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【典例1】判断下列函数的奇偶性:
(1) (一题多解) $ f(x) = x^3 + x $;
(2) $ f(x) = \sqrt{1 - x^2} + \sqrt{x^2 - 1} $;
(3) $ f(x) = \frac{2x^2 + 2x}{x + 1} $;
(4) $ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2 + 1, x ＞ 0, \\ -\frac{1}{2}x^2 - 1, x ＜ 0. \end{cases} $
(1) (一题多解) $ f(x) = x^3 + x $;
(2) $ f(x) = \sqrt{1 - x^2} + \sqrt{x^2 - 1} $;
(3) $ f(x) = \frac{2x^2 + 2x}{x + 1} $;
(4) $ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2 + 1, x ＞ 0, \\ -\frac{1}{2}x^2 - 1, x ＜ 0. \end{cases} $
答案
解题指导 第1步: 先求函数定义域, 看是否关于原点对称; 第2步: 根据 $ f(-x) $ 和 $ f(x) $ 的关系得结论.
答案 解: (1) (一题多解) 方法1 (定义法): 因为 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $, 关于原点对称, $ f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -(x^3 + x) = -f(x) $, 所以 $ f(x) $ 是奇函数.
方法2 (性质法): 设 $ g(x) = x^3, h(x) = x $. 因为 $ g(x) = x^3 $ 和 $ h(x) = x $ 都是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数, 故 $ f(x) = g(x) + h(x) = x^3 + x $ 也是奇函数.
(2) 由题意, 得 $ \begin{cases} 1 - x^2 \geq 0, \\ x^2 - 1 \geq 0, \end{cases} $ 解得 $ x = \pm 1 $, 所以 $ f(x) $ 的定义域为 $ \{-1, 1\} $, 关于原点对称, 此时 $ f(x) = 0 $, 所以 $ f(x) $ 既是奇函数又是偶函数.
(3) 由题意, 得 $ x + 1 \neq 0 $, 所以 $ x \neq -1 $, 所以 $ f(x) $ 的定义域为 $ (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty) $, 不关于原点对称, 所以 $ f(x) $ 是非奇非偶函数.
(4) $ f(x) $ 的定义域为 $ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $, 关于原点对称.
当 $ x ＞ 0 $ 时, $ -x ＜ 0 $, $ f(-x) = -\frac{1}{2}(-x)^2 - 1 = -(\frac{1}{2}x^2 + 1) = -f(x) $;
当 $ x ＜ 0 $ 时, $ -x ＞ 0 $, $ f(-x) = \frac{1}{2}(-x)^2 + 1 = \frac{1}{2}x^2 + 1 = -(-\frac{1}{2}x^2 - 1) = -f(x) $.
综上, $ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2 + 1, x ＞ 0, \\ -\frac{1}{2}x^2 - 1, x ＜ 0 \end{cases} $ 是奇函数.
答案 解: (1) (一题多解) 方法1 (定义法): 因为 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $, 关于原点对称, $ f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -(x^3 + x) = -f(x) $, 所以 $ f(x) $ 是奇函数.
方法2 (性质法): 设 $ g(x) = x^3, h(x) = x $. 因为 $ g(x) = x^3 $ 和 $ h(x) = x $ 都是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数, 故 $ f(x) = g(x) + h(x) = x^3 + x $ 也是奇函数.
(2) 由题意, 得 $ \begin{cases} 1 - x^2 \geq 0, \\ x^2 - 1 \geq 0, \end{cases} $ 解得 $ x = \pm 1 $, 所以 $ f(x) $ 的定义域为 $ \{-1, 1\} $, 关于原点对称, 此时 $ f(x) = 0 $, 所以 $ f(x) $ 既是奇函数又是偶函数.
(3) 由题意, 得 $ x + 1 \neq 0 $, 所以 $ x \neq -1 $, 所以 $ f(x) $ 的定义域为 $ (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty) $, 不关于原点对称, 所以 $ f(x) $ 是非奇非偶函数.
(4) $ f(x) $ 的定义域为 $ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $, 关于原点对称.
当 $ x ＞ 0 $ 时, $ -x ＜ 0 $, $ f(-x) = -\frac{1}{2}(-x)^2 - 1 = -(\frac{1}{2}x^2 + 1) = -f(x) $;
当 $ x ＜ 0 $ 时, $ -x ＞ 0 $, $ f(-x) = \frac{1}{2}(-x)^2 + 1 = \frac{1}{2}x^2 + 1 = -(-\frac{1}{2}x^2 - 1) = -f(x) $.
综上, $ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2 + 1, x ＞ 0, \\ -\frac{1}{2}x^2 - 1, x ＜ 0 \end{cases} $ 是奇函数.
【变式1】判断下列函数的奇偶性:
(1) $ f(x) = \frac{1}{x} - 2x $;
(2) $ f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x + 3, x ＞ 0, \\ 0, x = 0, \\ -x^2 - 2x - 3, x ＜ 0. \end{cases} $
(1) $ f(x) = \frac{1}{x} - 2x $;
(2) $ f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x + 3, x ＞ 0, \\ 0, x = 0, \\ -x^2 - 2x - 3, x ＜ 0. \end{cases} $
答案
变式1 解：(1)依题意，得$x≠0$，所以$f(x)$的定义域为$(-∞,0)\cup (0,+∞)$，关于原点对称，且$f(-x)=\frac {1}{-x}-2\cdot (-x)=-\frac {1}{x}+2x=-(\frac {1}{x}-2x)=-f(x)$，所以函数$f(x)$为奇函数.
(2)函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称.
①当$x＞0$时，$-x＜0$，所以$f(-x)=-(-x)^{2}-2\cdot (-x)-3=-(x^{2}-2x+3)=-f(x)$；
②当$x＜0$时，$-x＞0$，所以$f(-x)=(-x)^{2}-2\cdot (-x)+3=-(-x^{2}-2x-3)=-f(x)$；
③当$x = 0$时，$-x = 0$，所以$f(-x)=f(0)=0$，$f(x)=f(0)=0$，所以$f(-x)=-f(x)$.
综上所述，函数$f(x)$为奇函数.
(2)函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称.
①当$x＞0$时，$-x＜0$，所以$f(-x)=-(-x)^{2}-2\cdot (-x)-3=-(x^{2}-2x+3)=-f(x)$；
②当$x＜0$时，$-x＞0$，所以$f(-x)=(-x)^{2}-2\cdot (-x)+3=-(-x^{2}-2x-3)=-f(x)$；
③当$x = 0$时，$-x = 0$，所以$f(-x)=f(0)=0$，$f(x)=f(0)=0$，所以$f(-x)=-f(x)$.
综上所述，函数$f(x)$为奇函数.
