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【典例】用火柴棒拼出的一系列图形如图所示.
仔细观察下列图形,找出规律,解答下列问题:
(1)第3个图中共有
(2)第n个图中共有
(3)第2 025个图中共有多少根火柴?
[思路导引] 可以把每个图最右侧的1根火柴先单独拿出来观察图形的规律.
[答案] 解:(1)由题图可得,第1个图中共有$3×1+1=4$(根)火柴,第2个图中共有$3×2+1=7$(根)火柴,第3个图中共有$3×3+1=10$(根)火柴,第4个图中共有$3×4+1=13$(根)火柴……所以第6个图中共有$3×6+1=19$(根)火柴.
故答案为10,13,19.
(2)观察(1)中的规律,以此类推可知,第n个图中共有$(3n+1)$根火柴,故答案为$(3n+1)$.
(3)根据(2)所求出的代数式,将2 025代入计算可得,$2025×3+1=6076$(根),所以第2 025个图中共有6 076根火柴.
仔细观察下列图形,找出规律,解答下列问题:
(1)第3个图中共有
10
根火柴,第4个图中共有13
根火柴,第6个图中共有19
根火柴;(2)第n个图中共有
3n+1
根火柴;(用含n的式子表示)(3)第2 025个图中共有多少根火柴?
[思路导引] 可以把每个图最右侧的1根火柴先单独拿出来观察图形的规律.
[答案] 解:(1)由题图可得,第1个图中共有$3×1+1=4$(根)火柴,第2个图中共有$3×2+1=7$(根)火柴,第3个图中共有$3×3+1=10$(根)火柴,第4个图中共有$3×4+1=13$(根)火柴……所以第6个图中共有$3×6+1=19$(根)火柴.
故答案为10,13,19.
(2)观察(1)中的规律,以此类推可知,第n个图中共有$(3n+1)$根火柴,故答案为$(3n+1)$.
(3)根据(2)所求出的代数式,将2 025代入计算可得,$2025×3+1=6076$(根),所以第2 025个图中共有6 076根火柴.
答案
解:(1)由题图可得,第1个图中共有$3×1+1=4$(根)火柴,第2个图中共有$3×2+1=7$(根)火柴,第3个图中共有$3×3+1=10$(根)火柴,第4个图中共有$3×4+1=13$(根)火柴……所以第6个图中共有$3×6+1=19$(根)火柴.
故答案为10,13,19.
(2)观察(1)中的规律,以此类推可知,第n个图中共有$(3n+1)$根火柴,故答案为$(3n+1)$.
(3)根据(2)所求出的代数式,将2 025代入计算可得,$2025×3+1=6076$(根),所以第2 025个图中共有6 076根火柴.
故答案为10,13,19.
(2)观察(1)中的规律,以此类推可知,第n个图中共有$(3n+1)$根火柴,故答案为$(3n+1)$.
(3)根据(2)所求出的代数式,将2 025代入计算可得,$2025×3+1=6076$(根),所以第2 025个图中共有6 076根火柴.
解析
【分析】
我们先观察前几个图形的火柴棒数量：第1个图有4根，第2个图有7根，第3个图有10根，可发现每增加1个正方形，火柴棒就多3根。也可以把每个图最右侧的1根火柴单独拆分出来，剩下的火柴棒数量刚好是图形序号的3倍，因此总火柴数=3×图形序号+1。顺着这个思路，就能算出对应序号的火柴数，推导第n个图的表达式，最后代入具体数值计算即可。
【解析】
(1) 根据观察到的规律计算：
第1个图火柴数：$3×1+1=4$（根）
第2个图火柴数：$3×2+1=7$（根）
第3个图火柴数：$3×3+1=10$（根）
第4个图火柴数：$3×4+1=13$（根）
第6个图火柴数：$3×6+1=19$（根）
(2) 推广到第n个图，火柴棒数量为3乘n再加1，即$(3n+1)$根。
(3) 将$n=2025$代入表达式$3n+1$计算：
$3×2025+1=6075+1=6076$（根）
【答案】
(1) 10，13，19
(2) $3n+1$
(3) 6076根
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是通过对比相邻图形的数量差异，找到固定增量，进而推导通用规律表达式，再利用表达式解决具体问题，能有效锻炼观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
我们先观察前几个图形的火柴棒数量：第1个图有4根，第2个图有7根，第3个图有10根，可发现每增加1个正方形，火柴棒就多3根。也可以把每个图最右侧的1根火柴单独拆分出来，剩下的火柴棒数量刚好是图形序号的3倍，因此总火柴数=3×图形序号+1。顺着这个思路，就能算出对应序号的火柴数，推导第n个图的表达式，最后代入具体数值计算即可。
【解析】
(1) 根据观察到的规律计算：
第1个图火柴数：$3×1+1=4$（根）
第2个图火柴数：$3×2+1=7$（根）
第3个图火柴数：$3×3+1=10$（根）
第4个图火柴数：$3×4+1=13$（根）
第6个图火柴数：$3×6+1=19$（根）
(2) 推广到第n个图，火柴棒数量为3乘n再加1，即$(3n+1)$根。
(3) 将$n=2025$代入表达式$3n+1$计算：
$3×2025+1=6075+1=6076$（根）
【答案】
(1) 10，13，19
(2) $3n+1$
(3) 6076根
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是通过对比相邻图形的数量差异，找到固定增量，进而推导通用规律表达式，再利用表达式解决具体问题，能有效锻炼观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
【变式】将若干张每张可坐6人的长方形桌子按如图所示的方式拼在一起.
(1)2张桌子拼在一起可坐
(2)一家餐厅有40张这样的长方形桌子,按照如图所示的方式每5张桌子拼成1张大桌子,40张桌子一共拼成了8张大桌子,则一共可坐多少人?
(1)2张桌子拼在一起可坐
8
人,3张桌子拼在一起可坐10
人,n张桌子拼在一起可坐2n+4
人;(2)一家餐厅有40张这样的长方形桌子,按照如图所示的方式每5张桌子拼成1张大桌子,40张桌子一共拼成了8张大桌子,则一共可坐多少人?
答案
(1)可以把桌子左右两侧的4人看作是不变的,随着桌子数量的增加,每增加1张桌子,可增加2人,1张桌子可坐 $2×1+4=6$(人),2张桌子拼在一起可坐 $2×2+4=8$(人),3张桌子拼在一起可坐 $2×3+4=10$(人),$n$ 张桌子拼在一起可坐$(2n+4)$人,故答案为 8,10,$(2n+4)$。
(2)因为每5张桌子拼成一张大桌子,将 $n=5$ 代入代数式 $2n+4$,得 $2n+4=2×5+4=14$,所以1张大桌子可坐14人,所以8张大桌子一共可坐 $14×8=112$(人)。
(2)因为每5张桌子拼成一张大桌子,将 $n=5$ 代入代数式 $2n+4$,得 $2n+4=2×5+4=14$,所以1张大桌子可坐14人,所以8张大桌子一共可坐 $14×8=112$(人)。
解析
【分析】
我们先观察不同数量桌子拼接时的可坐人数，区分不变部分和变化部分：不管多少张桌子拼在一起，桌子左右两侧始终一共可以坐4人，这是固定不变的；每增加1张桌子，桌子的上下两侧会各多1个座位，也就是一共多2个座位。按照这个规律，我们可以依次算出2张、3张桌子的可坐人数，再推导出n张桌子的通用表达式；第二问先算出5张桌子拼成的大桌可坐人数，再乘大桌的总数量就能得到总人数。
【解析】
(1) 1张桌子可坐人数：$2×1 + 4 = 6$（人）
2张桌子拼在一起可坐人数：$2×2 + 4 = 8$（人）
3张桌子拼在一起可坐人数：$2×3 + 4 = 10$（人）
由此可归纳出，n张桌子拼在一起可坐人数为$(2n+4)$人。
(2) 先计算5张桌子拼成的1张大桌子可坐人数，将$n=5$代入$2n+4$：
$2×5 + 4 = 14$（人）
40张桌子可拼成大桌子的数量：$40÷5=8$（张）
总可坐人数：$14×8 = 112$（人）
【答案】
(1) $\boxed{8}$，$\boxed{10}$，$\boxed{(2n+4)}$
(2) $\boxed{112}$人
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形规律类应用题，解题核心是通过观察区分出固定不变的量和随数量变化的量，将图形特征转化为代数式后再代入计算，能够锻炼学生的观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
我们先观察不同数量桌子拼接时的可坐人数，区分不变部分和变化部分：不管多少张桌子拼在一起，桌子左右两侧始终一共可以坐4人，这是固定不变的；每增加1张桌子，桌子的上下两侧会各多1个座位，也就是一共多2个座位。按照这个规律，我们可以依次算出2张、3张桌子的可坐人数，再推导出n张桌子的通用表达式；第二问先算出5张桌子拼成的大桌可坐人数，再乘大桌的总数量就能得到总人数。
【解析】
(1) 1张桌子可坐人数：$2×1 + 4 = 6$（人）
2张桌子拼在一起可坐人数：$2×2 + 4 = 8$（人）
3张桌子拼在一起可坐人数：$2×3 + 4 = 10$（人）
由此可归纳出，n张桌子拼在一起可坐人数为$(2n+4)$人。
(2) 先计算5张桌子拼成的1张大桌子可坐人数，将$n=5$代入$2n+4$：
$2×5 + 4 = 14$（人）
40张桌子可拼成大桌子的数量：$40÷5=8$（张）
总可坐人数：$14×8 = 112$（人）
【答案】
(1) $\boxed{8}$，$\boxed{10}$，$\boxed{(2n+4)}$
(2) $\boxed{112}$人
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形规律类应用题，解题核心是通过观察区分出固定不变的量和随数量变化的量，将图形特征转化为代数式后再代入计算，能够锻炼学生的观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
