23. (10分)如图2-2-9,在$\triangle ABC$中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高。
求证:(1)四边形ADEF是平行四边形;
(2)$∠DHF= ∠DEF$。

证明:(1) $\because$ 点 $D, E$ 分别是 $AB, BC$ 的中点,
$\therefore DE // AC$。同理:$EF // AB$。
$\therefore$ 四边形 $ADEF$ 是平行四边形。
(2) $\because$ 四边形 $ADEF$ 是平行四边形,
$\therefore \angle DAF = \angle DEF$。
$\because$ 在 $Rt\triangle AHB$ 中,$D$ 是 $AB$ 的中点,
$\therefore DH = \frac{1}{2}AB = AD$,
$\therefore \angle DAH = \angle DHA$。
同理得 $\angle FAH = \angle FHA$。
$\therefore \angle DAF = \angle DHF$,
$\therefore \angle DHF = \angle DEF$。

24. (12分)我们定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫作“等对角四边形”。
(1)已知:如图2-2-10①,四边形ABCD是“等对角四边形”,$∠A≠∠C,∠A= 70^{\circ },∠B= 80^{\circ }$。求$∠C,∠D$的度数。
(2)如图2-2-10②,在“等对角四边形”ABCD中,$∠ABC= ∠ADC,AB= AD$,请证明$CB= CD$。
(3)已知:在“等对角四边形”ABCD中,$∠DAB= 60^{\circ },∠ABC= 90^{\circ },AB= 5,AD= 4$。求对角线AC的长。

(1)解: $\because$ 在“等对角四边形” $ABCD$ 中,$\angle A \neq \angle C$,
$\therefore \angle D = \angle B = 80^{\circ}$,
$\therefore \angle C = 360^{\circ} - 70^{\circ} - 80^{\circ} - 80^{\circ} = 130^{\circ}$。
(2)证明:如图①,连接 $BD$。
$\because AB = AD$,
$\therefore \angle ABD = \angle ADB$。
$\because \angle ABC = \angle ADC$,
$\therefore \angle ABC - \angle ABD = \angle ADC - \angle ADB$,
$\therefore \angle CBD = \angle CDB$,
$\therefore CB = CD$。

(3)解:a. 如图②,当 $\angle ADC = \angle ABC = 90^{\circ}$ 时,延长 $AD, BC$ 相交于点 $E$。
$\because \angle ABC = 90^{\circ}, \angle DAB = 60^{\circ}, AB = 5$,
$\therefore AE = 10$,
$\therefore DE = AE - AD = 10 - 4 = 6$。
$\because \angle EDC = 90^{\circ}, \angle E = 30^{\circ}$,
$\therefore CD = 2\sqrt{3}$,
$\therefore AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{7}$。
b. 如图③,当 $\angle BCD = \angle DAB = 60^{\circ}$ 时,过点 $D$ 作 $DE \perp AB$,垂足为点 $E$, $DF \perp BC$,垂足为点 $F$。
$\because DE \perp AB, \angle DAB = 60^{\circ}, AD = 4$,
$\therefore AE = 2, DE = 2\sqrt{3}$,
$\therefore BE = AB - AE = 5 - 2 = 3$。
$\because$ 四边形 $BFDE$ 是长方形,
$\therefore DF = BE = 3, BF = DE = 2\sqrt{3}$。
$\because \angle BCD = 60^{\circ}$,
$\therefore CF = \sqrt{3}$,
$\therefore BC = CF + BF = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$,
$\therefore AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + (3\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{13}$。
$\therefore$ 对角线 $AC$ 的长为 $2\sqrt{7}$ 或 $2\sqrt{13}$。