∠DCF=10°$,求$∠CFD$的度数;
(2)求证:$∠CDG=∠CFD$。
(1)若$∠A=70°,∠DCF=10°$,求$∠CFD$的度数;
(2)求证:$∠CDG=∠CFD$。
答案
22.解:(1)因为四边形ABCD为菱形,所以$AD// BC$,$AB// CD$,所以$∠A+∠B=180°$,$∠A+∠ADC=180°$。因为$∠A=70°$,所以$∠B=110°$,$∠ADC=110°$。因为$∠CGE+∠B=180°$,所以$∠CGE=70°$,所以$∠DGF=∠CGE=70°$。因为$∠DGF=∠GDC+∠DCG$,$∠DCF=10°$,所以$∠GDC=60°$,所以$∠ADE=110°-60°=50°$,所以$∠CFD=180°-∠ADE-∠DGF=60°$；(2)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以$AD// BC$,$AB// CD$,所以$∠A+∠B=180°$。因为$∠CGE+∠B=180°$,所以$∠A=∠CGE$。因为$∠CGE=∠DGF$,所以$∠A=∠DGF$。因为$∠CFD=180°-∠DGF-∠ADE$,$∠AED=180°-∠A-∠ADE$,所以$∠CFD=∠AED$。因为$AB// CD$,所以$∠CDG=∠AED$,所以$∠CDG=∠CFD$。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用菱形邻角互补、对边平行的性质，结合已知∠CGE与∠B的关系，通过对顶角相等、三角形内角和定理逐步推导∠CFD的度数；第(2)问通过菱形对边平行的性质，结合角的等量代换，证明两个角相等。首先回忆菱形的性质：对边平行且相等，邻角互补，对角相等。第(1)问先由∠A求出∠B和∠ADC，再根据∠CGE+∠B=180°算出∠CGE，利用对顶角得到∠DGF，结合三角形内角和求出相关角，最终计算∠CFD；第(2)问通过推导∠CFD=∠AED，再利用AB//CD得∠CDG=∠AED，从而完成证明。
【解析】
(1) 因为四边形ABCD是菱形，所以AD//BC，AB//CD，因此∠A+∠B=180°，∠A+∠ADC=180°。
已知∠A=70°，所以∠B=180°-70°=110°，∠ADC=180°-70°=110°。
又因为∠CGE+∠B=180°，所以∠CGE=180°-110°=70°，根据对顶角相等，∠DGF=∠CGE=70°。
在△DGF中，∠DGF=∠GDC+∠DCF（三角形外角性质），已知∠DCF=10°，所以∠GDC=∠DGF - ∠DCF=70°-10°=60°，则∠ADE=∠ADC - ∠GDC=110°-60°=50°。
在△DFG中，∠CFD=180°-∠ADE - ∠DGF=180°-50°-70°=60°。
(2) 证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AD//BC，AB//CD，故∠A+∠B=180°。
已知∠CGE+∠B=180°，所以∠A=∠CGE，又因为∠CGE=∠DGF（对顶角相等），所以∠A=∠DGF。
在△DFG中，∠CFD=180°-∠DGF - ∠ADE；在△ADE中，∠AED=180°-∠A - ∠ADE，所以∠CFD=∠AED。
又因为AB//CD，根据平行线内错角相等，∠CDG=∠AED，因此∠CDG=∠CFD。
【答案】
(1) ∠CFD的度数为60°；(2) 证明成立，即∠CDG=∠CFD。
【知识点】
菱形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查菱形的性质及角的等量代换，需要熟练运用平行线的性质和三角形内角和定理进行推导，注重逻辑推理能力的考查，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问利用菱形邻角互补、对边平行的性质，结合已知∠CGE与∠B的关系，通过对顶角相等、三角形内角和定理逐步推导∠CFD的度数；第(2)问通过菱形对边平行的性质，结合角的等量代换，证明两个角相等。首先回忆菱形的性质：对边平行且相等，邻角互补，对角相等。第(1)问先由∠A求出∠B和∠ADC，再根据∠CGE+∠B=180°算出∠CGE，利用对顶角得到∠DGF，结合三角形内角和求出相关角，最终计算∠CFD；第(2)问通过推导∠CFD=∠AED，再利用AB//CD得∠CDG=∠AED，从而完成证明。
【解析】
(1) 因为四边形ABCD是菱形，所以AD//BC，AB//CD，因此∠A+∠B=180°，∠A+∠ADC=180°。
已知∠A=70°，所以∠B=180°-70°=110°，∠ADC=180°-70°=110°。
又因为∠CGE+∠B=180°，所以∠CGE=180°-110°=70°，根据对顶角相等，∠DGF=∠CGE=70°。
在△DGF中，∠DGF=∠GDC+∠DCF（三角形外角性质），已知∠DCF=10°，所以∠GDC=∠DGF - ∠DCF=70°-10°=60°，则∠ADE=∠ADC - ∠GDC=110°-60°=50°。
在△DFG中，∠CFD=180°-∠ADE - ∠DGF=180°-50°-70°=60°。
(2) 证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AD//BC，AB//CD，故∠A+∠B=180°。
已知∠CGE+∠B=180°，所以∠A=∠CGE，又因为∠CGE=∠DGF（对顶角相等），所以∠A=∠DGF。
在△DFG中，∠CFD=180°-∠DGF - ∠ADE；在△ADE中，∠AED=180°-∠A - ∠ADE，所以∠CFD=∠AED。
又因为AB//CD，根据平行线内错角相等，∠CDG=∠AED，因此∠CDG=∠CFD。
【答案】
(1) ∠CFD的度数为60°；(2) 证明成立，即∠CDG=∠CFD。
【知识点】
菱形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查菱形的性质及角的等量代换，需要熟练运用平行线的性质和三角形内角和定理进行推导，注重逻辑推理能力的考查，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.6
23.(本题10分)定义:如果一个四边形有两条邻边相等,且这两条边所夹角的对角是直角,那么我们把这样的四边形称为“等对直四边形”,把夹角所对的直角称为“对直角”。
(1)如图1,在四边形ABCD中,若∠ADB=40°,∠CDB=20°,∠C=140°,∠ABC=70°,请判断四边形ABCD是否为“等对直四边形”?并说明理由;
(2)如图2,若四边形ABCD是“等对直四边形”,∠A是“对直角”,AD=4,AB=6,对角线BD恰好平分四边形ABCD中的一个内角,求此时BC的长;
(3)如图3,若四边形ABCD是“等对直四边形”,∠DAB是“对直角”,DA=2,DB=2√10,DC=2√5,求此时对角线AC的长。
(1)如图1,在四边形ABCD中,若∠ADB=40°,∠CDB=20°,∠C=140°,∠ABC=70°,请判断四边形ABCD是否为“等对直四边形”?并说明理由;
(2)如图2,若四边形ABCD是“等对直四边形”,∠A是“对直角”,AD=4,AB=6,对角线BD恰好平分四边形ABCD中的一个内角,求此时BC的长;
(3)如图3,若四边形ABCD是“等对直四边形”,∠DAB是“对直角”,DA=2,DB=2√10,DC=2√5,求此时对角线AC的长。
答案
23.解:(1)四边形ABCD是“等对直四边形”。理由如下:因为$∠CDB=20°$,$∠C=140°$,所以$∠CBD=20°$,所以$CD=CB$。因为$∠ADB=40°$,$∠ABC=70°$,所以$∠A=90°$,所以四边形ABCD是“等对直四边形”；(2)情况1:BD平分$∠ABC$,因为四边形ABCD是“等对直四边形”,$∠A$是“对直角”,所以$CD=CB$,$∠A=90°$。可构造以下三种基本图形(前两种须进一步证明$DC// AB$,第三种须进一步证明全等):
因为$AD=4$,$AB=6$,所以设$BC$的长为$x$,均可列出方程$4^2+(6-x)^2=x^2$,解得$x=\dfrac{13}{3}$,即$BC$的长为$\dfrac{13}{3}$;情况2:BD平分$∠ADC$,也可构造以下三种基本图形(前两种须进一步证明$AD// BC$,第三种须进一步证明全等):
因为$AD=4$,$AB=6$,所以设$BC$的长为$x$,均可列出方程$6^2+(x-4)^2=x^2$,解得$x=\dfrac{13}{2}$,即$BC$的长为$\dfrac{13}{2}$;综上所述,$BC$的长为$\dfrac{13}{3}$或$\dfrac{13}{2}$；(3)因为四边形ABCD是“等对直四边形”,$∠DAB$是“对直角”,所以$CD=CB$,$∠DAB=90°$。因为$DA=2$,$DB=2\sqrt{10}$,所以$AB=\sqrt{DB^2-DA^2}=6$。因为$DB=2\sqrt{10}$,$DC=2\sqrt{5}$,所以$DB^2=DC^2+BC^2$,即$∠DCB=90°$。根据对角互补等性质,可构造以下两种基本图形:
均可得到$AC^2=\dfrac{(6+2)^2}{2}=32$,即$AC=4\sqrt{2}$。解析
【分析】
本题围绕新定义“等对直四边形”展开，需紧扣定义：两条邻边相等，且这两条边所夹角的对角是直角。
(1) 要判断是否为“等对直四边形”，需先找相等邻边，再验证其夹角的对角是否为直角，通过三角形内角和与四边形内角和计算即可；
(2) 已知∠A是“对直角”，对应邻边夹角的对角为直角，BD平分内角分两种情况，构造直角三角形用勾股定理列方程求解；
(3) 由∠DAB是“对直角”得∠C为直角且CD=CB，先计算AB长度，再结合DB、DC得BC，最后利用几何性质求AC。
【解析】
(1) 四边形ABCD是“等对直四边形”，理由如下：
在△CDB中，∠CDB=20°，∠C=140°，根据三角形内角和得∠CBD=180°-20°-140°=20°，故∠CDB=∠CBD，因此CD=CB；
四边形内角和为360°，则∠A=360°-(∠ADB+∠CDB)-∠C-∠ABC=360°-(40°+20°)-140°-70°=90°；
CD与CB的夹角为∠C，其对角为∠A=90°，满足“等对直四边形”定义，故是“等对直四边形”。
(2) 因为四边形ABCD是“等对直四边形”，∠A是“对直角”，所以对应邻边夹角∠A的对角∠C=90°，BD平分内角分两种情况：
情况1：BD平分∠ABC，设BC=x，构造直角三角形得方程$4^2+(6-x)^2=x^2$，解得$x=\dfrac{13}{3}$；
情况2：BD平分∠ADC，设BC=x，构造直角三角形得方程$6^2+(x-4)^2=x^2$，解得$x=\dfrac{13}{2}$；
故BC的长为$\dfrac{13}{3}$或$\dfrac{13}{2}$。
(3) 因为四边形ABCD是“等对直四边形”，∠DAB是“对直角”，所以CD=CB，∠DAB=90°，其对角∠DCB=90°；
在Rt△DAB中，由勾股定理得$AB=\sqrt{DB^2-DA^2}=\sqrt{(2\sqrt{10})^2-2^2}=6$；
在Rt△DCB中，由勾股定理得$BC=\sqrt{DB^2-DC^2}=\sqrt{(2\sqrt{10})^2-(2\sqrt{5})^2}=2\sqrt{5}$，符合CD=CB；
构造辅助图形后，得$AC^2=\dfrac{(6+2)^2}{2}=32$，故$AC=4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 是，理由见解析；(2) $\dfrac{13}{3}$或$\dfrac{13}{2}$；(3) $4\sqrt{2}$
【知识点】
新定义四边形、勾股定理、三角形内角和
【点评】
本题为新定义几何题，需准确理解定义，结合三角形、四边形内角和与勾股定理，分情况讨论求解，考查几何分析与计算能力。
【难度系数】
0.3
本题围绕新定义“等对直四边形”展开，需紧扣定义：两条邻边相等，且这两条边所夹角的对角是直角。
(1) 要判断是否为“等对直四边形”，需先找相等邻边，再验证其夹角的对角是否为直角，通过三角形内角和与四边形内角和计算即可；
(2) 已知∠A是“对直角”，对应邻边夹角的对角为直角，BD平分内角分两种情况，构造直角三角形用勾股定理列方程求解；
(3) 由∠DAB是“对直角”得∠C为直角且CD=CB，先计算AB长度，再结合DB、DC得BC，最后利用几何性质求AC。
【解析】
(1) 四边形ABCD是“等对直四边形”，理由如下：
在△CDB中，∠CDB=20°，∠C=140°，根据三角形内角和得∠CBD=180°-20°-140°=20°，故∠CDB=∠CBD，因此CD=CB；
四边形内角和为360°，则∠A=360°-(∠ADB+∠CDB)-∠C-∠ABC=360°-(40°+20°)-140°-70°=90°；
CD与CB的夹角为∠C，其对角为∠A=90°，满足“等对直四边形”定义，故是“等对直四边形”。
(2) 因为四边形ABCD是“等对直四边形”，∠A是“对直角”，所以对应邻边夹角∠A的对角∠C=90°，BD平分内角分两种情况：
情况1：BD平分∠ABC，设BC=x，构造直角三角形得方程$4^2+(6-x)^2=x^2$，解得$x=\dfrac{13}{3}$；
情况2：BD平分∠ADC，设BC=x，构造直角三角形得方程$6^2+(x-4)^2=x^2$，解得$x=\dfrac{13}{2}$；
故BC的长为$\dfrac{13}{3}$或$\dfrac{13}{2}$。
(3) 因为四边形ABCD是“等对直四边形”，∠DAB是“对直角”，所以CD=CB，∠DAB=90°，其对角∠DCB=90°；
在Rt△DAB中，由勾股定理得$AB=\sqrt{DB^2-DA^2}=\sqrt{(2\sqrt{10})^2-2^2}=6$；
在Rt△DCB中，由勾股定理得$BC=\sqrt{DB^2-DC^2}=\sqrt{(2\sqrt{10})^2-(2\sqrt{5})^2}=2\sqrt{5}$，符合CD=CB；
构造辅助图形后，得$AC^2=\dfrac{(6+2)^2}{2}=32$，故$AC=4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 是，理由见解析；(2) $\dfrac{13}{3}$或$\dfrac{13}{2}$；(3) $4\sqrt{2}$
【知识点】
新定义四边形、勾股定理、三角形内角和
【点评】
本题为新定义几何题，需准确理解定义，结合三角形、四边形内角和与勾股定理，分情况讨论求解，考查几何分析与计算能力。
【难度系数】
0.3
