1. (遂宁中考)分式方程$\frac{2}{x-1}=1-\frac{m}{x-1}$的解为正数,则$m$的取值范围是().

A.$m＞-3$
B.$m＞-3$且$m≠-2$
C.$m＜3$
D.$m＜3$且$m≠-2$

1. B 解析:去分母,得 2=x-1-m,
解得 x=m+3,
∵分式方程的解为正数,
∴m+3＞0 且 m+3≠1.
∴m＞-3 且 m≠-2. 故选 B.

【分析】
要解决这道含参分式方程求参数范围的问题，首先需将分式方程转化为整式方程，求出用参数m表示的方程的解；再结合“解为正数”的要求列不等式，同时要注意分式方程有意义的前提是分母不为0，也就是解不能使原方程分母为0，需额外列不等式排除增根情况，最后综合两个不等式的结果即可得到m的取值范围。
【解析】
给原分式方程两边同乘最简公分母$(x-1)$去分母，得：
$2 = x - 1 - m$
移项整理得：$x = m + 3$
∵分式方程的解为正数，
∴$x＞0$，即$m + 3 ＞ 0$，解得$m ＞ -3$；
又
∵原分式分母不能为0，即$x - 1 ≠ 0$，也就是$x≠1$，
∴$m + 3 ≠ 1$，解得$m ≠ -2$；
综上，m的取值范围是$m ＞ -3$且$m ≠ -2$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解法、分式有意义的条件、一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程含参问题的典型易错题，核心易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，仅根据解为正数求范围，导致漏了$m≠-2$的限制，解题时要同时满足解的取值要求和分式有意义的要求。
【难度系数】
0.6

2. 解方程：
(1) $\frac{3}{x^2 - 9} + \frac{x}{x - 3} = 1$；
(2) $\frac{3}{2x + 2} = 1 - \frac{1}{x + 1}$。

2. (1)$x=-4$；(2)$x=\frac{3}{2}$.

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否为增根：
1. 先对各分母因式分解，找到最简公分母；
2. 方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；
3. 解整式方程得到未知数的值；
4. 将求得的值代入最简公分母检验，若公分母不为0，则是原方程的解，若为0则是增根，需舍去。
第一题中分母$x^2-9$可因式分解为$(x+3)(x-3)$，最简公分母为$(x+3)(x-3)$；第二题中分母$2x+2$可因式分解为$2(x+1)$，最简公分母为$2(x+1)$。
【解析】
(1) 解方程$\frac{3}{x^2 - 9} + \frac{x}{x - 3} = 1$
第一步：因式分解分母，得$\frac{3}{(x+3)(x-3)} + \frac{x}{x - 3} = 1$，最简公分母为$(x+3)(x-3)$，且$x≠\pm3$；
第二步：方程两边同时乘$(x+3)(x-3)$去分母，得：
$3 + x(x+3) = (x+3)(x-3)$
第三步：展开计算：
左边：$3 + x^2 + 3x$，右边：$x^2 - 9$
移项合并同类项：$3 + 3x = -9$，解得$3x=-12$，$x=-4$；
第四步：检验：将$x=-4$代入$(x+3)(x-3)=(-1)×(-7)=7≠0$，故$x=-4$是原方程的解。
(2) 解方程$\frac{3}{2x + 2} = 1 - \frac{1}{x + 1}$
第一步：因式分解分母，得$\frac{3}{2(x+1)} = 1 - \frac{1}{x + 1}$，最简公分母为$2(x+1)$，且$x≠-1$；
第二步：方程两边同时乘$2(x+1)$去分母，得：
$3 = 2(x+1) - 2$
第三步：展开计算：
$3 = 2x + 2 - 2$，化简得$2x=3$，解得$x=\frac{3}{2}$；
第四步：检验：将$x=\frac{3}{2}$代入$2(x+1)=2×\frac{5}{2}=5≠0$，故$x=\frac{3}{2}$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=-4$；(2)$x=\frac{3}{2}$
【知识点】
分式方程求解，因式分解，增根检验
【点评】
本题属于分式方程求解的常规题型，解题的关键是准确确定最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解，要牢记解分式方程必须检验，避免出现增根导致解题错误。
【难度系数】
0.7

3. 先化简分式$1-\dfrac{a-1}{a}· \dfrac{a^2+2a}{a^2-1}$，然后在$-1,0,1,2$中选一个合适的数作为$a$的值代入求值.

3. $1-\frac{a-1}{a}·\frac{a^2+2a}{a^2-1}=1-\frac{a-1}{a}·\frac{a(a+2)}{(a+1)(a-1)}$
$=1-\frac{a+2}{a+1}=\frac{a+1-a-2}{a+1}=-\frac{1}{a+1}.$
由题意,得$a≠-1,0,1,∴a=2.$
当$a=2$时,原式$=-\frac{1}{2+1}=-\frac{1}{3}.$

【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先按分式混合运算顺序化简原式，先算乘法部分，先对乘法中的分子、分母因式分解，约分后再计算减法，得到最简结果；第二步先根据分式有意义的条件（分母不为0）排除掉给定数值中使原式无意义的a的取值，再选合适的a代入最简式计算结果即可。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}1-\frac{a-1}{a}·\frac{a^2+2a}{a^2-1}&=1-\frac{a-1}{a}·\frac{a(a+2)}{(a+1)(a-1)}\\&=1-\frac{a+2}{a+1}\\&=\frac{a+1-(a+2)}{a+1}\\&=-\frac{1}{a+1}\end{aligned}$
根据分式有意义的条件，分母不能为0，因此$a≠0$，且$a^2-1≠0$，即$a≠\pm1$，给定数值中仅$a=2$符合要求。
将$a=2$代入化简后的式子：
原式$=-\frac{1}{2+1}=-\frac{1}{3}$
【答案】
化简结果为$-\dfrac{1}{a+1}$，当$a=2$时，值为$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分式化简求值，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式运算的典型题型，运算时要严格遵循分式混合运算的顺序，选取代入值时要注意必须保证原式所有分母、除式都有意义，不能仅通过化简后的式子判断取值，避免出现错误。
【难度系数】
0.7

4. 已知关于$ x $的分式方程$\frac{4}{x+1} - \frac{2}{x-1} = \frac{m}{x^2 - 1}$。
(1)解这个分式方程(结果用含$ m $的代数式表示)；
(2)若这个分式方程的解是非负数，求实数$ m $的取值范围。

4. (1)去分母,得 4x-4-2x-2=m,
解得 $x=\frac{m+6}{2}(m≠-4 且 m≠-8).$
经检验 $x=\frac{m+6}{2}(m≠-4 且 m≠-8)$是原方程的解.
故分式方程的解为 $x=\frac{m+6}{2}(m≠-4 且 m≠-8).$
(2)根据题意,得$\frac{m+6}{2}≥0$ 且 $\frac{m+6}{2}≠1,$
解得 $m≥-6$ 且 $m≠-4.$
故 m 的取值范围为 $m≥-6$ 且 $m≠-4.$

【分析】
(1) 解分式方程的核心是将分式方程转化为整式方程求解：首先确定最简公分母，本题中$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此最简公分母为$x^2-1$，给方程两边同时乘最简公分母即可消去分母得到整式方程，解出整式方程的解后，需要验根：分式方程分母不能为0，即$x≠1$且$x≠-1$，代入$x$的表达式即可得到$m$的排除值。
(2) 已知方程的解是非负数，即$x≥0$，结合第一问求出的$x$的表达式列不等式求解，同时要注意$x$不能为增根，$x=-1$不符合非负数的要求，因此只需排除$x=1$的情况，综合两个条件即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$（隐含$x≠1$且$x≠-1$），去分母得：
$4(x-1)-2(x+1)=m$
展开括号：$4x-4-2x-2=m$
合并同类项：$2x-6=m$
系数化为1得：$x=\frac{m+6}{2}$
根据增根的定义，当$x=1$时，$\frac{m+6}{2}=1$，解得$m=-4$；当$x=-1$时，$\frac{m+6}{2}=-1$，解得$m=-8$，因此$m≠-4$且$m≠-8$。
经检验，当$m≠-4$且$m≠-8$时，$x=\frac{m+6}{2}$是原分式方程的解。
(2) 由题意，方程的解是非负数，因此满足：
① $\frac{m+6}{2}≥0$，解得$m≥-6$
② 解不能为增根，即$\frac{m+6}{2}≠1$，解得$m≠-4$（$\frac{m+6}{2}≥0$，不可能等于$-1$，无需额外排除）
综上可得$m≥-6$且$m≠-4$。
【答案】
(1) $x=\frac{m+6}{2}(m≠-4且m≠-8)$
(2) $m≥-6且m≠-4$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根，一元一次不等式的应用
【点评】
本题是分式方程的常考题型，解题关键是掌握分式方程的求解步骤，尤其要注意分式方程必须验根，根据解的范围求参数时不能忽略增根的限制，这是本题的主要易错点。
【难度系数】
0.65