7. (2025·广安)如图，$E$，$F$是正方形$ABCD$的对角线$BD$上的两点，$BD = 10$，$DE = BF$，连接$AE$，$AF$，$CE$，$CF$.
(1)求证：$△ ADE≌△ CBF$；
(2)若四边形$AECF$的周长为$4\sqrt{34}$，求$EF$的长.

7. (1) 证明：$\because $四边形 $ABCD$ 为正方形，$\therefore AD = BC, BC // AD, \therefore ∠ ADE = ∠ CBF $. 在 $ △ ADE$ 和 $ △ CBF$ 中，$\{ \begin{array} { l } { AD = CB, } \\ { ∠ ADE = ∠ CBF, } \\ { DE = BF, } \end{array} $ $\therefore △ ADE ≌ △ CBF ( \mathrm { SAS } ) $.
(2) 解：连接 $AC$ 交 $BD$ 于点 $O$，如答图.

$\because $四边形 $ABCD$ 为正方形，$BD = 10$，$\therefore BD$ 垂直平分 $AC$，$OA = OC = OB = OD = \frac { 1 } { 2 } BD = 5$，$\therefore AF = CF, AE = CE$. 由 (1) 可知 $ △ ADE ≌ △ CBF, \therefore AE = CF$，$\therefore AF = CF = AE = CE$，$\therefore $四边形 $AECF$ 是菱形，$\therefore OF = OE, \therefore EF = 2OF$. $\because $四边形 $AECF$ 的周长为 $4AF = 4 \sqrt { 34 }, \therefore AF = \sqrt { 34 }$. 在 $ \mathrm { Rt } △ AOF$ 中，由勾股定理，得 $OF = \sqrt { AF ^ { 2 } - OA ^ { 2 } } = \sqrt { ( \sqrt { 34 } ) ^ { 2 } - 5 ^ { 2 } } = 3, \therefore EF = 2OF = 6$，即 $EF$ 的长为 $6$.

8. 如图①，已知正方形$ABCD$，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与正方形的一个顶点重合，直角的一边与$BC$相交于点$E$，另一边与$CD$的延长线相交于点$F$.
(1)证明：$BE = DF$；
(2)如图②，作$∠ EAF$的平分线交$CD$于点$G$，连接$EG$.证明：$BE + DG = EG$.

8. 证明：(1) $\because $四边形 $ABCD$ 为正方形，$\therefore AB = AD, ∠ BAD = ∠ B = ∠ ADC = 90 ^ { \circ }$，$\therefore ∠ ADF = 90 ^ { \circ }$. $\because ∠ EAF = 90 ^ { \circ }$，$\therefore ∠ EAD + ∠ FAD = 90 ^ { \circ }, ∠ EAD + ∠ BAE = 90 ^ { \circ }$. $\therefore ∠ BAE = ∠ DAF$. 在 $ △ ABE$ 和 $ △ ADF$ 中，$\{ \begin{array} { l } { ∠ BAE = ∠ DAF, } \\ { AB = AD, } \\ { ∠ ABE = ∠ ADF, } \end{array} $ $\therefore △ ABE ≌ △ ADF ( \mathrm { ASA } ) $. $\therefore BE = DF$.
(2) $\because △ ABE ≌ △ ADF, \therefore AE = AF$. $\because ∠ EAF$ 的平分线交 $CD$ 于点 $G$，$\therefore ∠ EAG = ∠ FAG$. 在 $ △ AEG$ 和 $ △ AFG$ 中，$\{ \begin{array} { l } { AE = AF, } \\ { ∠ EAG = ∠ FAG, } \\ { AG = AG, } \end{array} $ $\therefore △ AEG ≌ △ AFG ( \mathrm { SAS } ) $. $\therefore GE = GF$. $\because GF = DG + DF$，而 $BE = DF, \therefore BE + DG = EG$.

9. 如图，在平面直角坐标系中，$O$是原点，四边形$OABC$是边长为$4$的正方形，点$A$，$C$分别在$x$轴，$y$轴的正半轴上，$P$为边$OA$上任意一点（不与点$O$，$A$重合），连接$CP$，过点$P$作$PM⊥ CP$，交$AB$于点$D$，且$PM = CP$，过点$M$作$MN// OA$，交$BO$于点$N$，连接$ND$，$BM$，设$OP = t$.
(1)求点$M$的坐标（用含$t$的代数式表示）；
(2)试判断线段$MN$的长是否随点$P$位置的变化而变化，并说明理由.

9. 解：(1) 如答图，过点 $M$ 作 $ME ⊥ x$ 轴于点 $E$，则 $ ∠ PEM = ∠ COP = 90 ^ { \circ }$.

$\because PM ⊥ CP, \therefore ∠ CPM = 90 ^ { \circ }$. $\therefore ∠ OPC + ∠ MPE = ∠ MPE + ∠ PME = 90 ^ { \circ }$. $\therefore ∠ OPC = ∠ PME$. 又 $\because PM = CP, \therefore △ OPC ≌ △ EMP ( \mathrm { AAS } ) $. $\therefore ME = OP = t, PE = OC = 4, \therefore OE = t + 4, \therefore M ( t + 4, t ) $.
(2) $MN$ 的长为定值，$MN = 4$. 理由：$\because MN // OA, \therefore N$ 点的纵坐标为 $t$. 又 $\because N$ 点在第一象限角平分线 $OB$ 上，$\therefore N ( t, t )$，$\therefore MN = t + 4 - t = 4$.