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9. (2025·扬州仪征期中) 如图,点 B,F,C,E 在同一条直线上,$BF=EC$,$AB=DE$,$∠ B=∠ E$. 求证:$AC=DF$.
答案
9.
∵BF=EC,
∴BF+CF=EC+CF,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠B=∠E, \\ BC=EF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴AC=DF.
归纳总结 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确利用全等三角形的判定定理进行解答是解题的关键.
∵BF=EC,
∴BF+CF=EC+CF,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠B=∠E, \\ BC=EF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴AC=DF.
归纳总结 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确利用全等三角形的判定定理进行解答是解题的关键.
10. (2024·苏州昆山一模) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $D$为 $AB$ 上一点, $E$ 为 $AC$ 的中点, 连接 $DE$ 并延长至点 $F$, 使得 $EF=ED$, 连接 $CF$.
(1)求证:$CF// AB$;
(2)若 $∠ A=70°$, $∠ F=35°$, $BE⊥ AC$, 求$∠ BED$ 的度数.
(1)求证:$CF// AB$;
(2)若 $∠ A=70°$, $∠ F=35°$, $BE⊥ AC$, 求$∠ BED$ 的度数.
答案
10. (1)
∵E为AC的中点,
∴AE=CE.
在△AED和△CEF中,$\begin{cases} AE=CE, \\ ∠AED=∠CEF, \\ ED=EF, \end{cases}$
∴△AED≌△CEF(SAS),
∴∠A=∠ACF,
∴CF//AB.
(2)
∵∠A=∠ACF=70°,∠F=35°,
∴∠AED=∠CEF=180°-70°-35°=75°.
∵BE⊥AC,
∴∠AEB=90°,
∴∠BED=90°-75°=15°.
∵E为AC的中点,
∴AE=CE.
在△AED和△CEF中,$\begin{cases} AE=CE, \\ ∠AED=∠CEF, \\ ED=EF, \end{cases}$
∴△AED≌△CEF(SAS),
∴∠A=∠ACF,
∴CF//AB.
(2)
∵∠A=∠ACF=70°,∠F=35°,
∴∠AED=∠CEF=180°-70°-35°=75°.
∵BE⊥AC,
∴∠AEB=90°,
∴∠BED=90°-75°=15°.
11. (2024·宿迁宿豫区期中) 如图, 在 $△ A B C$ 中, $B E ⊥$ $A C, C F ⊥ A B$, 垂足分别为 $E, F$, 点 $P$ 在 $C F$ 的延长线上, 点 $D$ 在线段 $B E$ 上, 且 $C P=$ $A B, B D=A C$, 连接 $A P, A D$.
(1) 求证: $△ A B D ≌ △ P C A$;
(2) 求 $∠ P$ 的度数.
(1) 求证: $△ A B D ≌ △ P C A$;
(2) 求 $∠ P$ 的度数.
答案
11. (1)
∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠BEA=∠CFA=90°,
∴∠EAF+∠ABD=90°,∠EAF+∠PCA=90°,
∴∠ABD=∠PCA.
在△ABD和△PCA中,$\begin{cases} AB=PC, \\ ∠ABD=∠PCA, \\ BD=CA, \end{cases}$
∴△ABD≌△PCA(SAS).
(2)由(1),得△ABD≌△PCA,
∴∠BAD=∠P,AD=PA,
∴∠ADF=∠P,
∴∠BAD=∠ADF.
∵∠CFA=90°,
∴∠BAD+∠ADF=90°,
∴2∠ADF=90°,
∴∠ADF=45°,
∴∠P=45°.
∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠BEA=∠CFA=90°,
∴∠EAF+∠ABD=90°,∠EAF+∠PCA=90°,
∴∠ABD=∠PCA.
在△ABD和△PCA中,$\begin{cases} AB=PC, \\ ∠ABD=∠PCA, \\ BD=CA, \end{cases}$
∴△ABD≌△PCA(SAS).
(2)由(1),得△ABD≌△PCA,
∴∠BAD=∠P,AD=PA,
∴∠ADF=∠P,
∴∠BAD=∠ADF.
∵∠CFA=90°,
∴∠BAD+∠ADF=90°,
∴2∠ADF=90°,
∴∠ADF=45°,
∴∠P=45°.
12. 手拉手模型 如图，$△ ACD$ 和 $△ BCE$ 都是等腰直角三角形，$∠ ACD = ∠ BCE = 90°$，$AE$ 交$DC$ 于点 $F$，$BD$ 分别交 $CE$，$AE$ 于点 $G$，$H$.试猜测线段 $AE$ 和 $BD$ 的数量和位置关系，并说明理由.
精题详解
精题详解
答案
12. 猜测AE=BD,AE⊥BD.理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=90°,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
即∠ACE=∠DCB.
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴AC=DC,CE=CB.
在△ACE和△DCB中,$\begin{cases} AC=DC, \\ ∠ACE=∠DCB, \\ CE=CB, \end{cases}$
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD,∠CAE=∠CDB.
∵∠AFC=∠DFH,
∴∠DHF=∠ACD=90°,
∴AE⊥BD.
∵∠ACD=∠BCE=90°,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
即∠ACE=∠DCB.
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴AC=DC,CE=CB.
在△ACE和△DCB中,$\begin{cases} AC=DC, \\ ∠ACE=∠DCB, \\ CE=CB, \end{cases}$
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD,∠CAE=∠CDB.
∵∠AFC=∠DFH,
∴∠DHF=∠ACD=90°,
∴AE⊥BD.
13. (2024·云南中考) 如图, 在$△ ABC$和$△ AED$中,
$AB=AE,∠ BAE=∠ CAD,AC=AD.$
求证:$△ ABC≌△ AED.$
$AB=AE,∠ BAE=∠ CAD,AC=AD.$
求证:$△ ABC≌△ AED.$
答案
13.
∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,
即∠BAC=∠EAD.
在△ABC与△AED中,$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAC=∠EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
∴△ABC≌△AED(SAS).
归纳总结 本题考查了三角形全等的判定与性质,解题的关键是掌握三角形全等的判定定理.
∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,
即∠BAC=∠EAD.
在△ABC与△AED中,$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAC=∠EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
∴△ABC≌△AED(SAS).
归纳总结 本题考查了三角形全等的判定与性质,解题的关键是掌握三角形全等的判定定理.
