【例3】试比较$ \sqrt { 5 } $和2的大小.

[答案]解:$ ( \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } = 5 $,$ 2 ^ { 2 } = 4 $.$ \because 5 ＞ 4 $,$ \therefore \sqrt { 5 } ＞ 2 $.

【例4】试比较$ \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } 与 \frac { 1 } { 2 } $的大小.
 

【解析】：要比较两个数的大小，可通过作差法，即计算两数之差，若差大于 0，则被减数大于减数；若差等于 0，则两数相等；若差小于 0，则被减数小于减数。本题中先计算$\frac{\sqrt{2}}{2}$与$\frac{1}{2}$的差为$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，因为$\sqrt{2}\approx1.414\gt1$，所以$\sqrt{2}-1\gt0$，那么$\frac{\sqrt{2}-1}{2}\gt0$，由此可得出$\frac{\sqrt{2}}{2}$与$\frac{1}{2}$的大小关系。
【答案】：$\frac{\sqrt{2}}{2}＞\frac{1}{2}$

【练2】比较下列两组数的大小.
(1)$ \frac { \sqrt { 5 } - 2 } { 2 } $$ \frac { 1 } { 2 } $; (2)$ \sqrt { 12 } $4.

练 2 (1) ＜ (2) ＜ [解析](1)$\frac { \sqrt { 5 } - 2 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 }$
$= \frac { \sqrt { 5 } - 2 - 1 } { 2 }$
$= \frac { \sqrt { 5 } - 3 } { 2 }$。
$\because ( \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } = 5$，$3 ^ { 2 } = 9$，$9 ＞ 5$，
$\therefore \sqrt { 5 } - 3 ＜ 0$，
$\therefore \frac { \sqrt { 5 } - 3 } { 2 } ＜ 0$，
$\therefore \frac { \sqrt { 5 } - 2 } { 2 } ＜ \frac { 1 } { 2 }$。
(2)$\because 12 ＜ 16$，
$\therefore \sqrt { 12 } ＜ 4$。

【例5】已知$ \sqrt { 26 } $的整数部分是x,小数部分是y,则$ x - y = $.

$10 - \sqrt { 26 }$

【练3】已知$ \sqrt { 6 } $的小数部分是a,$ \sqrt { 24 } $的整数部分是b,求$ \frac { a + b } { 2 } - a $的值.

练 3 解：$\because \sqrt { 4 } ＜ \sqrt { 6 } ＜ \sqrt { 9 }$，$\sqrt { 16 } ＜ \sqrt { 24 } ＜ \sqrt { 25 }$，
$\therefore 2 ＜ \sqrt { 6 } ＜ 3$，$4 ＜ \sqrt { 24 } ＜ 5$，
$\therefore \sqrt { 6 }$的整数部分是 2，$\sqrt { 24 }$的整数部分是 4，
$\therefore a = \sqrt { 6 } - 2$，$b = 4$，
$\therefore \frac { a + b } { 2 } - a = \frac { \sqrt { 6 } - 2 + 4 } { 2 } - ( \sqrt { 6 } - 2 ) = \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } + 1 - \sqrt { 6 } + 2 = 3 - \frac { \sqrt { 6 } } { 2 }$。