1[2025浙江衢州调研,中]如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上一动点,则DN+MN的最小值为.

(第1题图)
(第2题图)

1. 10 【解析】如图,连接 BD,BN,BM. 因为正方形是轴对称图形,点 B 与点 D 是以直线 AC 为对称轴的对称点,所以直线 AC 为 BD 的垂直平分线,所以 BN = DN,所以 DN+MN=BN+MN,当点 N 在 BM 与 AC 的交点 P 处时,DN+MN 取得最小值,最小值为 BM 的长. 因为正方形 ABCD 的边长为 8,且 DM=2,所以 BC=CD=8,CM=8-2=6,∠BCD = 90°, 所以 BM = √(BC²+CM²) = √8²+6²=10,所以 DN+MN 的最小值为 10. 故答案为 10.

2[2025辽宁葫芦岛期中,较难]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=2$,$∠ C=30°$,点D为AC边的中点,点E为BC边上一点,连接AE,DE,则$△ ADE$周长的最小值是.

2. √3+1 【解析】如图,作点 D 关于 BC 的对称点 D',连 D'E,AD',CD',所以 DE = D'E,∠D'CE = ∠ACB,CD = CD'. 因为点 D 为 AC 边的中点,AB=AC=2,所以 AD = CD = CD' = 1,所以△ADE 的周长为 AE+DE+AD = AE+D'E+1≥AD'+1,当 A,E,D' 三点共线时,△ADE 的周长最小,最小值为 AD'+1. 因为 ∠ACB = 30°,所以∠DCD'=60°,所以△DCD'是等边三角形,所以 DD' = CD = AD = 1,∠DD'C = ∠D'DC = 60°,所以 ∠DAD' = ∠DD'A. 因为∠D'DC = ∠DAD' + ∠DD'A = 2∠DD'A = 60°,所以∠DD'A = 30°,所以 ∠AD'C = ∠DD'A + ∠DD'C = 90°. 在 Rt△AD'C 中, AD' = √(AC²-CD'²)=√2²-1²=√3,所以△ADE 周长的最小值为√3+1,故答案为√3+1.

3[2025广东珠海期末,中]如图,已知$∠ AOB=30°$,在$∠ AOB$内有一定点$P$,点$M,N$分别是$OA,OB$上的动点,若$△ PMN$周长的最小值为3,则$OP$的长为 ()

A.$1.5$
B.$3$
C.$3\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}$

(第3题图)
(第4题图)

3. B 【解析】如图,分别作点 P 关于 OA,OB 的对称点 D,E,连接 DE 分别交 OA,OB 于点 M,N,则此时△PMN 的周长最小,连接 OD,OE. 因为 P,D 关于 OA 对称,所以 OD = OP,PM = DM,同理 OE = OP,PN = EN,所以 OD = OE = OP. 因为 P,D 关于 OA 对称,所以 OA ⊥ PD. 因为 OD = OP,所以 ∠DOA = ∠POA,同理 ∠POB = ∠EOB,所以 ∠DOE = 2∠AOB = 2×30° = 60°. 因为 OD = OE,所以△DOE 是等边三角形,所以 DE = OD = OP. 因为△PMN 的周长是 PM+MN+PN = DM+MN+EN = DE = 3,所以 OP = 3,故选 B.
思路分析
作出辅助线,由轴对称的性质得出 OD = OE = OP,PM = DM,PN = NE,再得到△DOE 为等边三角形,利用线段和差求解即可.

4[2025 浙江杭州期末,中]如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=68°$,$BD$平分$∠ ABC$,$P$为线段$BD$上一动点,$Q$为边$AB$上一动点,当$AP+PQ$的值最小时,$∠ APB$的度数是（）

A.$118°$
B.$125°$
C.$136°$
D.$124°$

4. D 【解析】在 BC 上截取 BE = BQ,连接 PE,如图. 因为 BD 平分 ∠ABC,∠ABC = 68°,所以 ∠ABD = ∠CBD = 1/2∠ABC = 34°. 因为 BP = BP,所以 △PBQ ≅ △PBE (SAS),所以 PE = PQ,所以 AP+PQ = AP+PE,所以当 A,P,E 在同一直线上,且 AE ⊥ BC 时,AP+PE 的值最小,即 AP+PQ 的值最小. 过点 A 作 AE' ⊥ BC 于点 E',交 BD 于点 P'. 因为 ∠AE'B = 90°,∠CBD = 34°,所以 ∠AP'B = ∠AE'B + ∠CBD = 124°. 故选 D.
思路分析
在 BC 上截取 BE = BQ,连接 PE, 证 明 △PBQ ≅ △PBE (SAS),得出 PE = PQ,说明 AP+PQ = AP+PE,确定当 A,P,E 在同一直线上,且 AE ⊥ BC 时,AP+PE 的值最小,即 AP+PQ 的值最小,进而求解.

5[2025江苏连云港期中，中]如图，在边长为8的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E，F分别是AD和CD边上的动点，则四边形BEFG周长的最小值为。

5. 24 【解析】如图,作点 G 关于 CD 的对称点 G',作点 B 关于 AD 的对称点 B',连接 B'G',B'E,FG'. 易知 BE = B'E,FG = FG',所以四边形 BEFG 的周长为 BE+EF+FG+BG = B'E+EF+FG'+BG. 因为 B'E+EF+FG' ≥ B'G',所以当点 B',E,F,G' 共线时,四边形 BEFG 的周长最小,最小值为 BG+B'G'. 因为 BG = CG = CG' = 1/2 BC = 4,AB' = AB = 8,所以 BB' = AB+AB' = 16,BG' = BC+CG' = 8+4 = 12,所以 B'G' = √(BG'²+BB'²) = √12²+16² = 20,所以 BG+B'G' = 4+20 = 24,所以四边形 BEFG 周长的最小值为 24,故答案为 24.

6[2025湖北黄石期中,较难]已知在河的两岸有A,B两个村庄,河宽为4千米,A,B两村庄的直线距离AB=10千米,A,B两村庄到河岸的距离分别为1千米,3千米,计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸,M点为靠近A村庄的河岸上一点,则从A村庄到B村庄的最短路程为 ()

A.$\sqrt{52}$千米
B.$(\sqrt{52}+4)$千米
C.$(3+\sqrt{37})$千米
D.$(\sqrt{85}+4)$千米

6. B 【解析】如图,将 MN 沿 NB 方向平移至 B'B,连接 MB',AB',则 MN // BB' 且 MN = BB',MB' = BN,所以 AM+MN+NB = AM+MB'+MN ≥ AB'+MN,且当 A,M,B' 三点共线时取得最小值. 因为 AB = 10 千米,BC = 1+3+4 = 8(千米),所以在 Rt△ABC 中,AC = √(AB²-BC²) = 6 千米. 在 Rt△AB'C 中,B'C = 4 千米,所以 AB' = √(AC²+B'C²) = √52 千米,则从 A 村庄到 B 村庄的最短路程为 AB'+MN = (√52+4) 千米. 故选 B.
关键点拨
根据“两点之间线段最短”得出 A 村庄到 B 村庄的最短路程为 AB' + MN 的值是解题的关键.

7[2025 陕西西安校级期末,中]如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=80°$,$AB=BC=\sqrt{5}$,在$BC$上方作射线$BD$,且$∠ CBD=10°$,若$P$为$BD$上的一个动点,则$|PA-PC|$的最大值为。

7. √5 【解析】如图,作点 C 关于直线 BD 的对称点 C',连接 BC',PC',AC',所以 PC' = PC,∠CBC' = 2∠CBP = 20°,BC' = BC,所以 |PA-PC| = |PA-PC'| ≤ AC'. 因为 AB = BC,∠ABC = 80°,所以 BC' = AB,∠ABC' = 60°,所以△ABC' 是等边三角形,所以 AC' = AB = √5,所以 |PA-PC| 的最大值为 √5. 故答案为 √5.

8[2025山东泰安校级质检,中]如图,A,B两点都在直线MN的上方,AB=5,A到直线MN的距离AC=8,B到直线MN的距离BD=5,P在直线MN上运动,则|PA - PB|的最大值等于.

8. 5 【解析】如图,延长 AB 交 MN 于点 P'. 因为 AB ≥ |PA-PB|,所以当点 P 运动到 P' 点的位置时,|PA-PB| 的值最大. 因为 AB = 5,所以 |PA-PB| 的最大值为 5. 故答案为 5.