4. 如图,以点$O$为圆心的两个同心圆中,大圆的弦$AB$交小圆于点$C,D$,$OC,OD$的延长线分别交大圆于点$E,F$. 求证:$\overgroup{AE}=\overgroup{BF}$.

证明: 如答图, 连接 $OA$,$OB$.
$\because OC=OD$,$\therefore ∠ OCD=∠ ODC$.
$\because OA=OB$,$\therefore ∠ OAB=∠ OBA$.
$\because ∠ OCD=∠ OAC+∠ AOC$,
$∠ ODC=∠ OBD+∠ BOD$,$\therefore ∠ AOC=∠ BOD$,
即 $∠ AOE=∠ BOF$,$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$.

【分析】
要证明同圆中的两段弧相等，我们可以利用同圆中相等的圆心角所对的弧相等这一性质，将问题转化为证明两段弧对应的圆心角∠AOE和∠BOF相等。首先结合同心圆的性质，可得大圆半径OA=OB，小圆半径OC=OD，利用等边对等角得到两组底角相等，再借助三角形外角的性质，即可推导得出两个目标圆心角相等，最终完成弧相等的证明。
【解析】
证明：连接OA，OB，
∵ OC、OD是小圆的半径，
∴ OC=OD，由等边对等角可得∠OCD=∠ODC。
∵ OA、OB是大圆的半径，
∴ OA=OB，由等边对等角可得∠OAB=∠OBA。
根据三角形外角的性质：
∠OCD = ∠OAC + ∠AOC，
∠ODC = ∠OBD + ∠BOD，
结合∠OCD=∠ODC，∠OAC=∠OAB，∠OBD=∠OBA，可推出∠AOC=∠BOD，
即∠AOE=∠BOF，
在大圆中，相等的圆心角所对的弧相等，因此$\overgroup{AE}=\overgroup{BF}$。
【答案】
证明: 如答图, 连接 $OA$,$OB$.
$\because OC=OD$,$\therefore ∠ OCD=∠ ODC$.
$\because OA=OB$,$\therefore ∠ OAB=∠ OBA$.
$\because ∠ OCD=∠ OAC+∠ AOC$,
$∠ ODC=∠ OBD+∠ BOD$,$\therefore ∠ AOC=∠ BOD$,
即 $∠ AOE=∠ BOF$,$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$.

【知识点】
同圆半径相等，等边对等角，圆心角弧关系
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心考查同圆中圆心角与弧的对应相等关系，通过等腰三角形性质、三角形外角定理推导圆心角相等，辅助线构造简单，能够帮助学生巩固圆的基础性质，理清弧相等的常见证明思路。
【难度系数】
0.7

5. (2025·姑苏区期中)如图,点 A,B,C 在$\odot O$上,$CO⊥ AB$于点 G,交$\odot O$于点 E,连接 AC,BE.$BD⊥ AC$于点 D,BD 与 CE 相交于点 F.
(1)若$AB=6,EG=2$,求$\odot O$的半径;
(2)求证:$BF=BE$.

(1) 解: 如答图, 连接 $OA$.
$\because CO⊥ AB$ 于点 $G$, 交 $\odot O$ 于点 $E$, 且 $AB=6$,
$\therefore AG=BG=\dfrac{1}{2}AB=3$,$∠ OGA=90°$.
$\because OE=OA$,$EG=2$,$\therefore OG=OE-EG=OA-2$.
$\because OG^2+AG^2=OA^2$,$\therefore (OA-2)^2+3^2=OA^2$,
解得 $OA=\dfrac{13}{4}$,$\therefore \odot O$ 的半径为 $\dfrac{13}{4}$.
(2) 证明: 如答图, 连接 $BC$. $\because CO⊥ AB$, 交 $\odot O$ 于点 $E$,
$\therefore CE$ 是 $\odot O$ 的直径,$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$,
$\therefore ∠ CBE=90°$,$∠ ACE=∠ BCE$,
$\therefore ∠ E=90°-∠ BCE$.
$\because BD⊥ AC$,$\therefore ∠ CDF=90°$,
$\therefore ∠ BFE=∠ CFD=90°-∠ ACE=90°-∠ BCE$,
$\therefore ∠ E=∠ BFE$,$\therefore BF=BE$.

【分析】
(1) 第一问的解题思路：先连接OA构造直角三角形，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，由CO⊥AB直接得到AG的长度为AB的一半，设圆O半径为r，用r表示出OG的长度，再在Rt△OGA中利用勾股定理列方程，即可解出半径的值。
(2) 第二问要证明BF=BE，根据等腰三角形等角对等边的性质，只需证明∠E=∠BFE即可。首先由垂径定理得到弧AE等于弧BE，推出对应的圆周角∠ACE=∠BCE，再结合CE是直径得到∠CBE=90°，BD⊥AC得到∠CDF=90°，将∠E和∠BFE分别用90°减去相等的角表示，即可得到两个角相等，进而证得线段相等。
【解析】
(1) 连接OA，
∵ CO⊥ AB 于点 G，CE是⊙O的直径，AB=6，
∴ 由垂径定理得 $AG=BG=\dfrac{1}{2}AB=3$，$∠ OGA=90°$。
设⊙O的半径为r，则$OA=OE=r$，
已知$EG=2$，因此$OG=OE-EG=r-2$。
在Rt△OGA中，由勾股定理得：$OG^2+AG^2=OA^2$，
代入得：$(r-2)^2+3^2=r^2$，
展开化简得：$r^2-4r+13=r^2$，
解得$r=\dfrac{13}{4}$。
即$\odot O$的半径为$\dfrac{13}{4}$。
(2) 连接BC，
∵ CE是⊙O的直径，且$CO⊥ AB$，
∴ 由垂径定理得 $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，
因此$∠ ACE=∠ BCE$。
∵ CE是⊙O的直径，$\therefore ∠ CBE=90°$，
在Rt△CBE中，$∠ E=90°-∠ BCE$。
又
∵ $BD⊥ AC$，$\therefore ∠ CDF=90°$，
在Rt△CDF中，$∠ CFD=90°-∠ ACE$，
由对顶角相等得$∠ BFE=∠ CFD$，
因此$∠ BFE=90°-∠ ACE=90°-∠ BCE=∠ E$，
即$∠ BFE=∠ E$，由等角对等边可得$BF=BE$。
【答案】
(1) $\odot O$ 的半径为 $\dfrac{13}{4}$；(2) 证明如上。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆章节的经典基础综合题，第一问考察了垂径定理结合勾股定理求圆半径的常规方法，是圆相关计算的核心基础题型；第二问通过角度等量代换证明线段相等，考察了圆周角相关性质和等腰三角形的判定，引导学生掌握圆中角度转换的常用思路，整体考点覆盖全面，适合巩固圆的基础性质。
【难度系数】
0.65

6. 如图,半圆$O$的直径$AB=10\ \mathrm{cm}$,弦$AC=6\ \mathrm{cm}$,将半圆沿着过点$A$的直线折叠,折叠后使得弦$AC$恰好落在直径$AB$上,则折痕$AD$的长为$\mathrm{cm}$.

第6题图

$4\sqrt{5}$

【分析】
解题思路如下：1. 首先看到AB是半圆的直径，优先联想到直径所对的圆周角是直角，因此连接BC，在Rt△ABC中用勾股定理快速算出BC的长度；2. 根据折叠的性质，折叠后AC落在AB上，说明折痕AD是∠CAB的角平分线，即∠CAD=∠BAD，结合圆周角的性质，相等的圆周角所对的弧相等，因此可得弧CD=弧BD，即D是弧BC的中点；3. 连接OD交BC于点F，根据垂径定理的推论，平分弧的直径垂直平分该弧对应的弦，因此OD⊥BC，F为BC的中点，再结合O是AB中点，可推出OF是△ABC的中位线，算出OF的长度，进而得到DF的长度；4. 先在Rt△BDF中用勾股定理求出BD的长度，再在Rt△ABD中利用勾股定理即可算出折痕AD的长度。
【解析】
解：连接BC、OD，设OD交BC于点F。
1. 因为AB是半圆O的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，AB=10cm，AC=6cm，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8\ \mathrm{cm}$。
2. 由折叠的性质可知，AD平分∠CAB，即∠CAD=∠BAD，根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，因此弧CD=弧BD，即D是弧BC的中点。
3. 根据垂径定理，OD垂直平分BC，因此$BF=FC=\frac{BC}{2}=4\ \mathrm{cm}$，且OD⊥BC。
又因为O是AB的中点，所以OF是△ABC的中位线，因此$OF=\frac{AC}{2}=3\ \mathrm{cm}$。
已知半圆半径$OD=\frac{AB}{2}=5\ \mathrm{cm}$，因此$DF=OD - OF=5 - 3=2\ \mathrm{cm}$。
4. 在Rt△BDF中，由勾股定理得：
$BD^2=BF^2 + DF^2=4^2 + 2^2=20$。
5. 又因为AB是直径，所以∠ADB=90°，在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD^2=AB^2 - BD^2=10^2 - 20=80$，因此$AD=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
直径的圆周角性质，垂径定理，折叠的性质
【点评】
本题属于圆与折叠结合的中档题型，核心是将折叠得到的角平分线条件转化为圆中等弧的条件，进而利用垂径定理构造直角三角形求解，需要学生熟练掌握圆的基础性质，具备一定的几何转化能力。
【难度系数】
0.4

7. 已知四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,连接 $AC,BD$ 相交于点 $E$.
(1) 如图①,若 $AC=BD$,求证:$AE=DE$;
(2) 如图②,若 $AC⊥ BD$,连接 $OC$,求证:$∠ OCD=∠ ACB$.

(1) $\because AC=BD$,$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,
即 $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}$,$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,
$\therefore ∠ ADB=∠ CAD$,$\therefore AE=DE$.
(2) 延长 $CO$ 交 $\odot O$ 于点 $F$, 连接 $DF$, 如答图.

$\because AC⊥ BD$,$\therefore ∠ AED=90°$,
$\therefore ∠ ADE+∠ CAD=90°$.
$\because ∠ ACB=∠ ADE$,$∠ F=∠ CAD$,$\therefore ∠ ACB+∠ F=90°$.
$\because CF$ 为 $\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ CDF=90°$,
$\therefore ∠ F+∠ FCD=90°$,
$\therefore ∠ FCD=∠ ACB$, 即 $∠ OCD=∠ ACB$.

【分析】
(1) 要证明AE=DE，可利用等腰三角形“等角对等边”的性质，将目标转化为证明∠EAD=∠EDA。已知AC=BD，在同圆中相等的弦对应相等的弧，因此可得弧AC等于弧BD，将两段弧拆分为公共弧BC分别与弧AB、弧CD的和，消去公共弧后即可得到弧AB=弧CD，再根据同弧所对的圆周角相等，可推出∠ADB=∠CAD，即可证得AE=DE。
(2) 要证明∠OCD=∠ACB，观察到OC是圆的半径，可延长CO构造圆的直径，利用直径所对的圆周角为90°的性质得到Rt△CDF，推出∠F+∠OCD=90°；再结合已知AC⊥BD，可得∠ADE+∠CAD=90°，最后利用同弧所对的圆周角相等，完成角的等量代换，通过“同角的余角相等”即可推出两个目标角相等。
【解析】
(1) 证明：
∵ AC=BD，
∴ 在同圆中，相等的弦对应的弧相等，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
将弧拆分可得：$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}$，
两边消去公共弧$\overset{\frown}{BC}$，得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ 同弧对应的圆周角相等，即$∠ ADB=∠ CAD$，
∴ AE=DE（等角对等边）。
(2) 证明：
延长 $CO$ 交 $\odot O$ 于点 $F$, 连接 $DF$，
∵ $AC⊥ BD$，
∴ $∠ AED=90°$，
在Rt△ADE中，$∠ ADE+∠ CAD=90°$。
根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ ACB=∠ ADE$，$∠ F=∠ CAD$，
代入得：$∠ ACB+∠ F=90°$。
∵ $CF$ 为 $\odot O$ 的直径，
∴ 直径所对的圆周角为直角，即$∠ CDF=90°$，
在Rt△CDF中，$∠ F+∠ FCD=90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ FCD=∠ ACB$，
即 $∠ OCD=∠ ACB$。
【答案】
(1) 证明过程如上，可证得$AE=DE$；
(2) 证明过程如上，可证得$∠ OCD=∠ ACB$。

【知识点】
1. 同圆弦弧对应关系
2. 圆周角定理
3. 直径的圆周角性质
【点评】
本题是圆内接四边形相关的经典证明题，第一问侧重弦、弧、圆周角三者的正向转化，思路直接难度较低；第二问需要自主构造直径辅助线，利用互余关系完成角的等量代换，是圆中角度证明的常用技巧，有效考察学生对圆周角相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6