7. (2024·济宁)如图,分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边,延长线相交于点E、F.若∠E=54°41',∠F=43°19',则∠BAD的度数为 （ ）
A. $42°$
B. $41°20'$
C. $41°$
D. $40°20'$

（第7题）

（第8题）

（第9题）

（第10题）

C

8. (2023·温州)如图,四边形ABCD内接于$\odot O,BC// AD,AC⊥ BD$.若$∠ AOD=120°,AD=\sqrt{3}$,则$∠ CAO$的度数与BC的长分别为 （ ）
A. $10°,1$
B. $10°,\sqrt{2}$
C. $15°,1$
D. $15°,\sqrt{2}$

C

9. 如图,点A、B、C、D、E在$\odot O$上,且$\overset{\frown}{AB}$的度数为$50°$,则$∠ C + ∠ BED =$ ______.

$155^{\circ}$

10. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O,AE ⊥ CB$交CB的延长线于点E.若BA平分$∠ DBE$,$AD=5,CE=\sqrt{13}$,则$AE=$______.

$2\sqrt{3}$

11. 如图，AB是$\odot O$的直径，四边形ACBD是$\odot O$的内接四边形，已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，CD平分$∠ ACB$。
(1)求AC和BD的长。
(2)求四边形ACBD的面积。

解: (1)因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB=\angle ADB = 90^{\circ}。$ 已知$AB = 10\mathrm{cm}，$$BC = 8\mathrm{cm}，$ 根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6(\mathrm{cm})。$ 因为$CD$平分$\angle ACB，$所以$\angle ACD=\angle DCB，$ 所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}，$所以$\angle ABD=\angle BAD，$所以$AD = BD。$ 在$Rt\triangle ADB$中，由勾股定理得$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}，$ 即$2BD^{2}=10^{2}，$$BD = AD = 5\sqrt{2}\mathrm{cm}。$ (2)$S_{四边形ACBD}=S_{\triangle ACB}+S_{\triangle ADB}=\frac{1}{2}AC\cdot BC+\frac{1}{2}AD\cdot BD$ $=\frac{1}{2}\times6\times8+\frac{1}{2}\times5\sqrt{2}\times5\sqrt{2}=49(\mathrm{cm}^{2})。$

12. 如图, 四边形 ABCD 是$\odot O$的内接四边形,F 是 CD 延长线上的一点,且 DA 平分$∠ BDF$.
(1)求证:$AB=AC$.
(2)若$AB=13,BC=10$,求$\odot O$的半径.

$证明: (1) $ 因为$DA$平分$\angle BDF，$所以$\angle ADF=\angle ADB。$ 因为$\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}，$$\angle ADC+\angle ADF = 180^{\circ}，$ 所以$\angle ADF=\angle ABC，$ 所以$\angle ADB=\angle ABC。$ 又因为$\angle ACB=\angle ADB，$ 所以$\angle ABC=\angle ACB，$ 所以$AB = AC。$ (2)如图，过点$A$作$AG\perp BC$于点$G，$连接$OC。$ 因为$AB = AC，$所以$BG = CG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\times10 = 5，$点$A$在线段$BC$的垂直平分线上。 在$Rt\triangle AGB$中，由勾股定理得$AG=\sqrt{AB^{2}-BG^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}} = 12。$ 又因为$OB = OC，$所以圆心$O$也在线段$BC$的垂直平分线上，所以圆心$O$在线段$AG$上，$OG\perp BC。$ 设$\odot O$的半径为$r，$则$OA = OB = r，$$OG = AG - OA=12 - r。$ 在$Rt\triangle OGB$中，由勾股定理得$OB^{2}=OG^{2}+BG^{2}，$即$r^{2}=(12 - r)^{2}+5^{2}，$ 展开得$r^{2}=144-24r+r^{2}+25，$ 移项化简得$24r = 169，$解得$r=\frac{169}{24}，$ 所以$\odot O$的半径为$\frac{169}{24}。$ ;